Комплексные числа (2). Алгебраическая форма комплексного числа

• Название: Алгебраическая форма комплексного числа
• Дата: 17.02.2022
• Размер: 63.63 Kb.
• Имя файла: Комплексные числа (2).docx
• Тип: Документы; #365700

Формы записи комплексных чисел

• 
  Алгебраическая форма комплексного числа – это запись комплексного числа z в виде:
  

где и – действительные числа, – мнимая единица, удовлетворяющая соотношению . Число называется действительной частью комплексного числа и имеет обозначение . Число называется мнимой частью комплексного числа и имеет обозначение .

Комплексное число считается записанным корректно, если записано именно в данном виде. Запись по типу: – ошибка. Правильный вариант: .

Чтобы изобразить комплексное число на комплексной плоскости необходимо, в первую очередь, изобразить саму плоскость, представляющую из себя обычную координатную плоскость, но с осями (вместо ) и (вместо ), на первой оси отметить значение , на второй – значение . Пересечение перпендикуляров к этим точкам и есть число .

• 
  Тригонометрическая форма комплексного числа , не равного нулю, – это запись:
  

Где – модуль комплексного числа, а угол . Аргумент находится следующим образом:



Чтобы изобразить комплексное число на комплексной плоскости необходимо из начала координат провести прямую под углом и отложить на ней расстояние . Конец отрезка есть число .

Короче говоря, число на комплексной плоскости задает вектор с координатами , длиной и углом наклона к оси .

• 
  Показательная форма комплексного числа – выражение:
  

где – модуль комплексного числа, – его аргумент, – экспонента, – мнимая единица. По формуле Эйлера:

Сопряженные комплексные числа

Комплексны числа и называются сопряженными.

• 
  в тригонометрической форме:
  

• 
  в показательной форме:
  

Геометрический смысл: сопряженное числу есть число, симметричное самому числу относительно оси .

Свойства операции сопряжения:

1. 
   ;
   
2. 
   тогда и только тогда, когда – комплексное число;
   
3. 
   
   
4. 
   
   
5. 
   
   
6. 
   
   

Действия с комплексными числами

;

Равенство комплексных чисел:

• 
  В алгебраической форме:
  

, если и

• 
  В тригонометрической форме:
  

, если и

Сложение комплексных чисел:

• 
  В алгебраической форме:
  

(аналогично с вычитанием)

• 
  В тригонометрической форме:
  

(аналогично с вычитанием)

Умножение комплексных чисел:

• 
  В алгебраической форме:
  

(простое раскрытие скобок)

• 
  В тригонометрической форме:
  

Деление комплексных чисел:

• 
  В алгебраической форме:
  

(раскрытие скобок с помощью домножения знаменателя на сопряженное)

• 
  В тригонометрической форме:
  

Возведение комплексного числа в степень

• 
  в тригонометрической форме (формула Муавра):
  

• 
  в показательной форме:
  

Важно помнить, что аргумент и должен находиться в диапазоне , следовательно, нужно не забыть вычесть нужное количество после домножения.

Извлечение корня из комплексного числа

Чтобы извлечь корень из комплексного числа, в первую очередь, нужно представить его в тригонометрической форме. Количество корней есть значение, равное степени корня. То есть, извлекая корень 4-й степени из комплексного числа, мы получаем 4 корня.

Как и для возведения в целую степень, будет справедливо:



– степень извлекаемого корня, . Вычисляем извлеченные корни поочередно, в каждый из которых подставляем свое значение n. Важно помнить, что аргумент и должен находиться в диапазоне , следовательно, нужно не забыть вычесть нужное количество после всех операций вычисления.

Если комплексное число не равно нулю, то корни степени существуют всегда, и их можно изобразить на комплексной плоскости: они будут представлять собой вершины правильного -угольника, который вписан в окружность с центром в начале координат и радиусом .

Свойства комплексных чисел

• 
  Переместительное свойство:
  

;

• 
  Сочетательное свойство:
  

;

• 
  Распределительное свойство: