A с условиями o O
 Скачать 0.87 Mb.
|
|
4 Группы Ли Группа SO(2) дает пример бесконечномерной группы, для элементов которой заданы гео- метрические свойства, такие как близость ее элементов. Более того элементы группы SO(2) могут рассматриваться как точки некоторого гладкого пространства, в котором можно ввести координаты (параметры группы), можно дифференцировать функции на этом пространстве и т.д. Пространство группы SO(2) есть окружность S 1 - компактное гладкое пространство. Отождествление этой группы с некоторым многообразием можно получить из определения этой матричной группы. Действительно, по определению, мат- ричная реализация этой группы задана 2⇥2 матрицами 0 @ a b c d 1 A с условиями O ·O T = 1 и det(O) = 1 из которых следует, что a = d, b = c и c 2 + d 2 = 1 . Последнее соотношение как раз и задает одномерную окружность. Пространство группы O(2) более сложное, оно состоит из двух несвязных друг с дру- гом компонент, то есть двух окружностей S 1 , одна из которой получается непрерывными преобразованиями из единичного элемента I · e i , (0 2⇡) i = 0 @ 0 1 1 0 1 A , e i = I cos + i sin , а вторая получается непрерывными преобразованиями из оператора отражения T (r) = 0 @ 1 0 0 1 1 A T (r) ·e i . Непрерывными преобразованиями (с помощью умножения на элементы из SO(2)) нельзя перейти из одной компоненты в другую, так как не существует параметра такого, что T (r) = e i , то есть T (r) 62 SO(2). Пространство группы SO(2) одномерное, в частности, произведениям двух элементов g( ) и g( ) соответствует элемент g( ), где параметр = + . В общем случае, это не так. Когда пространство группы n-мерное, то есть элементы группы параметризуются набором из n-параметров ¯ = { 1 , 2 , . . . , n } основное групповое свойство можно символически записать в виде g( ¯) · g( ¯ ) = g( ¯( ¯, ¯ )), (19) 38 где вся информация о структуре группы и групповом умножении закодирована в функ- циях ¯( ¯, ¯ ) . Если эти функции оказываются дифференцируемыми функциями наборов параметров ¯ и ¯ , то группа называется группой Ли. Матричные группы преобразований GL(n, C), GL(n, R) n-мерных вещественных и ком- плексных пространств с не равным нулю детерминантами можно отождествить с некото- рыми областями в линейных пространствах R 2n 2 и R n 2 соответственно. Координатами в этих пространствах являются матричные элементы. Единичным элементом в этих груп- пах является единичная матрица, а обратным элементом – обратная матрица. Группо- вое умножение будет определятся матричным умножением и координаты произведения двух матриц выражаются через координаты сомножителей при помощи гладких диффе- ренцируемых функций. В окрестности любой точки многообразия группы, можно ввести координаты так, что значения координат равны нулю в выбранной точке многообразия. Например, в окрестности единицы группы GL(n, R), для матрицы G = kg i j k можно ввести координаты x i j (G) = g i j i j , x i j (I) = 0 (20) Касательное пространство в единице группы GL(n, R) естественно отождествляется с пространством всех невырожденных матриц n-порядка. Рассмотрим кривую на группе G(t) 2 GL(n, R), то есть семейство матриц G(t), зависящих от вещественного параметра t . Пусть эта кривая проходит через единицу группы при значении параметра t = 0. Тогда касательный вектор к этой кривой при t = 0 – это матрица @ t G(t) | t=0 4 Наоборот, пусть X – любая невырожденная вещественная матрица. Тогда кривая G(t) = I + tX, при t, достаточно близких к нулю, лежит в GL(n, R), то есть при всех значениях параметра |t| < |t 0 | ⌧ 1, не нарушается условие, что det(G(t)) 6= 0. При этом очевидно, что G(0) = I, @ t G(0) = X. Важным свойством групп Ли отличающих их от обычных многообразий является тот факт, что кривые на группе можно задавать с помощью левых или правых умножений на элементы группы. При этом такая кривая, по определению, будет всегда принадлежать группе. 