Перпендикулярность прямых и плоскостей
 Скачать 1.05 Mb.
|
Перпендикулярность прямых и плоскостейСодержаниеПерпендикулярные прямые в пространстве Лемма Определение прямой, перпендикулярной к плоскости Теорема о перпендикулярности двух параллельных прямых к плоскости Теорема о параллельности двух перпендикулярных прямых к плоскости Признак перпендикулярности прямой и плоскости Теорема о существовании и единственности прямой, перпендикулярной к данной плоскости Перпендикуляр и наклонные Теорема о трех перпендикулярах Теорема, обратная теореме о трех перпендикулярах Угол между прямой и плоскостью Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90о а b с а b c b α ЛеммаЕсли одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой. A C a α M b c Дано: а || b, a c Доказать: b c Доказательство: Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскостиα а а α Теорема 1Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости. α х Дано: а || а1; a α Доказать: а1 α Доказательство: a а1 Теорема 2α Доказать: а || b Доказательство: a Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны. β b1 Дано: а α; b α b M с Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости. α q Доказать: а α Доказательство: a p m O Дано: а p; a q p α; q α p ∩ q = O α q l m O a p B P Q Доказательство: L а) частный случай A α q a p m O Доказательство: а) общий случай a1 Теорема 4 Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна. α а β М b с Доказать: 1) ∃ с, с α, М с; 2) с – ! Доказательство: Дано: α; М α Задача Найти: MD А В D M Решение: Дано: ABC; MB BC; MB BA; MB = BD = a Доказать: МB BD C a a Задача 128 Доказать: OМ (ABC) Дано: ABCD - параллелограмм; AC ∩ BD = O; М (ABC); МА = МС, MB = MD А В D C O М Доказательство: Задача 122 Найти: AD; BD; AK; BK. А В D C O К Решение: Дано: ABC – р/с; О – центр ABC CD (ABC); ОК || CD АB = 163, OK = 12; CD = 16 12 16 Перпендикуляр и наклонныеМ А В Н α МН α А α В α МА и МВ – наклонные Н α АН и ВН – проекции наклонных МН – перпендикуляр М α Теорема о трех перпендикулярахПрямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна к самой наклонной. А Н М α β а Дано: а α, АН α, АМ – наклонная, а НМ, М а Доказать: а АМ Доказательство: Теорема, обратная теореме о трех перпендикулярах Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции. А Н М α β а Дано: а α, АН α, АМ – наклонная, а АМ, М а Доказать: а НМ Доказательство: Угол между прямой и плоскостьюА Н α β а О φ (а ; α) = АОН = φ |