ответы аналитическая геометрия 1 курс. Аналитическая геометрия. Рубежный контроль 2. Теория
 Скачать 458.41 Kb.
|
|
Аналитическая геометрия. Рубежный контроль №2. Теория. Часть А. 1. Единичная матрица - квадратная матрица, на диагонали которой располагаются единицы, все остальные элементы равны 0. Нулевая матрица - любая матрица, все элементы которой равны 0. Верхняя треугольная матрица - квадратная матрица, у которой все элементы под главной диагональю равны 0. Нижняя треугольная матрица - квадратная матрица, у которой все элементы над главной диагональю равны 2. Две матрицы называются равными, если они имеют один и тот же размер и если совпадают соответствующие элементы. 3. Суммой матриц A = (aij ) и B = (bij ) типа m×n называют матрицу C=(cij) того же типа с элементами cij =aij +bij, i=1..m, j=1..n. Произведением матрицы A = (aij) типа m×n на число α ∈ R называют матрицу C = (cij ) типа m×n с элементами cij = αaij . 4. Для матрицы A = (aij) типа m×n ее транспонированной матрицей называют матрицу Aт = (cij) типа n×m с элементами cij = aji. 5. Пусть даны матрица А = (aij) типа m×n и матрица B = (bij) типа n×p. Произведением матриц А и В называют матрицу C = (cij ) типа m×p с элементами которую обозначают C = AB. 6. 1) Умножение матриц ассоциативно, т.е. (AB)C = A(BC). 2) Умножение матриц дистрибутивно относительно сложения матриц, т.е. (A + B)C = AC + BC. 7. (Просто привести пример) АВ не равно ВА. 8. Пусть A - квадратная матрица порядка n. Квадратную матрицу B того же порядка называют обратной к A, если AB = BA = E, где E - единичная матрица порядка n. 9. 1) Если квадратные матрицы A и B порядка n имеют обратные матрицы, то и их произведение имеет обратную матрицу, причем (AB)−1 = B−1A−1. (AB)B−1A−1 = E, (B−1A−1)(AB) = E. 2) Если матрица A порядка n имеет обратную, то и транспонированная матрица Aт имеет обратную, причем (Aт)−1 = (A−1)т Aт(A−1)т = (A−1)тAт = E. 10. Квадратная матрица имеет обратную тогда и только тогда, когда её определитель не равен 0. 11. Пусть дана квадратная матрица A порядка n. Матрицу A ∗ , транспонированную к матрице (A ij ) алгебраических дополнений, называют присоединенной. 12. 1) Умножение i-й строки (столбца) матрицы на число λ, не равное 0. 2) Перестановка двух строк (столбцов) в матрице. 3) Добавление к i-й строке (столбцу) матрицы ее k-й строки с коэффициентом λ. 13. 14. Минором порядка k матрицы A типа m×n называют определитель, который составлен из элементов этой матрицы, стоящих на пересечении произвольно выбранных k строк и k столбцов с сохранением порядка этих строк и столбцов. Минор М ′ матрицы A называют окаймляющим для минора М , если он получается из последнего добавлением одной новой строки и одного нового столбца матрицы A. 15. Минор М матрицы A называют базисным, если выполнены два условия: а) он не равен нулю; б) его порядок равен рангу матрицы A. Рангом матрицы называют число, которое равно максимальному порядку среди ее ненулевых миноров. 16. Базисные строки (столбцы) матрицы A, соответствующие любому ее базисному минору M, линейно независимы. Любые строки (столбцы) матрицы A, не входящие в М , являются линейными комбинациями базисных строк (столбцов). 17. Ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях ее строк и столбцов. 18. 1) Координатная форма записи 2) Векторная форма записи 3) Матричная форма записи СЛАУ называют совместной, если она имеет какие-либо решения. 19) СЛАУ называют однородной, если b1 = b2 = ... = bm = 0. В противном случае ее называют неоднородной. 20) Для совместности СЛАУ Ax = b необходимо и достаточно, чтобы ранг ее матрицы A был равен рангу ее расширенной матрицы (A|b). 21) Если столбцы x (1) , x (2) , . . . , x (s) — решения однородной СЛАУ Ax = 0, то любая их линейная комбинация также является решением этой системы. 22) Любой набор из k = n − r линейно независимых столбцов, являющихся решениями однородной СЛАУ Ax = 0, где n — количество неизвестных в системе, а r — ранг ее матрицы A, называют фундаментальной системой решений этой однородной СЛАУ. 23) Пусть дана однородная СЛАУ Ax = 0 с n неизвестными и Rg A = r. Тогда существует набор из k = n−r решений x (1) , . . . , x (k) этой СЛАУ, образующих фундаментальную систему решений. 24) Если x (1) , . . . , x (k) — произвольная фундаментальная система решений однородной СЛАУ Ax = 0, то любое ее решение x можно представить в виде x=c 1 x (1) +…+c k x (k) 25) Пусть x ◦ — частное решение СЛАУ Ax = b и известна фундаментальная система решений x (1) , ..., x (k) соответствующей однородной системы Ax = 0. Тогда любое решение СЛАУ Ax = b можно представить в виде x=x ◦ +c 1 x (1) +c 2 x (2) +...+c k x (k) Часть Б. 1. Ассоциативность Дистрибутивность 2. Критерий существования обратной матрицы. Квадратная матрица имеет обратную тогда и только тогда, когда её определитель не равен 0. Необходимость. Пусть A −1 — матрица, обратная к А. Тогда det(AA −1 ) = detE = 1, но, согласно свойству определителей, det(AA −1 ) = det A det A −1 . Поэтому det A det A −1 = 1 и, следовательно, det A ̸= 0. Достаточность. Пусть det A не равно 0. Обозначим через A ij алгебраическое дополнение матрицы А, соответствующее элементу a ij , т.е. A ij = (−1) i+j M ij , где M ij — минор этого же элемента. Раскрывая определитель матрицы A по i-й строке, получаем равенства По свойствам определителей, для любых индексов k не равных i выполнено равенство 3. Рассмотрим СЛАУ с квадратной невырожденной матрицей A в матричной записи Ax = b. В такой форме СЛАУ представляет собой частный случай матричного уравнения AX = B при B = b и X = x. Поэтому она имеет единственное решение x = A −1 b, где A −1 — матрица, обратная к A. Чтобы выразить это единственное решение через коэффициенты СЛАУ, запишем A −1 в виде: A −1 = (α ij ), где α ij = A ji / detA, а A ji — алгебраическое дополнение элемента a ji матрицы A. Перейдем от матричного равенства x = A −1 b к его координатной записи. Тогда для первых элементов в столбцах левой и правой частей последнего равенства имеем 4. Базисные строки (столбцы) матрицы A, соответствующие любому ее базисному минору M, линейно независимы. Любые строки (столбцы) матрицы A, не входящие в М , являются линейными комбинациями базисных строк (столбцов). Доказательство. Пусть ранг матрицы A = (a ij ) типа m×n равен r. Фиксируем какой-либо ее базисный минор M и соответствующие ему базисные строки матрицы A. Докажем, что базисные строки линейно независимы. Предположим, что они линейно зависимы. Тогда одна из них является линейной комбинацией остальных базисных строк. Согласно свойствам определителей, минор M равен нулю. Это противоречит тому, что минор M базисный. Докажем, что любая строка матрицы A, не входящая в базисный минор, является линейной комбинацией базисных строк. Предположим, что базисный минор M расположен в верхнем левом углу матрицы. Пусть i — номер строки, не являющейся базисной, т.