Векторы. vectors. Малкова. А. Г. Малкова. Подготовка к егэ по математике. Материалы сайта egestudy ru
 Скачать 121.94 Kb.
|
А. Г. Малкова. Подготовка к ЕГЭ по математике. Материалы сайта EGE-Study.ru Векторы в пространстве и метод координат. Задача C2 Существует два способа решения задач по стереометрии. Первый — классический — требует отличного знания аксиом и теорем стереомет- рии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметриче- ской. Способ хорош тем, что развивает мозги и пространственное воображение. Другой метод — применение векторов и координат. Это простые формулы, ал- горитмы и правила. Он очень удобен, особенно когда времени до экзамена мало, а решить C2 хочется. Если вы освоили векторы на плоскости и действия с ними — то и с векторами в пространстве разберетесь. Многие понятия окажутся знакомыми. Система координат в пространстве Выберем начало координат. Проведем три взаимно перпендикулярные оси X, Y и Z. Зададим удобный масштаб. X Y Z 1 Получилась система координат в трехмерном пространстве. Теперь каждая его точка характеризуется тремя числами — координатами по X, Y и Z. Например, запись M(−1; 3; 2) означает, что координата точки M по X (абсцисса) равна −1, координата по Y (ордината) равна 3, а координата по Z (аппликата) равна 2. Векторы в пространстве определяются так же, как и на плоскости. Это направ- ленные отрезки, имеющие начало и конец. Только в пространстве вектор задается тремя координатами x, y и z: a (x a ; y a ; z a ) Как найти координаты вектора? Как и на плоскости — из координаты конца вычитаем координату начала. A B a a = −→ AB (x B − x A ; y B − y A ; z B − z A ) Длина вектора −→ AB в пространстве –– это расстояние между точками A и B. Находится как корень квадратный из суммы квадратов координат вектора. a = px 2 a + y 2 a + z 2 a = p(x B − x A ) 2 + (y B − y A ) 2 + (z B − z A ) 2 Пусть точка M –– середина отрезка AB. Ее координаты находятся по формуле: x M = x A + x B 2 ; y M = y A + y B 2 ; z M = z A + z B 2 Для сложения векторов применяем уже знакомые правило треугольника и пра- вило параллелограмма. a a b b c = a + b c = a + b Сумма векторов, их разность, произведение вектора на число и скалярное про- изведение векторов определяются так же, как и на плоскости. Только координат не две, а три. Возьмем векторы a(x a ; y a ; z a ) и b(x b ; y b ; z b ). Сумма векторов: a + b = c(x a + x b ; y a + y b ; z a + z b ) Разность векторов: a −b = d (x a − x b ; y a − y b ; z a − z b ) Произведение вектора на число: λ · a = p(λx a ; λy a ; λz a ) Скалярное произведение векторов: a ·b = a · b · cos ϕ = x a · x b + y a · y b + z a · z b Косинус угла между векторами: cos ϕ = a ·b a · b = x a · x b + y a · y b + z a · z b px 2 a + y 2 a + z 2 a · px 2 b + y 2 b + z 2 b Последняя формула удобна для нахождения угла между прямыми в простран- стве. Особенно если эти прямые –– скрещиваются. Напомним, что так называются прямые, которые не параллельны и не пересекаются. Они лежат в параллельных плоскостях. 1. В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 точки E и K — середины ребер соответственно A 1 B 1 и B 1 C 1 . Найдите косинус угла между прямыми AE и BK. Если в задаче C2 вам достался куб — значит, повезло. Он отлично вписывается в прямоугольную систему координат. Строим чертеж: X Y Z A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 1 1 1 E K Длина ребра куба не дана. Какой бы она ни была, угол между AE и BK от нее не зависит. Поэтому возьмем единичный куб, все ребра которого равны 1. Прямые AE и BK — скрещиваются. Найдем угол между векторами −→ AE и −−→ BK Для этого нужны их координаты. A 0; 0; 0 B 1; 0; 0 E 1 2 ; 0; 1 K 1; 1 2 ; 1 Запишем координаты векторов: −→ AE 1 2 ; 0; 1 −−→ BK 0; 1 2 ; 1 и найдем косинус угла между векторами −→ AE и −−→ BK : cos ϕ = −→ AE · −−→ BK −→ AE · −−→ BK = 1 2 · 0 + 0 · 1 2 + 1 · 1 q 1 2 2 + 0 2 + 1 2 · q 0 2 + 1 2 2 + 1 2 = 2 √ 5 2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой рав- ны 1, точки E, K — середины ребер SB и SC соответственно. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK. Лучше всего выбрать начало координат в центре основания пирамиды, а оси X и Y сделать параллельными сторонам основания. X Y Z A A B C D S S O O E K 1 √2 2 Координаты точек A, B и C найти легко: A 1 2 ; − 1 2 ; 0 B 1 2 ; 1 2 ; 0 C − 1 2 ; 1 2 ; 0 Из прямоугольного треугольника AOS найдем OS = √2 2 Координаты вершины пирамиды: S 0; 0; √2 2 . Точка E — середина SB, а K — середина SC. Воспользуемся формулой для ко- ординат середины отрезка и найдем координаты точек E и K. E 1 4 ; 1 4 ; √2 4 K − 1 4 ; 1 4 ; √2 4 Найдем координаты векторов −→ AE и −−→ BK : −→ AE − 1 4 ; 3 4 ; √2 4 −−→ BK − 3 4 ; 1 4 ; √2 4 и угол между ними: cos ϕ = −→ AE · −−→ BK −→ AE · −−→ BK = 1 6 Покажем теперь, как вписать систему координат в треугольную призму: 3. В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 1, точка D — середина ребра A 1 B 1 . Найдите косинус угла между прямыми AD и BC 1 Пусть точка A — начало координат. Возьмем ось X параллельно стороне BC, а ось Y перпендикулярно ей. Другими словами, на оси Y будет лежать отрезок AH, явля- ющийся высотой треугольника ABC. Нарисуем отдельно нижнее основание призмы. X X Y Y Z A B B C C D A 1 B 1 C 1 H H A (0; 0; 0) 1 1 1 2 1 2 √3 2 Запишем координаты точек: A 0; 0; 0 A 1 0; 0; 1 B 1 2 ; √3 2 ; 0 B 1 1 2 ; √3 2 ; 1 C 1 − 1 2 ; √3 2 ; 1 Точка D — середина A 1 B 1 . Значит, пользуемся формулами для координат сере- дины отрезка. D 1 4 ; √3 4 ; 1 Найдем координаты векторов −−→ AD и −−→ BC 1 , а затем угол между ними: −−→ AD 1 4 ; √3 4 ; 1 −−→ BC 1 − 1; 0; 1 cos ϕ = −−→ AD · −−→ BC 1 −−→ AD · −−→ BC 1 = 3 2 √ 10 Смотрите, как легко с помощью векторов и координат найти угол между пря- мыми. А если требуется найти угол между плоскостями или между прямой и плос- костью? Для решения подобных задач нам понадобится уравнение плоскости в про- странстве. Плоскость в пространстве задается уравнением: Ax + By + Cz + D = 0. Здесь числа A, B и C — координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости. Его называют нормалью к плоскости. n (A; B; C) α Вместо x, y и z можно подставить в уравнение координаты любой точки, принад- лежащей данной плоскости. Получится верное равенство. Плоскость в пространстве можно провести через любые три точки, не лежащие на одной прямой. Поэтому для того, чтобы написать уравнение плоскости, берем координаты трех принадлежащих ей точек. Подставляем их по очереди в уравнение плоскости. Решаем полученную систему. Покажем, как это делается. Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки M (1; 0; 1), N (2; −2; 0) и K (4; 1; 2). Уравнение плоскости выглядит так: Ax + By + Cz + D = 0. Подставим в него по очереди координаты точек M, N и K. Для точки M: A · 1 + B · 0 + C · 1 + D = 0. То есть A + C + D = 0. Для точки N: A · 2 + B · (−2) + C · 0 + D = 0; 2A − 2B + D = 0. Аналогично для точки K: 4A + B + 2C + D = 0. Получили систему из трех уравнений: A + C + D = 0 2A − 2B + D = 0 4A + B + 2C + D = 0 В ней четыре неизвестных: A, B, C и D. Поэтому одну из них мы выберем сами, а другие выразим через нее. Правило