задачи. Сборник задач на построение сечений призмы Составила учитель математики и информатики мбоу Школа 6
![]()
|
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Школа № 6» город Прокопьевск Кемеровская область» Сборник задач на построение сечений призмы Составила учитель математики и информатики МБОУ «Школа № 6» Игнашева Оксана Павловна 2019 Треугольная призма №1. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны основания равны 6, боковые рёбра равны 4. Изобразите сечение, проходящее через вершины A, B и середину ребра A1C1 Найдите его площадь. П ![]() 1) Обозначим через M и N средины ребер A1C1 и B1C1 соответственно. 2) По Теореме о средней линии треугольника MN ׀׀ A1B1 ׀׀ AB, так что прямые MN и AB лежат в одной плоскости. 3) Искомое сечение — это равнобедренная трапеция AMNB. Решение: Основания трапеции ![]() ![]() Проведем в трапеции высоту ![]() Отрезок ![]() ![]() Следовательно, высота трапеции ![]() Зная её, находим площадь трапеции: ![]() Ответ: ![]() №2. Построить сечение правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 плоскостью, проходящей через середины ребер AB, A1C1, BB1. Найти площадь сечения и вычислить угол между плоскостью основания ABC и плоскостью сечения, если сторона основания равна 4, а высота пирамиды равна 42−√/7. П ![]() 1)MN∩AA1=P, 2)MN∩B1A1=Q, 3)PK∩AC=E, 4)QK∩B1C1=F 5)Пятиугольник MNEKF искомое сечение. Построение: 1) Обозначим AB=a,BB1=b,∠NEA=α ΔAPN=ΔBMN=ΔB1MQ⇒AP=MB=b2,A1P=3b2,QB1=a2 ΔAPE∼ΔA1PK⇒AE=13A1K=a6. 2)Из треугольника ANE, по теореме косинусов и синусов NE=AN2+AE2−2AN⋅AEcos60√=a7√6,sinα=33√27√. 3)Пусть KH⊥AC,HT⊥NE. По теореме 3-х перпендикуляров KT⊥NE. Угол наклона сечения будет ∠KTH. EH=AH−AE=A1K−AE=a2−a6=a3,TH=BB1=b. 4) Из треугольника THE,HT=EHsinα=a3⋅33√27√=a3√27√, а из треугольника KHT,KT=KH2+HT2,√=b2+3a228, √=28b2+3a228, √,cos∠KTH=THKT= =a3√28b2+3a2√=6√3⇒∠KTH=arccos23√=arcsin13. 5)Если проводить B1D||QK, то по обобщенной теореме Фалеса легко доказать, что C1F=34a. 6)Проекция сечения на основание будет BLHEN. SBLHEN=SABC−SANE−SCHL=a23√4−12⋅a2⋅a6⋅3√2−12⋅a2⋅3a4⋅3√2= =133√a296=133√6 Sсеч.=Sпр.cos∠KTH=133√6⋅3√2√=132√4. Ответ:132√4. №3. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 со стороной основания а и высотой H=na . Найти площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через вершину C и середины ребер AA1 и A1B1. Построение: ![]() ![]() ![]() ![]() 2)Отрезок MN находим из MNB1 по теореме косинусов; диагональ CM можно найти из прямоугольного треугольника CC1M (на рисунке не показан). 3)Площадь четырехугольника CDMN определяем по сумме площадей треугольников CDM и CMN, введя вспомогательные углы и . 4)SCDM = ![]() ![]() Sсеч. = ![]() Возможные варианты: n = ![]() ![]() ![]() ![]() n = ![]() ![]() ![]() № ![]() Построение: 1) В плоскости ACC1 проводим прямую CK || AC1 (точка K - пересечение прямой CK с плоскостью A1B1C1)- тогда плоскость проходящая через прямые CM и CK будет параллельна прямой AC1; 2) в плоскости A1B1C1 проводим прямую KM - до ее пересечения с ребром A1B1 в точке D; 3) и "если 2 параллельные плоскости пересекает 3-я плоскость, то линии пересечения параллельны", т.е. в плоскости ABC проводим CE || MD. Трапеция CMDE - искомое сечение. №5. ![]() Построение: 1) проведём C1A и отметим на ней произвольную точку H 2) соединим точку B и точку A (т.к. они лежат в одной плоскости ABB1A1 ) 3) соединим точку B1 и точку C1 4) соединим точку A и точку C1 ( т.к.они лежат в одной плоскости AA1C1C ) 5) соединим точки A, B1 и C1 и получим плоскость AB1C1 6) соединим точку B и точку H ( т.к. они лежат в одной плоскости AB1C1 ) 7)B1HA - искомое сечение. Задачи для самостоятельного решения: №1. Постройте сечение призмы АВСА'В'С' плоскостью, проходящей через точку D, лежащую на ребре AC, точку E на ребре ВВ' и точку F на ребре В′C′. №2. В правильной треугольной призме АВСDEF AB = AD, N – середина EF. Постройте перпендикулярное сечение призмы плоскостью, проходящей через точку М на ребре АВ перпендикулярно AN. №3. Постройте сечение призмы АВСА'В'С' плоскостью, проходящей через точку D, лежащую в грани AA′C′C, точку E в грани AА'В'B и точку F в грани ВВ′C′C. №4. Найдите площадь сечения правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 плоскостью, проходящей через прямую CM и параллельной диагонали AC1 боковой грани ACC1A1, если точка M – середина ребра B1C1, сторона основания равна sqrt(14), а боковое ребро равно sqrt(3). №5. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны основания равны 8, боковые рёбра равны √13. Изобразите сечение, проходящее через вершины A,C и середину ребра A1B1. Найдите его площадь. Четырёхугольная призма № ![]() Построение: 1) Построим след секущей плоскости на плоскость нижнего основания призмы. Рассмотрим грань АА1В1В. В этой грани лежат точки сечения P и Q. Проведем прямую PQ. 2) Продолжим прямую PQ, которая принадлежит сечению, до пересечения с прямой АВ. Получим точку S1, принадлежащую следу. 3)Аналогично получаем точку S2 пересечением прямых QR и BC. 4) Прямая S1S2 - след секущей плоскости на плоскость нижнего основания призмы. 5) Прямая S1S2 пересекает сторону AD в точке U, сторону CD в точке Т. Соединим точки P и U, так как они лежат в одной плоскости грани АА1D1D. Аналогично получаем TU и RT. 6) PQRTU – искомое сечение. №2. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки: ![]() П ![]() Точки MиN принадлежат плоскости А1В1С1. Соединив их, получим линию пересечения секущей плоскости и плоскости верхней грани куба (нажимаем клавишу мыши). Продолжим прямые MN и D1C1до пересечения. Получим точку Х, принадлежащую как плоскости А1В1С1 , так и плоскостиDD1C1 (клик мыши). 2) Точки Nи К принадлежат плоскостиВВ1С1. Соединив их, получим линию пересечения секущей плоскости и грани ВВ1С1С. (Клик мыши). 3) Соединяем точки Х и К,и продолжаем прямую ХКдо пересечения с прямой DC. Получим точку Р и отрезок КР –линию пересечения секущей плоскости и грани DD1C1C. Продолжая прямые КРи DD1 до пересечения, получим точку Y, принадлежащую плоскости АА1D1. В плоскости этой грани нам требуется еще одна точка, которую получаем в результате пересечения прямых MNи А1D1. Это точка ![]() ![]() ![]() ![]() Построение (краткая запись): 1) ![]() 2) ![]() 3) ![]() 4) ![]() 5) ![]() 6) ![]() 7) ![]() 8) ![]() 9) ![]() 10) ![]() 11) ![]() 12) ![]() 13) ![]() № ![]() . В правильной четырёхугольной призме ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Построение: Отрезок ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Треугольники ![]() ![]() ![]() Значит, ![]() 3)В равных прямоугольных треугольниках ![]() ![]() ![]() значит, трапеция ![]() 4)Пусть ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Ответ: 144√2 №4. В правильной четырёхугольной призме ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Построение: 1 ![]() ![]() ![]() 2)Так как плоскости ![]() ![]() ![]() ![]() 3)Искомое сечение — трапеция ![]() 4) Плоскость сечения пересекает нижнее основание по прямой ![]() ![]() ![]() ![]() 5)Треугольники LC1K и D1C1B1 подобны, следовательно, ![]() Значит, ![]() 6)В равных прямоугольных треугольниках ![]() ![]() ![]() ![]() Пусть ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Ответ: ![]() №5. Построить сечение прямой призмы ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки M, N, P . Построение: 1 ![]() 2) Продолжим прямую, на которой лежит сторона AB параллелепипеда. Прямые AB и NP пересекутся в некоторой точке S. Эта точка принадлежит плоскости сечения. 3) Так как точка M также принадлежит плоскости сечения и пересекает прямую АА1 в некоторой точке Х. 4) Точки X и N лежат в одной плоскости грани АА1D1D, соединим их и получим прямую XN. 5) Так как плоскости граней параллелепипеда параллельны, то через точку M можно провести прямую в грани A1B1C1D1, параллельную прямой NP. Эта прямая пересечет сторону В1С1 в точке Y. 6) Аналогично проводим прямую YZ, параллельно прямой XN. Соединяем Z с P. Искомое сечение – MYZPNX. Задачи для самостоятельного решения: №1. Построить сечение прямоугольной призмы ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки: ![]() №2. Построить сечение призмы ABCDA1B1C1D1, проходящей через P, N, E,F, M, K соответственно лежащие на рёбрах A1B1, B1C1, C1C, DC, AD и AA1 призмы. №3. Построить сечение призмы ABCDA1B1C1D1, проходящее через точки M,N,O,K соответственно принадлежащие сторонам CC1, DD1, AA1, BB1. №4. Постройте сечение четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через сторону основания и одну из вершин другого основания. №5. Точки M, N и P - точки на разных рёбрах четырёхугольной призмы ABCDA1B1C1D1. Постройте сечение проходящее через эти точки. Пятиугольная призма № ![]() Построение: 1) соединим точки L и M т.