4 Ровно в этом месте, происходит превращение обычного понятия вектора, как направленного отрезка, в матрицу. 39 Матричные группы преобразований SL(n), O(n), SO(n), U(n), SU(n) и Sp(n) задаются уравнениями в пространстве всех матриц. Так группа SL(n, R) задается одним уравнением det G = 1 Это – гиперповерхность в пространстве всех матриц, целиком лежащая в GL(n, R). Можно доказать, что эта поверхность неособая, что означает, что ее размерность в любой точке группы всегда равна n 2 1 . Касательным пространством к этой группе в единице будет пространство вещественных матриц с нулевым следом. Докажите этот факт. Рассмотрим группу O(n). Соответствующая поверхность в R n 2 задается системой урав- нений O T · O = I, o i k o j k = ij Среди этих уравнений есть, очевидно, совпадающие, которые получаются при перестанов- ке индексов i и j. Количество различных уравнений n(n + 1)/2. Нужно показать, что ранг этой системы равен n 2 n(n+1)/2 = n(n 1)/2 . Это означает, что количество независимых параметров, которые определяют эту группу равно n(n 1)/2 и совпадает с размерностью касательного пространства к единице группы. Докажем, что это касательное пространство совпадает с пространством всех кососимметричных матриц. Если O(t) 2 O(n), O(0) = I – однопараметрическая кривая в семействе ортогональных матриц и X = @ t O(t) | t=0 , то 0 = @ t (O T (t) · O(t))| t=0 = X T + X = 0 . Таким образом касательное пространство в единице группы O(n) совпадает с пространством всех кососимметричных матриц. Очевидно, что размерность этого пространства n(n 1)/2 и многообразие группы O(n) является неособой поверхностью в пространстве всех вещественных n ⇥ n матриц. Рассмотрим теперь унитарную группу U(n). Эта группа задается в пространстве всех комплексных матрица размера n ⇥ n уравнениями U · U † = I, u i k (u j k ) ⇤ = ij Количество вещественных уравнений, которые дают эти условия, равно n + 2 n(n 1) 2 = n 2 . Касательное пространство к единице в группе U(n) совпадает с пространством всех косоэрмитовых матриц n-го порядка: X † = X, 0 = @ t (U (t) · U(t) † ) = X + X † 40 Размерность пространства всех косоэрмитовых матриц равна n 2 . Координаты в этом про- странстве таковы: u k k /i , Im(u k k ) = 0 , k = 1, . . . , n, Re(x i j ) , Im(x i j ) , i < j. Группа SU(n) унитарных матриц с определителем 1 также представляет собой неосо- бую вещественную поверхность размерности n 2 1 . Ее касательное пространство в единице совпадает с пространством всех косоэрмитовых матриц со следом ноль. Рассмотрим группу Ли SU(2), которая описывает преобразования двумерной ком- плексной (или четырехмерной вещественной) плоскости унитарными матрицами, сохра- няющими длины векторов на этой плоскости. Эти условия приводят к тому, что 2 ⇥ 2 матрица g 2 SU(2) имеет единичный детерминант и удовлетворяет соотношению унитар- ности: g † = g 1 . Эти условия для матрицы g = 0 @ a b c d 1 A, где параметры a, b, c, d 2 C комплексны, дадут соотношения a ⇤ = d , b ⇤ = c и aa ⇤ + bb ⇤ = 1 . Последнее условие есть уравнение трехмерной вещественной сферы вложенной в четырехмерное веществен- ное пространство. Таким образом группа SU(2) топологически эквивалентна сфере S 3 Пусть T – касательное пространство в единице к группе GL(n, R). Это касательное пространство можно отобразить в группу при помощи экспоненциального отображения: exp : T ! GL(n, R), exp(0) = I, exp(X) = I + X + X 2 2! + · · · . Можно доказать следующие утверждения про это отображение: • ряд exp(X) сходится для всех матриц X; • если матрицы X и Y коммутируют, XY = Y X, то exp(X + Y ) = exp(X) exp(Y ); • если матрицы X и Y не коммутируют, то экспоненциальное отображение удовлетво- ряет соотношению, которое называется формулой Кэмпбелла-Хаусдорфа e X · e Y = e X+Y +[X,Y ]/2+[X Y,[X,Y ]]/12+ ··· ; • матрица G = exp(X) обратима и G 1 = exp( X); 41 • exp(X T ) = (exp(X)) T ; • в некоторой окрестности начала координат отображение exp(X) взаимно однозначно. Второе утверждение следует из следующей выкладки exp(X) exp(Y ) = 1 X k=0 X k k! ! 1 X l=0 Y l l! ! = = 1 X m=0 1 m! X k+l=m m! k!l! X k Y l ! = 1 X m=0 (X + Y ) m m! = exp(X + Y ) В целом экспоненциальное отображение может не быть взаимно однозначным и даже не быть отображением на всю группу. Например, матрица g = 0 @ 1 0 1 1 A 2 SL(2, R), 2 R не представляется экспонентой от никакой вещественной безследовой матрицы. 4.1 Производная Ли Пусть в области на многообразии с координатами (x 1 , . . . , x n ) задано векторное поле ¯ V с компонентами v i = v i (x 1 , . . . , x n ) . С каждым таким векторным полем связана автономная система дифференциальных уравнений вида @ t x i (t) = v i (x 1 , . . . , x n ), i = 1, . . . , n. (21) Ее решения x i = x i (t) называются интегральными кривыми векторного поля v i . Обозна- чим через F i t (x 1 0 , . . . , x n 0 ) = x i = x i (t; x 1 0 , . . . , x n 0 ) интегральную кривую поля v i с начальными условиями x i | t=0 = x i 0 . Эта формула задает отображение области в многообразии в себя, зависящее от параметра t (сдвиг на вре- мя t вдоль интегральных кривых). Из теории обыкновенных дифференциальных уравне- ний следует, что система уравнений (21) имеет единственное решение и следовательно, в 42 окрестности точки (x 1 0 , . . . , x n 0 ) является диффеоморфизмом 5 имеющим при малых t сле- дующий вид x i (t; x 1 0 , . . . , x n 0 ) = x i 0 + tv i (x 1 , . . . , x n ) + o(t). (22) Диффеоморфизмы F t образуют группу F t · F s = F t+s , F t = (F t ) 1 , F 0 = тождественное отображение. Если задана группа диффеоморфизмов F t , то по ней однозначно восстанавливается век- торное поле ¯ V v i = @ t (F i t ) | t=0 Возникает естественный вопрос: как по векторному полю ¯ V можно восстановить груп- пу диффеоморфизмов. Ответом на этот вопрос дает определение экспоненты векторного поля. Определение 18 Оператор exp(t@ ¯ V ) = 1 X n=0 t n n! (@ ¯ V ) n называется экспонентой векторного поля ¯ V , где @ ¯ V = v i @ @x i – производная по направлению поля ¯ V Можно доказать следующее утверждение Утверждение 9 Для аналитических векторных полей ¯ V (x) и аналитических функций f (x) экспонента векторного поля ¯ V (x) совпадает с оператором exp(t@ ¯ V ) при достаточно малых t: exp(t@ ¯ V )f (x) = f (F t (x)) Задача. Вычислить оператор exp (ax + b) @ @x 5 Взаимно однозначное и непрерывно дифференцируемое отображение F : M ! N гладкого многооб- разия M в гладкое многообразие N, обратное к которому тоже является непрерывно дифференцируемым называется диффеоморфизмом. 43 На этом рисунке показан образ координатной сетки при диффеоморфизме плоскости в себя. Интегральные кривые гладкого векторного поля попарно не пересекаются и заполня- ют многообразие или некоторую его область. Каждая точка из рассматриваемой области многообразия принадлежит одной и только одной кривой. Это множество кривых задает естественное отображение многообразия в себя. Это отображение называется переносом Ли. По определению, касательные вектора к этим кривым будут образовывать векторное поле на многообразии. Наша задача, понять как будут изменяться тензора при движе- нии вдоль кривых, или, другими словами, при переносе Ли, или вдоль векторного поля, ассоцированного с данным набором кривых или переносом Ли F t ? В силу взаимной однозначности отображения F t определен закон преобразования тен- зора от координат x i 0 к x i (t) . Компоненты тензора типа (p, q) (F t T ) i 1 ...i p j 1 ...j q в новой системе координат с координатами (x 1 (t), . . . , x n (t)) в силу общих законов преобразований тен- зоров связаны с компонентами тензора в исходной системе координат с координатами 44 (x 1 0 , . . . , x n 0 ) по правилам (F t T ) i 1 ...i p j 1 ...j q = T l 1 ...l p k 1 ...k q @x k 1 @x j 1 0 · · · @x k q @x j q 0 @x