Крнспект. Анализ кредитных операций Финансовая математикаЦели изучения темы
 Скачать 0.57 Mb.
|
|
Анализ кредитных операций Финансовая математика Цели изучения темы: - анализ кредитных операций, видов кредитов; - определение эффективности финансовых операций с валютой. Задачи изучения темы: понимание сущность контура финансовой операции; получение представления о методах расчета доходности кредитных операций; изучение конверсии валюты с наращением процентов; изучение методов погашения долга. В результате изучения данной темы Вы будете Знать: понятие конверсии; понятие контура кредитной операции. Уметь: определять основные методы, сущность контура финансовой операции; использовать методы расчета доходности кредитных операций; практически применить конверсию валюты с наращением процентов; применить методы погашения долга. Владеть: методами содержательной интерпретации полученных результатов. Учебные вопросы темы: 1. Варианты погашения долга и составление плана погашения кредита. 2. План погашения долга с равномерными выплатами основной суммы долга. 3. Вариант погашения долга равными погасительными платежами. Вопрос 1. Варианты погашения долга и составление плана погашения кредита Финансовая или кредитная операции предполагают сбалансированность вложений и отдачи. Понятие сбалансированности можно пояснить на графике. Пусть ссуда в размере D 0 выдана на срок T. На протяжении этого срока в счет погашения задолженности производятся, допустим, два промежуточных платежа R 1 и R 2 , а в конце срока выплачивается остаток задолженности R3, подводящий баланс операции. На интервале времени t 1 задолженность возрастает до величины D 1 . В момент t 1 долг уменьшается до величины K 1 =D 1 -R 1 и т.д. Рис. 1. Контур финансовой операции Заканчивается операция получением кредитором остатка задолженности R3. В этот момент задолженность полностью погашается. Назовем график рис. 1 типа б) контуром финансовой операции. Сбалансированная операция обязательно имеет замкнутый контур, т.е. последняя выплата полностью покрывает остаток задолженности. Контур операции обычно применяется при погашении задолженности частичными промежуточными платежами. Формула погашения задолженности равными частями имеет вид: 1 1 1 0 n m n m m i m m i i D R (1) С помощью последовательных частичных платежей иногда погашаются краткосрочные обязательства. В этом случае существуют два метода расчета процентов и определения остатка задолженности. Первый называется актуарным и применяется в основном в операциях со сроком более года. Второй метод назван правилом торговца. Он обычно применяется коммерческими фирмами в сделках со сроком не более года. При начислении процентов, как правило, используются обыкновенные проценты с приближенным числом дней временных периодов. Актуарный метод Актуарный метод предполагает последовательное начисление процентов на фактические суммы долга. Частичный платеж идет в первую очередь на погашение процентов, начисленных на дату платежа. Если величина платежа превышает сумму начисленных процентов, то разница идет на погашение основной суммы долга. Непогашенный остаток долга служит базой для начисления процентов за следующий период и т.д. Если же частичный платеж меньше начисленных процентов, то никакие зачеты в сумме долга не делаются. Такое поступление приплюсовывается к следующему платежу. Для случая, показанного на рисунке 1, получим следующие расчетные формулы для определения остатка задолженности: K 1 =D 0 (1+t 1 i)-R 1 ; K 2 =K 1 (1+t 2 i)-R 2 ; K 2 (1+t 3 i)-R 3 =0, где периоды времени t 1 , t 2 , t 3 – заданы в годах, а процентная ставка i – годовая. Правило торговца Правило торговца является другим подходом к расчету частичных платежей. Здесь возможны две ситуации. Если срок ссуды не превышает, сумма долга с начисленными за весь срок процентами остается неизменной до полного погашения. Одновременно идет накопление частичных платежей с начисленными на них до конца срока процентами. В случае, когда срок превышает год, указанные выше расчеты, делаются для годового периода задолженности. В конце года из суммы задолженности вычитается наращенная сумма накопленных частичных платежей. Остаток погашается в следующем году. При общем сроке ссуды T≤1 алгоритм можно записать следующим образом: ) 1 ( ) 1 ( i t R Ti P K D S j j где S – остаток долга на конец срока, D – наращенная сумма долга, K – наращенная сумма платежей, R j – сумма частичного платежа, t