е. r + 1<= ︎ i ︎<=m. Покажем, что определитель порядка r + 1, полученный добавлением к минору M элементов i-й строки и произвольного j-го столбца равен нулю. При j <=︎ r определитель равен нулю, так как он содержит два одинаковых столбца. Если же j > r, то ∆ = 0, так как в этом случае ∆ является минором матрицы A, порядок которого равен r + 1 и больше ранга матрицы. Итак, ∆ = 0. Раскладывая определитель ∆ по последнему столбцу, получаем равенство A 1,r+1 a 1j + A 2,r+1 a 2j + . . . + A r,r+1 a rj + A r+1,r+1 a ij = 0, в котором через A 1,r+1 , A 2,r+1 , . . . , A r,r+1 , A r+1,r+1 обозначены алгебраические дополнения соответствующих элементов рассматриваемого определителя. A r+1,r+1 = M не равно 0. Поэтому из последнего равенства следует, что для всех j a ij =b 1 a 1j +b 2 a 2j +...+b r a rj , где коэффициенты b k = −A k,r+1 /A r+1,r+1 , не зависят от j, а это означает, что i-я строка матрицы A является линейной комбинацией первых r ее строк, т.е. линейной комбинацией ее базисных строк. ︎ 5. Для совместности СЛАУ Ax = b необходимо и достаточно, чтобы ранг ее матрицы A был равен рангу ее расширенной матрицы (A|b). Необходимость. Ранг матрицы A СЛАУ Ax = b не превышает ранга расширенной матрицы (A | b). Поэтому нам достаточно показать, что ранг матрицы системы не меньше ранга ее расширенной матрицы. Если система совместна, то, записывая ее в векторной форме, делаем вывод, что существуют такие значения неизвестных x 1 , . . . , x n , для которых a 1 x 1 + . . . + a n x n = b, где a i — столбцы матрицы A, b — столбец свободных членов. Это означает, что последний столбец b в расширенной матрице системы является линейной комбинацией остальных столбцов. Выберем какой-либо базисный минор матрицы A. Пусть он содержит строки с номерами 1, 2, . . . , k и столбцы с теми же номерами, т.е. Согласно теореме о базисном миноре, базисные столбцы линейно независимы, в то время как для каждого j>k существуют такие λ ij ∈R, i=1..k, что a j =λ 1j a 1 +...+λ kj a k . Поэтому столбец b=a 1 x 1 +...+a k x k +a k+1 x k+1 +...+a n x n = =a 1 x 1 +...+a k x k +(λ 1,k+1 a 1 +...+λ k,k+1 a k )x k+1 +...+(λ 1n a 1 +…+λ kn a k )x n является линейной комбинацией базисных столбцов матрицы A. Это означает, что М является также базисным минором и в расширенной матрице (во-первых, он ненулевой; во-вторых, если взять какой-либо окаймляющий минор M ′ , то либо он будет минором матрицы A, т.е. нулевым, либо он будет содержать столбец b и, следовательно, не может быть ненулевым, так как его столбцы линейно зависимы). Поэтому Rg(A | b) = Rg A. Достаточность. Пусть Rg(A|b) = RgA. Выберем в A базисный минор M. Тогда он будет базисным и в матрице (A|b). Значит, столбец b можно представить как линейную комбинацию базисных столбцов a 1 , . . . , a k : b = x ◦ 1 a 1 + . . . + x ◦ k a k . Полагая x ◦ k+1 = x ◦ k+2 = . . . = x ◦ n = 0, получаем решение x ◦ 1 , . . . , x ◦ n исходной СЛАУ, поскольку b=x ◦ 1 a 1 +...+x ◦ k a k =x ◦ 1 a 1 +...+x ◦ k a k +0a k+1 +...+0a n . Это означает, что СЛАУ совместна. 6. Пусть дана однородная СЛАУ Ax = 0 с n неизвестными и Rg A = r. Тогда существует набор из k = n−r решений x (1) , . . . , x (k) этой СЛАУ, образующих фундаментальную систему решений. Допустим, что базисный минор матрицы A сосредоточен в верхнем левом углу, т.е. расположен в строках 1, 2, ..., r и столбцах 1, 2, ..., r. Тогда остальные строки матрицы A, согласно теореме о базисном миноре, являются линейными комбинациями базисных строк. Для системы Ax = 0 это означает, что если значения х 1 , . . . , х n удовлетворяют уравнениям, соответствующим строкам базисного минора, т.