i 1 0 @x l 1 · · · @x i p 0 @x l p (23) Определение 19 Производной Ли тензора T типа (p, q) вдоль векторного поля ¯ V на- зывается тензор того же типа компоненты которого вычисляются по формуле L ¯ V T i 1 ...i p j 1 ...j q = d(F t T ) i 1 ...i p j 1 ...j q dt t=0 Таким образом, производная Ли измеряет скорость изменения тензора T при деформации многообразия, задаваемого отображением F t Чтобы вычислить значение производной Ли на тензоре T достаточно знать матрицы Якоби прямого и обратного отображения F t при малых значениях параметра t. В силу соотношения (22) матрица Якоби прямого отображения имеет вид @x i (t) @x j 0 = i j + t @v i @x j x j =x j 0 + o(t) а матрица Якоби обратного отображения @x i 0 @x j = i j t @v i @x j x j =x j 0 + o(t) Тогда дифференцируя правую часть формулы (23) и приравнивая t = 0 получаем L ¯ V T i 1 ...i p j 1 ...j p = v s @T i 1 ...i p j 1 ...j q @x s + T i 1 ...i p kj 2 ...j q @v k @x j 1 + · · · + T i 1 ...i p j 1 ...j q 1 k @v k @x j q T li 2 ...i p j 1 ...j q @v i 1 @x l · · · T i 1 ...i p 1 l j 1 ...j q @v i p @x l (24) Производная Ли от тензоров нулевого ранга или скалярных функций очевидно равна L ¯ V f = v i @f @x i = @ ¯ V f Производная Ли от векторов является вектором с компонентами ( L ¯ V ¯ U ) i = V i @U i @x j U j @V i @x j и, как легко проверить, совпадает с коммутатором дифференцирований вдоль векторных полей ¯ V и ¯ U ( L ¯ V ¯ U ) = [@ ¯ V , @ ¯ U ] 45 Заметим, что коммутатор операторов обладает всеми свойствами производной. В силу тождества Якоби, для производных Ли, действующих на векторных полях, выполняются соотношения [ L ¯ V , L ¯ U ] = L [ ¯ V , ¯ U ] и [[ L ¯ X , L ¯ Y ], L ¯ Z ] + [[ L ¯ Y , L ¯ Z ], L ¯ X ] + [[ L ¯ Z , L ¯ X ], L ¯ Y ] = 0 Можно показать, что аналогичные равенства будут справедливы при действии производ- ных Ли на произвольные тензора. Для производной Ли справедлива формула Лейбница L ¯ V (f ¯ U ) = ( L ¯ V (f )) ¯ U + f L ¯ V ( ¯ U ) и в более общем случае L ¯ V (A ⌦ B) = L ¯ V (A) ⌦ B + A ⌦ L ¯ V (B) Задача. Пользуясь формулой Лейбница доказать, что компонента производной Ли один- формы равна ( L ¯ V ˜ !) j = V i @ ˜ ! j @x i + ˜ ! i @V i @x j и сравнить с общей формулой для производной Ли от тензоров типа (0, 1). 4.2 Группы и алгебры Ли Определение 20 Алгеброй A над полем K называется линейное (векторное) простран- ство над полем K, в котором, кроме сложения элементов A и умножения их на чис- ла из K, определена операция умножения m : A ⌦ A ! A, то есть m(a, b) = ab 2 A (8a, b 2 A), причем это умножение удовлетворяет аксиомам дистрибутивности a(↵b + c) = ↵(ab) + (ac) , где a, d, c 2 A и ↵, 2 K. Если умножение m удовлетворяет еще и аксиоме ассоциативности: a(bc) = (ab)c, то алгебра A называется ассоциативной. Если в ассоциативной алгебре A есть выделенный элемент e такой, что выполняют- ся соотношения ae = ea = a (8a 2 A), то такая алгебра называется ассоциативной алгеброй с единицей. 46 Определение 21 Линейное пространство с дополнительной операцией [ , ], называемой скобкой, называется алгеброй Ли, если для любых трех элементов этого пространства выполняется тождество Якоби: [a, [b, c]] + [b, [c, a]] + [c, [a, b]] = 0. Например, трехмерное эвклидово пространство является алгеброй Ли относительно операции векторного умножения. Пусть A – некоторая алгебра линейных операторов. Тогда она превращается в алгебру Ли выбором в качестве скобки коммутатора операторов: [a, b] = ab ba. Пусть подмногообразие 6 задано уравнением некоторой поверхности и векторные поля ¯ V и ¯ U касаются этой поверхности, тогда справедливо следующее Утверждение 10 Если векторные поля ¯ V и ¯ U касаются некоторой гладкой поверхно- сти, то и их коммутатор касается этой поверхности. Справедливо и обратное утверждение, которое называется теоремой Фробениуса. Теорема 3 (Фробениуса.) Если m векторных полей класса R 1 , определенных в неко- торой области U многообразия M, имеют попарные скобки Ли, являющиеся линейными комбинациями этих же m векторных полей, то интегральные кривые этих полей обра- зуют некоторое семейство подмногообразий размерности не более m. Рассмотрим 3-мерное вещественное эвклидово пространство и набор векторных полей l x = y @ @z z @ @y , l y = z @ @x x @ @z , l z = y @ @x x @ @y (25) Легко проверить, что [l x , l y ] = l z , [l y , l z ] = l x , [l z , l x ] = l y , а значит по теореме Фробениуса эти три вектора определяют некоторое многообразие. Это многообразие – двумерная сфера радиуса r = (x 2 + y 2 + z 2 ) 1/2 . Легко проверить, что 6 Подмногообразие многообразия M – это такое многообразие, которое является гладким подмноже- ством в M. m-мерное подмногообразие S n-мерного многообразия M – это множество точек многообразия M , обладающие следующим свойством: в некоторой открытой окрестности в M произвольной точки P из S существует такая система координат для M, в которой точки S, лежащие в этой окрестности, опреде- ляются соотношениями x m+1 = x m+2 = · · · = x n = 0 47 l x (r) = l y (r) = l z (r) = 0 , следовательно функция r сохраняется вдоль всех трех векторов. Эти вектора линейно зависимы в любой точке сферы xl x + yl y = zl z , а значит определяют двумерное подмногообразие. Говорят, что тензорное поле T инвариантно относительно векторного поля ¯ V если L ¯ V T = 0 Пусть дано множество T = {T 1 , T 2 , . . . } тензорных полей. Имеется следующая теорема. Теорема 4 Множество всех векторных полей { ¯V } относительно которых все тензор- ные поля из F инвариантны, является алгеброй Ли. Док-во. Доказательство следует из линейности и следующего рассуждения: L ¯ V T i = L ¯ U T i = 0 ) [ L ¯ V , L ¯ U ]T i = 0 ) L [ ¯ V , ¯ U ] T i = 0 то есть если ¯ V и ¯ U принадлежат нашему множеству векторных полей, то и их коммутатор принадлежит этому множеству. Векторные поля из этого множества не являются базисом векторного пространства, однако могут образовывать базис в алгебре. Как мы видели на примере операторов l x , l y , l z , эти векторные поля линейно зависимы в R 3 , но для пред- ставления одного из этих полей через два других приходиться пользоваться переменными коэффициентами. Поэтому эти три поля суть линейно-независимые элементы алгебры Ли: никакая линейная комбинация этих полей с постоянными коэффициентами (не все из которых равны нулю) не равна нулевому элементу алгебры. Поэтому говорят, что эти векторные поля образуют трехмерный базис алгебры Ли. Векторным полем Киллинга (или вектором Киллинга) называется такое векторное поле ¯ V , для которого L ¯ V g = 0 В координатной записи это уравнение имеет вид ( L ¯ V g) ij = V k @g ij @x k + g ik @V k @x j + g kj @V k @x i = 0 Для эвклидовой метрики g ij = ij набор векторов @/@x, @/@y, @/@z, l x , l y , l z являются векторами Киллинга и образуют базис алгебры движений 3-мерного эвклидового про- странства. 48 4.3 Основные матричные алгебры Ли и линейные векторные поля С основными матричными группами Ли SL(n), SO(n), SU(n) связаны основные матрич- ные алгебры Ли. • Специальная линейная группа SL(n) матриц n-го порядка с определителем 1. Каса- тельное пространство sl(n) в единице есть множество матриц с нулевым следом. • Группа вращений SO(n). Касательное пространство so(n) – множество всех косо- симметричных матриц. Например, so(3) образована матрицами ` 1 = 0 B B B @ 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 C C C A , ` 2 = 0 B B B @ 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 C C C A , ` 3 = 0 B B B @ 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 C C C A с коммутационными соотношениями [` 1 , ` 2 ] = ` 3 , [` 2 , ` 3 ] = ` 1 , [` 3 , ` 1 ] = ` 2 , совпадающими с коммутационными соотношениями (25) дифференциальных опера- торов l x , l y , l z вдоль векторных полей, соответствующих вращениям 3-мерного