j – интервал времени от момента платежа до конца срока, m – число частичных (промежуточных) платежей. Существуют следующие варианты погашения основной суммы долга: Единовременное погашение основной суммы долга. Дифференцированный – погашение основной суммы долга периодическими взносами: равномерное погашение основной суммы долга неравномерное погашение основной суммы долга Аннуитетный – постепенная выплата основной суммы долга и процентов равномерными погасительными платежами. Рассмотрим различные варианты погашения долга на примере, в котором размер кредита, процентная ставка и срок остаются всегда постоянными, а условия погашения основной суммы долга будут меняться. Вопрос 2. План погашения долга равномерными выплатами основной суммы долга Рассмотрим пример составления плана погашения кредита с равномерными выплатами основной суммы долга на примере 1. Пример 1. (Дифференцированный способ погашения) Кредит в сумме 100000 руб. требуется погасить за 5 лет равными суммами в конце каждого года. На непогашенный остаток суммы кредита начисляются ежегодные проценты в размере 10%. Составить план погашения долга. Решение: Р 5 = 100:5 = 20 тыс. руб. План погашения долга приведем в таблице 1 с расчетами. Таблица 1. План погашения долга Номер интервала Непогашенный остаток Р на начало k-того интервала Структура платежа Размер платежа Сумма возмещения Р Проценты на Р к k ∆Рк Р 5 I k Р к 1 100 20 100·0,1=10 20+10=30 2 100-20=80 20 80·0,1=8 20+8=28 3 80-20=60 20 60·0,1=6 20+6=26 4 60-20=40 20 40·0,1=4 20+4=24 5 40-20=20 20 20· 0,1=2 20+2=22 итого - 100 30 130 Со временем уменьшаются размер платежа и сумма процентов. Вопрос 3. Вариант погашения долга равными погасительными платежами Рассмотрим пример составления плана погашения кредита равными погасительными платежами на примере 2. Пример 2. Фирма получила кредит в размере 2000000 рублей на срок 2 года и выдала обязательство выплачивать 10% годовых от остаточной суммы долга на начало периода. Выплата процентов и погашение основной суммы долга производится в конце каждого полугодия равными погасительными платежами (выплатами или срочными уплатами)). Составить план погашения долга. Последовательность платежей в данном варианте будет представлять собой финансовую ренту, современная величина которой равна сумме полученного кредита. По условию: величина долга А=2000000рублей, процентная ставка i=j=10%, р=m=2, n=2 – срок кредита. Сначала находим величину погасительного платежа: 𝑅/𝑝 Таблица 2. План погашения долга Номер интервала Сумма кредита на начало периода Структура платежа Остаток погашения основного долга Сумма процентов за период I P n i Погасительн ый платеж (срочная уплата) 1536∙0,5∙0.1=7 Итого Сопоставим размеры процентов по двум вариантам погашения кредита. При равномерном погашении основной суммы долга проценты составили 250 000 рублей. Погашение долга равными срочными уплатами приводит к сумме процентов 25 6000 рублей. С точки зрения заемщика более выгоден вариант равномерного погашения основного долга. Для банка погашение долга равными срочными уплатами привлекательно большей суммой процентных выплат, хотя, с другой стороны, остается большая сумма непогашенного долга, что означает больший кредитный риск для банка. Следует учесть также и минимизацию операционных издержек, и контроль за погашением долга. В этой связи вариант погашения равными срочными уплатами получил широкое распространение в ипотечном и потребительском кредите. Пример 3. Потребительский кредит на сумму 5000 руб. открыт на 2 года по ставке 25% годовых. Погашение кредита равными взносами ежеквартально. Определить стоимость кредита и размер ежеквартальных взносов. Решение: Стоимость кредита – это проценты, которые равны: I = D · n · i = 5'000 · 2· 0,25 = 2500 рублей Общая сумма расходов по обслуживанию кредита равна: ΣY t = D + I = 5000 + 2500 = 7500 рублей Ежеквартальные взносы составят величину: ΣY t = (D + I) : (n · m) = 7500 : 2 · 4 = 937,50 рублей Таким образом, ежеквартальные взносы в размере 937,50 руб. позволяет выплатить сумму долга и выплатить проценты. Пример 4. Рассчитать размер ежегодной выплаты аннуитетными (равными) платежами для погашения ссуды размером 220000 руб., взятую на 7 лет под 9% годовых. Решение: По формуле: 1 1 1 0 n m n m m i m m i i D R 1 09 , 0 1 09 , 0 1 09 , 0 220000 7 7 R = 47647 руб. Рассмотрим операции конвертации валюты Конвертация валюты и начисление простых процентов