е. первым r уравнениям, то они удовлетворяют и остальным уравнениям. Следовательно, множество решений системы не изменится, если отбросить все уравнения начиная с (r + 1)-го. Сделав это, получим систему Разделим неизвестные на базисные x 1 , . . . , x r и свободные x r+1 , . . . , x n , перенеся последние в правую часть, а в левой оставив базисные: * Если мы зададим произвольные значения свободных неизвестных x r+1 , ..., x n , то относительно базисных неизвестных получим квадратную СЛАУ с невырожденной матрицей, решение которой существует и единственно. Таким образом, любое решение однородной СЛАУ однозначно определяется значениями свободных неизвестных x r+1 , . . . , x n Рассмотрим следующие k = n − r серий значений свободных неизвестных x r+1 , . . . , x n : Здесь номер серии указан верхним индексом в скобках, а сами серии значений выписаны в виде столбцов. В каждой серии x (i) =1, если j=i, и x (i) =0, если j не равно i. Далее, i-й серии значений свободных неизвестных однозначно соответствуют значения x (i) 1 …, x r (i) базисных неизвестных. Значения свободных и базисных неизвестных в совокупности дают решение системы( * ). & Покажем, что столбцы образуют фундаментальную систему решений. Так как эти столбцы по построению являются решениями однородной системы Ax = 0 и их количество равно k, то, в соответствии с определением ФСР, остается доказать линейную независимость решений (&). Пусть есть некоторая линейная комбинация решений x (1) , . . . , x (k) , равная нулевому столбцу: α 1 x (1) +...+α k x (k) =0. Тогда левая часть этого равенства является столбцом, компоненты которого с номерами r + 1, . . . , n равны нулю. Но (r+1)-я компонента равна α 1 1+α 2 0+. . .+α k 0 = α 1 . Аналогично, (r+2)-я компонента равна α 2 и, наконец, k-я компонента равна α k . Поэтому α 1 = α 2 = . . . = α k = 0, что означает линейную независимость решений x (1) , . . . , x (k) 7. Если x (1) , . . . , x (k) — произвольная ФСР однородной СЛАУ Ax = 0, то любое ее решение x можно представить в виде x=c 1 x (1) +...+c k x (k) , где c 1 , . . . , c k — некоторые постоянные. Это вызвано тем, что, согласно теоремам 14.1(если столбцы x (1) , x (2) , . . . , x (s) — решения однородной СЛАУ Ax = 0, то любая их линейная комбинация также является решением этой системы.) и 14.3(наша), при заданной ФСР x (1) , . . . , x (k) однородной СЛАУ выражение x оо = c 1 x (1) + . . . + c k x (k) , где с 1 , . . , c k принимают произвольные значения, описывает все множество решений. 8. 1) Пусть столбец x ◦ — некоторое решение СЛАУ Ax = b. Произвольный столбец x является решением этой СЛАУ тогда и только тогда, когда он имеет представление x = x ◦ + y, где y - решение соответствующей однородной СЛАУ Ay = 0. Если x — решение СЛАУ Ax = b, то A(x−x ◦ ) = Ax−Ax ◦ = b−b = 0. Поэтому столбец y = x − x ◦ является решением соответствующей однородной СЛАУ, и мы получаем представление x = x ◦ + y. Наоборот, если y — произвольное решение соответствующей однородной системы, то x = = x ◦ + y — решение системы Ax = b, так как A(x ◦ + y) = Ax ◦ + Ay = b + 0 = b. 2) Пусть x ◦ - частное решение СЛАУ Ax=b и известна ФСР x (1) , ..., x (k) соответствующей однородной системы Ax = 0. Тогда любое решение СЛАУ Ax = b можно представить в виде x=x ◦ +c 1 x (1) +c 2 x (2) +...+c k x (k) , Пусть матрица X 0 является общим решением однородной системы AX 0 = 0 Обозначим X ч частное решение неоднородной системы AX ч = B Складывая тождества, получаем тождество A ( X 0 + X ч ) = B, справедливое при любых значениях свободных параметров, входящих в общее решение X 0 Следовательно, матрица X 0 + X ч является общим решением матричного уравнения. |