простое — вместо одной из переменных можно взять любое число, не равное нулю. Пусть, например, D = −2. Тогда: A + C − 2 = 0 2A − 2B − 2 = 0 4A + B + 2C − 2 = 0 A + C = 2 A − B = 1 4A + B + 2C = 2 Выразим C и B через A и подставим в третье уравнение: C = 2 − A B = A − 1 4A + A − 1 + 4 − 2A = 2 Решив систему, получим: A = − 1 3 B = − 4 3 C = 7 3 Уравнение плоскости MNK имеет вид: − 1 3 x − 4 3 y + 7 3 z − 2 = 0. Умножим обе части уравнения на −3. Тогда коэффициенты станут целыми: x + 4y − 7z + 6 = 0. Вектор n(1; 4; −7) — это нормаль к плоскости MNK. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку M (x 0 , y 0 , z 0 ), име- ет вид: A (x − x 0 ) + B(y − y 0 ) + C(z − z 0 ) = 0. Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям: cos ϕ = n 1 · n 2 n 1 · n 2 Не правда ли, знакомая формула? Скалярное произведение нормалей поделили на произведение их длин. Заметим, что при пересечении двух плоскостей вообще-то образуется четыре угла. ϕ Мы берем меньший из них. Поэтому в формуле стоит модуль скалярного произ- ведения — чтобы косинус угла был неотрицателен. 4. В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 точки E и F — середины ребер соответственно A 1 B 1 и A 1 D 1 . Найдите тангенс угла между плоскостями AEF и BDD 1 Строим чертеж. Видно, что плоскости AEF и BDD 1 пересекаются где-то вне куба. В классическом решении пришлось бы строить линию их пересечения. Но векторно-координатный метод значительно всё упрощает. Не будем ломать голову над тем, по какой прямой пересекаются плоскости. Просто отметим координаты нуж- ных нам точек и найдем угол между нормалями к плоскостям AEF и BDD 1 X Y Z A (0; 0; 0) (1; 1; 0) B C D A 1 B 1 C 1 D 1 E F Сначала — нормаль к плоскости BDD 1 . Конечно, мы можем подставить коор- динаты точек B, D и D 1 в уравнение плоскости и найти коэффициенты, которые и будут координатами вектора нормали. А можем сделать хитрее — увидеть нужную нормаль прямо на чертеже. Ведь плоскость BDD 1 — это диагональное сечение куба. Вектор −→ AC перпендикулярен этой плоскости. Итак, первый вектор нормали у нас уже есть: n 1 = −→ AC (1; 1; 0). Напишем уравнение плоскости AEF . A 0; 0; 0 E 1 2 ; 0; 1 F 0; 1 2 ; 1 Берем уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = 0 и по очереди подставляем в него, вместо x, y и z, соответствующие координаты точек A, E и F . A 0 · A + 0 · B + 0 · C + D = 0 E 1 2 · A + 0 · B + 1 · C + D = 0 F 0 · A + 1 2 · B + 1 · C + D = 0 Упростим систему: D = 0 1 2 A + C = 0 1 2 B + C = 0 Пусть C = −1. Тогда A = B = 2. Уравнение плоскости AEF : 2x + 2y − z = 0. Нормаль к плоскости AEF : n(2; 2; −1). Найдем угол между плоскостями: cos ϕ = |2 + 2| √ 2 · √ 9 = 4 √ 2 · 3 = 2 √ 2 3 5. Основание прямой четырехугольной призмы ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 — прямо- угольник ABCD, в котором AB = 5, AD = √ 33. Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA 1 D 1 D и плоскостью, проходящей через середину ребра CD пер- пендикулярно прямой B 1 D, если расстояние между прямыми A 1 C 1 и BD равно √ 3. Эта задача наглядно показывает, насколько векторный метод проще классическо- го. Попробуйте, для разнообразия, построить необходимые сечения и провести все доказательства — как это делается в «классике» :-) Строим чертеж. Прямую четырехугольную призму можно по-другому назвать «параллелепипед». X Y Z A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 O 1 O (5; 0; 0) 5 (0; √ 33; 0) (5; 0; √ 3) √ 33 Замечаем, что длина и ширина параллелепипеда у нас есть, а вот высота — вроде не дана. Как же ее найти? «Расстояние