Рассмотрим совмещение конвертации (обмена) валюты и наращение простых процентов, сравним результаты от непосредственного размещения имеющихся денежных средств в депозиты или после предварительного обмена на другую валюту. Всего возможно 4 варианта наращения процентов: Без конвертации. Валютные средства размещаются в качестве валютного депозита, наращение первоначальной суммы производится по валютной ставке путем прямого применения формулы простых процентов. С конвертацией. Исходные валютные средства конвертируются в рубли, наращение идет по рублевой ставке, в конце операции рублевая сумма конвертируется обратно в исходную валюту. Без конвертации. Рублевая сумма размещается в виде рублевого депозита, на который начисляются проценты по рублевой ставке по формуле простых процентов. С конвертацией. Рублевая сумма конвертируется в какую-либо конкретную валюту, которая инвестируется в валютный депозит. Проценты начисляются по валютной ставке. Наращенная сумма в конце операции обратно конвертируется в рубли. Операции без конвертации не представляют сложности. В операции наращения с двойной конвертацией имеются два источника дохода: начисление процента и изменение курса. Причем начисление процента является безусловным источником (ставка фиксирована, инфляцию пока не рассматриваем). Изменение же обменного курса может быть, как в ту, так и в другую сторону, и оно может быть, как источником дополнительного дохода, так и приводить к потерям. Далее конкретно остановимся на двух вариантах (2 и 4), предусматривающих двойную конвертацию. Предварительно введем следующие обозначения: Pv – сумма депозита в валюте, Pr – сумма депозита в рублях, Sv – наращенная сумма в валюте, Sr – наращенная сумма в рублях, K0 – курс обмена в начале операции (курс валюты в руб.), K1 – курс обмена в конце операции, n – срок депозита, i – ставка наращения для рублевых сумм (в виде десятичной дроби), j – ставка наращения для конкретной валюты. ВАРИАНТ: ВАЛЮТА→ РУБЛИ → РУБЛИ →ВАЛЮТА Операция состоит из трех этапов: обмена валюты на рубли, наращения рублевой суммы, обратное конвертирование рублевой суммы в исходную валюту. Наращенная сумма, получаемая в конце операции в валюте, составит S v = P v K 0 (1+ni) 1 𝐾 1 (2) Как видим, три этапа операции нашли свое отражение в этой формуле в виде трех сомножителей. Множитель наращения с учетом двойной конвертации равен m= 𝐾 0 𝐾 1 (1+ni) = 1+𝑛𝑖 𝑘 (3) где k=K1/K0 – темп роста обменного курса за срок операции. Множитель наращения m связан линейной зависимостью со ставкой i и обратной с обменным курсом в конце операции K1 (или с темпом роста обменного курса k). Исследуем теоретически зависимость общей доходности операции с двойной конвертацией по схеме ВАЛЮТА → РУБЛИ → РУБЛИ →ВАЛЮТА от соотношения конечного и начального курсов обмена k. Простая годовая ставка процентов, характеризующая доходность операции в целом, равна: v v v эфф nP P S i (4) Подставим в эту формулу записанное ранее выражение для Sv n n ni k n ni K K i эфф 1 ) 1 ( 1 1 ) 1 ( 1 0 (5) Таким образом с увеличением k доходность iэфф падает по гиперболе с асимптотой – 1/n (рис. 2). Рис. 2. Доходность операции Исследуем особые точки этой кривой. Отметим, что при k=1 доходность операции равна рублевой ставке, т.е. iэфф=i. При k>1 iэфф = 0 находим, что k* = 1+ni, что в свою очередь означает K 1 *=K0(1+ni). Вывод 1: Если ожидаемые величины k или K1 превышают свои критические значения, то операция явно убыточна (iэфф<0). Теперь определим максимально допустимое значение курса обмена в конце операции K1, при котором эффективность будет равнасуществующей ставке по депозитам в валюте, и применение двойнойконвертации не дает никакой дополнительной выгоды. Для этогоприравняем множители наращения для двух альтернативных операций 1+nj = 𝐾 0 𝐾 1 (1+ni) (6) Из записанного равенства следует, что max K 1 = K 0 1+𝑛𝑖 1+𝑛𝑗 (7) или max k = 𝐾 0 𝐾 1 = 1+ni 1+nj (8) Вывод 2: Депозит валюты через конвертацию в рубли выгоднее валютного депозита, если обменный курс в конце операции ожидается меньше max K1. ВАРИАНТ: РУБЛИ → ВАЛЮТА → ВАЛЮТА → РУБЛИ Рассмотрим теперь вариант с двойной конвертацией, когда имеется исходная сумма в рублях. В этом случае трем этапам операции соответствуют три сомножителя следующего выражения для наращенной суммы S r = 𝑃 𝑟 𝐾 0 (1+nj)K 1 = P r (1+nj) 𝐾 1 𝐾 0 (9) Здесь также множитель наращения линейно зависит от ставки, но теперь от валютной ставки процентов. От конечного