про- странства вокруг координатных осей. • Специальная унитарная группа SU(n). Касательное пространство su(n) совпадает с множеством всех безследовых косоэрмитовых матриц. Например, su(2) образована матрицами I 1 = x 2i = 1 2i 0 @ 0 1 1 0 1 A , I 2 = y 2i = 1 2i 0 @ 0 i i 0 1 A , I 3 = z 2i = 1 2i 0 @ 1 0 0 1 1 A , (26) совпадающими с матрицами Паули. Пользуясь свойствами матриц Паули a · b = ab · 1 + i 3 X c=1 " abc c , где " abc полностью антисимметричный тензор нормированный условием " 123 = 1 , легко вычислить коммутатор образующих I a алгебры su(2): [I a , I b ] = " abc I c (27) Очевидно, что алгебры so(3) и su(2) совпадает. 49 Пусть X некоторая комплексная матрица n-го порядка. Построим векторное поле T X в пространстве C n , полагая его значение в точке x 2 C n равным T X (x) = Xx, T X = X i k x k @ @x i Такое векторное поле называется линейным, так как его компоненты линейным образом зависят от координаты пространства. Соответствующая интегральная кривая этого век- торного поля в пространстве C n c начальным условием x(0) = x 0 имеет вид x(t) = exp(tX)x 0 Легко проверить, что коммутатор двух линейных векторных полей T X и T Y , снова есть линейное векторное поле, определяемое коммутатором матриц X и Y : [T X , T Y ] = T [X,Y ] Докажите этот факт. Следствием этого утверждения, является факт, что линейные век- торные поля относительно операции коммутирования векторных полей образуют алгебру Ли изоморфную алгебре Ли всех матриц n-го порядка. Векторные поля, можно ввести также на группе Ли. Пусть, опять X некоторая ком- плексная матрица n-го порядка. Рассмотрим линейное преобразование пространства G 2 C n 2 вида G ! GX Соответствующее линейное векторное поле в этом пространстве обозначим L X . Его зна- чение в точке G определим как L X (G) = GX Интегральные кривые этого векторного поля определяются системой дифференциальных уравнений первого порядка @ t G(t) = L X (G) = GX и для начальных условий G(t)| t=0 = G 0 имеют единственное решение G(t) = G 0 exp(tX) Таким образом, однопараметрическая группа диффеоморфизмов, порожденная вектор- ным полем L X – это умножение справа на матрицу exp(tX). Множество таких матриц называется однопараметрической подгруппой группы G. Векторные поля L X обладают 50 важным свойством – левоинвариантностью (инвариантностью относительно левых сдви- гов). Действительно, из определения этих векторных полей следует, что BL X (A) = L X (BA) Теорема 5 Левоинвариантные векторные поля на группе G образуют алгебру Ли, изо- морфную алгебре ли g группы G. Другими словами, линейное пространство совпадающее с касательным пространством в единице группы Ли G называется алгеброй Ли g этой группы. Рассмотрим группу SU(2) и ее алгебру su(2). Комплексные параметры a и b для про- извольного элемента этой группы 0 @ a b b ⇤ a ⇤ 1 A могут быть выбраны как a = (cos(' 1 /2) cos(' 2 /2) i sin(' 1 /2) sin(' 2 /2)) e '3 2i , b = (cos(' 1 /2) sin(' 2 /2) + i sin(' 1 /2) cos(' 2 /2)) e '3 2i (при этом групповое соотношение |a| 2 + |b| 2 = 1 будет выполняться автоматически). Можно легко проверить что такой элемент группы будет представим в виде 0 @ a b b ⇤ a ⇤ 1 A = exp (' 1 · I 1 ) exp (' 2 · I 2 ) exp (' 3 · I 3 ) (28) произведения одно-параметрических подгрупп, где левоинвалиантные векторные поля опре- деляются матрицами Паули (26). Рассмотрим группу SO(3) и ее алгебру so(3). Используя определение этой матричной группы можно получить, что элементами ее алгебры будут кососимметричные матрицы I 1 = 0 B B B @ 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 C C C A , I 2 = 0 B B B @ 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 C C C A , I 3 = 0 B B B @ 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 C C C A , 51 Любой элемент группы SO(3) можно выразить через углы Эйлера и произведение соот- ветствующих однопараметрических подгрупп: exp( 1 I 3 ) · exp(✓I 1 ) · exp( 2 I 1 ) = = 0 B B B @ cos 1 cos 2 cos ✓ sin 1 sin 2 cos 1 sin 2 cos ✓ sin 1 cos 2 sin ✓ sin 1 sin 1 cos 2 + cos ✓ cos 1 sin 2 sin 1 sin 2 + cos ✓ cos 1 cos 2 sin ✓ cos 1 sin ✓ sin 2 sin ✓ cos 2 cos ✓ 1 C C C A При этом соответствующий элемент группы SU(2) будет иметь вид: exp( 1 I 3 ) · exp(✓I 1 ) · exp( 2 I 1 ) = 0 @ e i( 1 + 2 )/2 cos (✓/2) ie i( 2 1 )/2 sin (✓/2) ie i( 1 2 )/2 sin (✓/2) e i( 1 + 2 )/2 cos (✓/2) 1 A . (29) что доказывает существование гомоморфизма группы SU(2) на группу SO(3) с ядром 0 @ 1 0 0 1 1 A , 0 @ 1 0 0 1 1 A . Задача. Почему? 4.4 Алгебра Ли для группы Ли В любой группе G есть выделенный элемент e 2 G (единица группы). Выберем коор- динаты ¯ = { 1 , . . . , n } и g( ¯) 2 G в окрестности единицы группы таким образом, что g( 1 , . . . , n ) | ¯=0 = e . В этих координатах можно записать групповые операции: произведе- ние элементов группы с координатами ¯ и ¯ есть элемент группы с координатами ¯( ¯, ¯ ) , а обратный элемент – координаты ˜ = ˜( 1 , . . . , n ) . Функции ¯ и ˜ удовлетворяют свой- ствам 1. ¯( ¯, ¯0) = ¯ = ¯(¯0, ¯) (единица); 2. ¯( ¯, ˜( ¯)) = ¯0 (обратный элемент); 3. ¯( ¯, ¯( ¯ , ¯ ⌫)) = ¯( ¯( ¯, ¯ ), ¯ ⌫) (ассоциативность). Примером функций для координат введенных правилом (20) является следующая формула (X, Y ) = X + Y + XY 52 где элементы матриц X и Y являются координатами групповых элементов A = I + X и B = I + Y . Свойства 1 и 2 выполняются очевидным образом. Справедливость свойства 3 следует из сравнения следующих формул (X, (Y, Z)) = X + (Y, Z) + X (Y, Z) = X + Y + Z + Y Z + XY + XZ + XY Z ( (X, Y ), Z) = (X, Y ) + Z + (X, Y )Z = X + Y + Z + Y Z + XY + XZ + XY Z Определим касательные вектора к группе в окрестности единицы группы следующими формулами I i = @g( 1 , . . . , n ) @ i ¯=0 (30) Другими словами вблизи единичного элемента (около точки группового многообразия с координатами ¯ = 0) мы будем иметь разложение g( 1 , . . . , n ) = e + i I i + i j I ij + i j k I ijk + . . . , где операторы I i , I ij , I ijk и т.д. не зависят от групповых параметров и являются симмет- ричными объектами при перестановки любой пары индексов. Нашей задачей является проверка утверждения, что групповое свойство (19) ведет к определенному соотношению на касательные вектора I i , которое превращает набор этих касательных векторов в алгебру Ли. Функции ¯( ¯, ¯ ) полностью определяют группу G, в частности, из свойства 1 и гладкости функций ¯ следует, что i ( ¯, ¯ ) = i + i + f i jk j k + ( члены порядка 3) Запишем групповое умножение (19) вблизи единичного элемента с точностью до 2-ого поорядка малости по и (e + i I i + i j I ij + . . .)(e + i I i + i j I ij + . . .) = (e + i I i + i j I ij + . . .) = = e + ( i + i + f i jk j k + . . .)I i + ( i + i + . . .)( j + j + . . .)I ij + . . . или e + i I i + i I i + i j I i I j + i j I ij + i j I ij + . . . = = e + ( i + i + f i jk j k + . . .)I i + ( i j + 2 i j + i j + . . .)I ij + . . . 53 Первое нетривиальное соотношение в последнем равенстве возникнет как коэффициент при i j и будет равно I i I j = f k ij I k + I ij (31) Учитывая симметрию I ij = I ji из соотношения (31) следует что [I i , I j ] = I i I j I j I i = C k ij I k , (32) где антисимметричные константы C k ij = (f k ij f k ij ) = C k ji называются структурными константами группы Ли. Аналогично можно показать, что ассоциативность группового умножения, приводит к соотношению на константы f k ij X m f m ik f n jm = X m f m ji f n mk , 8n, i, j, k (33) Это соотношение и его пять аналогов со всеми возможными перестановками трех индексов i, j, k приводят к соотношению на структурные константы C m ij C n mk + C m ki C n mj + C m jk C n mi = 0 , (34) которое называется тождеством Якоби. По построению элементы касательного пространства T могут быть разложены по ба- зису генераторов группы (30) X = x i I i (35) Тогда в силу