к. они лежат в одной плоскости EDE1D1. 2) продлим прямые: LF, NK, MN, FK, AB, CB 3) получим MNPFL – искомое сечение. № ![]() Построение: 1)задана призма 2) заданы точки (синие) M, N, K. 3)проведём вспомогательные линии (используя метод следа) 4) определена прямая в плоскости основания, которая является пересечением сечения и плоскости основания 5)получены остальные точки (зеленые) P, Q 6) искомое сечение - MNPKQ. №3. ![]() Построение: 1)Выберем плоскость А'В'С нижнего основания за основную плоскость а, а направление боковых ребер — за направление проектирования на основную плоскость. При таком выборе основной плоскости и направления проектирования изображение призмы является полным, т. е. все элементы призмы (грани, ребра и вершины) заданы на чертеже, что легко проверить. Так как изображение является полным, то требуемое в задаче построение осуществимо на чертеже. 2) (L С MN, α) и (К С NP, α) Þ (MNP ∩ α = KL); 3) R С C'D', KL; (R С C D') и (CD' С С CD) => (R С С CD); (R С KL) и (KL MNP)=>(R С MNP); 4) (P С MNP, С CD) и (R С MNP, C'CD)=>(MNP ∩C'CD= PR); (X С C'C, PR) Þ (X = MNP ∩ C C); 5) S С B'C, KL; (S С B'C) и (B'C B'BC) => (S С B'BC); (S С KL) и (KL С MNP)=>(S С MNP); 6) (XMNP,B'BC)и(SСMNP,B'BC)=>(XS=MNP∩B'BC); 7) (Y С XS, B'B)=>(Y С MNP, B'B). 8) MNPXY — искомое сечение. №4. ![]() Построение: N' — проекция N, M' — проекция M; 2) NM ∩ N'M' = X; KX ∩ BC = T, KX ∩ DA = Y; TM ∩ CC' = H, TM ∩ B'C' = Z; ZN ∩ C'D' = P; NY ∩ AA' = F; THPNFK — искомое сечение. № ![]() Построение: 1) CB ∩ d = X, EA ∩ d = Y, DE ∩ d = Z, BA ∩ d = H; 2) MZ ∩ EE' = N, MZ ∩ DD' = T; 3) NY ∩ AA' = G; 4) GH ∩ BB' = P; 5) PX ∩ CC' = S; 6) PSTNG — искомое сечение. Задачи для самостоятельного решения: №1. Дано: Пятиугольная призма ABCDEA1B1C1D1E1; Точки K, M, P. Построить: Сечение плоскостью, проходящей через точки K, M, P. №2. Построить сечение пятиугольной призмы плоскостью, проходящей через точку на боковом ребре параллельно двум скрещивающимся ребрам. №3. Построить сечение пятиугольной призмы плоскостью, проходящей через точку на боковом ребре параллельно скрещивающимся диагоналям двух смежных граней. №4. Построить сечение пятиугольной призмы плоскостью, проходящей через три точки, одна из которых лежит в плоскости верхнего основания, а две другие – на несмежных боковом ребре и ребре нижнего основания. №5. Построить сечение пятиугольной призмы плоскостью, проходящей через сторону AE основания и точку K взятую на боковом ребре DD1. (точку K взять так чтобы в сечении получился пятиугольник). Шестиугольная призма № ![]() Построение: 1) Данное сечение проходит через основание АВ и E1D1. Обозначим точку пересечения прямых АВ и DC точка F. Тогда F принадлежит плоскости сечения, а также плоскости CC1D1C. 2) Так что проведем прямую D1F, которая пересечет ребро СС1 в некоторой точке X. Далее, продолжим прямые ЕК и АВ до их пересечения в точке О. Эта точка принадлежит плоскости сечения, а также грани KK1E1E. 3)Тогда проведем прямую ОЕ1, которая пересечет ребро КК1 в некоторой точке Y. Шестиугольник 4)ABXD1E1Y — искомое сечение. №2. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки C до прямой A1B1. Точка C и прямая A1B1.выделены на призме красным цветом. Построение: 1 ![]() 2) Из теоремы о двух прямых, параллельных третьей, следует параллельность прямых FC и A1B1, обеспечивающая рассматриваемому четырехугольнику свойства плоской фигуры-трапеции. 3) Вследствие равенства боковых граней правильной призмы оказываются равными и боковые ребра трапеции. В результате расстояние от исходной точки, принадлежащей нижнему основанию трапеции, до верхнего основания трапеции совпадает с расстоянием между ее основаниями или, короче – с высотой B1G. 4) Искомое сечение - A1B1CF. №3. ![]() В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1все ребра равны 1. Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки A1, B1 и C. Построение: 1) Пусть α плоскость образованная точками A1, B1 и C. Ребро А1В1принадлежит α . 2) Точки В1 и С принадлежат секущей плоскости α и грани (ВВ1С1С), следовательно α пересекается с гранью (ВВ1С1С) по прямой В1С. 3)Прямая FC параллельна прямой А1В1, точки А1, В1 и С принадлежат плоскости α , следовательно F∈α . Точки F и С принадлежат плоскости α и грани (ABCDEF), следовательно α пересекается с гранью (ABCDEF) по прямой FC. 4) Точки F и A1 принадлежат секущей плоскости α и грани (AA1F1F), следовательно α пересекается с гранью (AA1F1F) по прямой F1A1. 5) Таким образом трапеция A1B1CF и будет сечением призмы плоскостью α , которой принадлежат точки A1,B1 и C. № ![]() Построение: 1) Секущая плоскость α определяется точками E, B1 и C1 не лежащими на одной прямой (теорема о существовании и единственности плоскости, проходящей через три точки). 2) Найдем прямые, по которым α пересекает плоскости граней шестиугольной призмы. B1 и C1 общие точки плоскости α и ребраB1C1, которое является общим для граней A1B1C1D1E1F1 и BB1C1C, следовательно эти плоскости пересекаются по прямой B1C1. 3) Прямая FE параллельна прямой B1C1 и точки E, B1 и C1принадлежат плоскости α, следовательно точка F так же принадлежит α. F и E общие точки плоскости α и ребра FE, которое является общим для граней ABCDEF и FF1E1E, следовательно эти плоскости пересекаются по прямой FE. 4)Точка K — точка пересечения прямых CD и EF. Точка K принадлежит CD, а значит принадлежит плоскости грани CC1D1D. Точки C1 и K принадлежат плоскости CC1D1D, следовательно C1K также принадлежит этой плоскости. 5) Прямые C1K и D1D принадлежат плоскости CC1D1D и не параллельны друг другу, следовательно они пересекаются в точке K1. Точки C1 и K принадлежат плоскостиα, следовательно все точки прямой C1K, в том числе K1, также принадлежат α. 6) C1 и K общие точки плоскостиα и плоскости грани CC1D1D, следовательно эти плоскости пересекаются по прямой C1K. K1 и E общие точки плоскости α и плоскости грани EE1D1D, следовательно эти плоскости пересекаются по прямой EK1. 7) Аналогичным способом построим точки L и L1, а также прямые пересечения плоскости α, и граней шестиугольной призмы. 8) B1C1K1EFL1 - искомое сечение призмы. №5. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все ребра равны 1. Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки F1, A и C. П ![]() 1) Секущая плоскость α определяется точками A, C, F1, не лежащими на одной прямой (теорема о существовании и единственности плоскости, проходящей через три точки). 2)Найдем прямые, по которым α пересекает плоскости граней шестигранника. A и C общие точки плоскости α и плоскости грани ABCDEF, следовательно эти плоскости пересекаются по прямой AC. A и F1 общие точки плоскости α и плоскости грани AFF1A1, следовательно эти плоскости пересекаются по прямой AF1. 2)Прямая F1D1 параллельна AC и точки A, C и F1 принадлежат плоскости α, следовательно точка D1 так же принадлежит α. F1 и D1 общие точки плоскости α и плоскости грани A1B1C1D1E1F1, следовательно эти плоскости пересекаются по прямойF1D1. 3)D1 и C общие точки плоскости α и плоскости грани CDD1C1, следовательно эти плоскости пересекаются по прямой D1C. 4)F1D1CA - искомое сечение призмы. Задачи для самостоятельного решения: №1. Построить сечение правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1 плоскостью, проходящей через точки A, B’, F’. №2. Построить сечение правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1 плоскостью, проходящей через точки F’, B’, D’. №3. Построить сечение шестиугольной призмы плоскостью проходящей через точки M,N,P расположенных на гранях FF1E1E, AA1B1B и EE1D1D. №4. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все рёбра которой равны 1, постройте и найдите площадь сечения проходящее через вершины B, C и E1. №5. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все рёбра которой равны 1, постройте и найдите площадь сечения, проходящее через вершины F, C и D1. |