между прямыми A 1 C 1 и BD равно √ 3». Прямые A 1 C 1 и BD скрещи- ваются. Одна из них — диагональ верхнего основания, другая — диагональ нижнего. Вспомним, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их об- щего перпендикуляра. Общий перпендикуляр к A 1 C 1 и BD — это, очевидно, OO 1 , где O — точка пересечения диагоналей нижнего основания, O 1 — точка пересечения диагоналей верхнего. А отрезок OO 1 и равен высоте параллелепипеда. Итак, AA 1 = √ 3. Плоскость AA 1 D 1 D — это задняя грань призмы на нашем чертеже. Нормаль к ней — это любой вектор, перпендикулярный задней грани, например, вектор −→ AB (5; 0; 0) или, еще проще, вектор n 1 (1; 0; 0). Осталась еще «плоскость, проходящая через середину ребра CD перпендикулярно прямой B 1 D ». Но позвольте, если плоскость перпендикулярна прямой B 1 D — значит, B 1 D и есть нормаль к этой плоскости! Координаты точек B 1 и D известны: B 1 5; 0; √ 3 D 0; √ 33; 0 Координаты вектора −−→ B 1 D — тоже: −−→ B 1 D − 5; √ 33; − √ 3 = n 2 Находим угол между плоскостями, равный углу между нормалями к ним: cos ϕ = 5 √ 25 + 33 + 3 = 5 √ 61 Зная косинус угла, находим его тангенс по формуле 1 + tg 2 ϕ = 1 cos 2 ϕ Получим: tg ϕ = 6 5 Ответ: 6 5 Угол между прямой m и плоскостью α тоже вычисляется с помощью ска- лярного произведения векторов. Пусть a — вектор, лежащий на прямой m (или параллельный ей), n — нормаль к плоскости α. n α m a Находим синус угла между прямой m и плоскостью α по формуле: sin ϕ = n · a n · a 6. В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 точка E — середина ребра A 1 B 1 . Найдите синус угла между прямой AE и плоскостью BDD 1 Как всегда, рисуем чертеж и выбираем систему координат. X Y Z A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 E (1; 0; 0) (1; 1; 0) (0; 1; 0) (0; 0; 0) (1; 1; 1) A 1; 0; 0 E 1; 1 2 ; 1 Находим координаты вектора −→ AE 0; 1 2 ; 1 . Нужно ли нам уравнение плоскости BDD 1 ? В общем-то, без него можно обойтись. Ведь эта плоскость является диагональным сечением куба, а значит, нормалью к ней будет любой вектор, ей перпендикулярный. Например, вектор −→ AC (1; −1; 0). Найдем угол между прямой и плоскостью: sin ϕ = −→ AC · −→ AE −→ AC · −→ AE = 2 2 · √ 2 · √ 5 = 1 √ 10 Ответ: 1 √ 10 Расстояние от точки M с координатами x 0 , y 0 и z 0 до плоскости α, заданной уравнением Ax + By + Cz + D = 0, можно найти по формуле: h = |Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D| √ A 2 + B 2 + C 2 7. В основании прямоугольного параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 лежит пря- моугольник ABCD со сторонами AB = √ 10, AD = 3 √ 10. Высота параллелепипеда AA 1 = 6 √5 . Найдите расстояние от точки A до плоскости A 1 DB. Построим чертеж и выпишем координаты точек: X Y Z A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 6 √5 √10 3 √10 A 0; 0; 0 A 1 0; 0; 6 √5 B √ 10; 0; 0 D 0; 3 √ 10; 0 Запишем уравнение плоскости A 1 DB . Вы помните, как это делается — по очереди подставляем координаты точек A 1 , D и B в уравнение Ax + By + Cz + D = 0. A 1 6 √5 C + D = 0 B √ 10A + D = 0 D 3 √ 10B + D = 0 Решим эту систему. Выберем D = −6 √ 10. Тогда C = 5 √ 2, A = 6, B = 2. Уравнение плоскости A 1 DB имеет вид: 6x + 2y + 5 √ 2z − 6 √ 10 = 0. Дальше все просто. Находим расстояние от точки A до плоскости A 1 DB : h = |Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D| √ A 2 + B 2 + C 2 = 6 √ 10 √ 50 + 36 + 4 = 6 √ 10 √ 90 = 2. В некоторых задачах С2 требуется найти расстояние от прямой до параллельной ей плоскости. В этом случае можно выбрать любую точку, принадлежащую данной прямой. |