соотношений (32) для любых векторов касательного пространства будут выполнятся соотношения 1. [X, Y ] – билинейная операция в T ; 2. [X, Y ] = [Y, X] (кососимметричность); 3. [X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X, Y ]] = 0 (тождество Якоби). Это означает, что касательное пространство к группе в единице является алгеброй Ли, которую и называют алгеброй Ли группы Ли. 54 Очевидно, что не любой набор чисел C k ij антисимметричный по нижней паре индексов может быть структурной константой некоторой группы Ли. Фактически задачу о клас- сификации алгебр Ли можно было бы свести к задаче нахождения всех неэквивалент- ных решений тождества Якоби. Однако такой прямолинейный способ является слишком сложным и мы в последующих лекциях будем следовать другому подходу, предложенному Картаном. Итак, с каждой группой Ли G связана алгебра Ли g – алгебра инфинитезимальных образующих I a . Левые и правые инфинитезимальные сдвиги на группе G задают век- торные поля на группе Ли, которые определяют локальные свойства соответствующей группы Ли. Однако, с одной и той же алгеброй Ли могут быть связаны разные группы Ли, многообразия которых отличаются глобальными (топологическими) свойствами. Однопараметрические подгруппы в абстрактной группе Ли G определяются как мно- жества элементов (параметризованные кривые) F (t) 2 G такие, что F (0) = e и F (t 1 +t 2 ) = F (t 1 )F (t 2 ) , F ( t) = F (t) 1 . В матричных группах однопараметрические подгруппы всегда имеют вид F (t) = exp(tA), где элемент A принадлежит некоторой матричной алгебре Ли. В абстрактной группе Ли производная от однопараметрической подгруппы dF (t) dt опреде- ляет вектор касательного пространства F (t) 1 dF (t) dt не зависящий от параметра t в силу простой выкладки dF (t) dt = dF (t + ✏) d✏ ✏=0 = F (t) dF (✏) d✏ ✏=0 С формальной точки зрения множество преобразований g( ¯) = g(¯0) exp( a I a ) = g(¯0) 1 X k=0 ( a I a ) k k! (36) где g(¯0) - единица в группе, а I a – образующие алгебры Ли g, образуют группу Ли. То, что множество элементов (36) действительно образует группу следует из тождества Кэмпбелла-Хаусдорфа e X · e Y = e X+Y +[X,Y ]/2+[X Y,[X,Y ]]/12+ ··· где X, Y некоммутирующие операторы. Так как в правой части формулы Кэмпбелла- Хаусдорфа под экспонентой появляются только коммутаторы (относительно которых ал- гебра Ли замкнута), то для произведения элементов (36), формально имеется групповое 55 свойство exp( a I a ) exp( a I a ) = exp( a ( ¯, ¯ )I a ) где функции a ( ¯, ¯ ) = a + a + 1 2 C a bc a b + · · · определяются из формулы Кэмпбелла- Хаусдорфа и полностью определяют структуру группы Ли. Это утверждение может быть сформулировано как Теорема 6 Если функции a , задающие умножение в группе Ли G, аналитичны (то есть разлагаются в сходящиеся степенные ряды), то алгебра Ли однозначно определяет умножение в группе G для некоторой окрестности единицы e 2 G. В силу этого утверждения, образующие I a алгебры g, называются генераторами группы G , имеющей алгебру g. Присоединенное действие группы самой на себя G ! G : g ! h · g · h 1 сохраняет единицу группы, а значит задает линейное отображение касательного простран- ства в единице группы, тем самым присоединенное действие группы на алгебре Ли, остав- ляет инвариантной алгебру Ли. Действительно, этот факт можно проверить пользуясь свойствами экспоненциального отображения e "A · B · e "A = 1 X n=0 " n n! n X k=0 C k n A k · B · ( A) n k n X k=0 C k n A k · B · ( A) n k = [A, [A, . . . , [A, B] . . .]] | {z } n раз которые могут быть легко доказаны по индукции. Если элемент группы Ли g(x) = exp(A(x)) и соответствующий элемент алгебры Ли A(x) зависит от какого-то параметра, то в силу легко проверяемого равенства @ e "A · e "A = @(A) + 1 X n=2 " n n! [A, [A, . . . , [A, @(A)] . . .]] | {z } n 1 раз следует, что произведение @ µ g(x) · g(x) 1 также принадлежит алгебре. 56 |