курса обмена он также зависит линейно. Проведем теоретический анализ эффективности этой операции с двойной конвертацией и определим критические точки. Доходность операции в целом определяется по формуле r r r эфф nP P S i Отсюда, подставив выражение для Sr, получаем n n nj k n nj K K i эфф 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( 0 1 (10) Зависимость показателя эффективности iэфф от k линейная, она представлена на рис. 3. Рис. 3. Зависимость показателя эффективности При k=1 iэфф=j, при k>1 iэфф>j, при k<1 iэфф Найдем теперь критическое значение k*, при котором iэфф=0. Оно оказывается равным k*= 1 1+𝑛𝑗 (11) или K * 1 = K 0 1 1+𝑛𝑗 (12) Вывод 3: Если ожидаемые величины k или K1 меньше своих критических значений, то операция явно убыточна (iэфф<0). Минимально допустимая величина k (темпа роста валютного курса за весь срок операции), обеспечивающая такую же доходность, что и прямой вклад в рублях, определяется путем приравнивания множителей наращения для альтернативных операций (или из равенства iэфф=i) 𝐾 1 𝐾 0 (1+nj) = 1+ni (13) откуда min k= 1+𝑛𝑖 1+𝑛𝑗 или min K 1 = K 0 1+𝑛𝑖 1+𝑛𝑗 (14) Вывод 4: Если ожидаемые величины k или K1 меньше своих критических значений, то операция явно убыточна (iэфф<0). Минимально допустимая величина k (темпа роста валютного курса за весь срок операции), обеспечивающая такую же доходность, что и прямой вклад в рублях, определяется путем приравнивания множителей наращения для альтернативных операций (или из равенства iэфф=i). Вывод 5: Депозит рублевых сумм через конвертацию в валюту выгоднее рублевого депозита, если обменный курс в конце операции ожидается больше min K1. Конвертация валюты и начисление сложных процентов Рассмотрим совмещение конвертации валюты и наращение сложных процентов. Ограничимся одним вариантом. ВАРИАНТ: ВАЛЮТА → РУБЛИ → РУБЛИ → ВАЛЮТА Три этапа операции записываются в одной формуле для наращенной суммы S v = P v K 0 (1+i) n 1 𝐾 1 (15) где i – ставка сложных процентов. Множитель наращения m= 𝐾 0 𝐾 1 (1+i) n = (1+𝑖) 𝑛 𝑘 (16) Где k= 𝐾 1 𝐾 0 - темп роста валютного курса за период операции. Определим доходность операции в целом в виде годовой ставки сложных процентов iэ. Из формулы наращения по сложным процентам S=P(1+i) n следует, что 1 n э P S i (17) Подставив в эту формулу значение Sv, получим i э= 1+𝑖 √𝑘 𝑛 – 1 (18) Из этого выражения видно, что с увеличением темпа роста k эффективность iэ падает. Это показано на графике рис. 4. Рис. 4. Показатели эффективности Анализ показывает, что при k=1 iэ=i, при k>1 iэ Критическое значение k, при котором эффективность операции равна нулю, т.е. iэ=0, определяется как k*=(1+i)n, что означает равенство среднегодового темпа роста курса валюты годовому темпу наращения по рублевой ставке: n k =1+ i . Вывод 6: Если ожидаемые величины k или K1 больше своих критических значений, то рассматриваемая операция с двойной конвертацией будет явно убыточна (iэ<0). Максимально допустимое значение k, при котором доходность операции будет равна доходности при прямом инвестировании валютных средств по ставке j (т. a на рис. 4), находится из равенства соответствующих множителей наращения ( 1+j) n = (1+𝑖) 𝑛 𝑘 𝑚𝑎𝑥 (19) Откуда k max = ( 1+𝑖 1+𝑗 ) n Вывод 7: Депозит валюты через конвертацию в рубли выгоднее валютного депозита, если обменный курс в конце операции ожидается меньше max K1. Пример 5. Курс доллара вырос с 79,20 до 79,50 руб. Как изменилась доходность экспортной операции, если при прежнем обменном курсе она равнялась 35% годовых и на ее осуществление требовалось 15 дней? Временная база К=365. Решение: n n nj k n nj K K i эфф 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( 0 1 I эфф = 2 , 79 5 , 79 . 365 15 1 365 15 ) 35 0 365 15 1 ( = 0,603 или 60,3% i эфф = 0,603 или 60,3% Пример 6. Курс доллара вырос с 29,20 до 29,50 руб. Как изменилась доходность импортной операции, если при прежнем обменном курсе она равнялась 35% годовых и на ее осуществление требовалось 15 дней? Временная база К=365. Решение: n n ni k n ni K K i эфф 1 ) 1 ( 1 1 ) 1 ( 1 0 365 15 1 365 15 ) 35 , 0 365 15 1 ( 5 , 29 2 , 29 эфф i i эфф = 0,15 или 15% Пример 7. Доллары были приобретены по курсу 29,8 руб. /долл. и через 1,2 года проданы по курсу 29,0 руб. /долл., (35,3 руб. /долл.). Темп инфляции за этот период времени составил 12%. Определить доходность финансовой операции. Решение: Для при веденных данных отношение курса продажи к курсу покупки составит: к1 = 0 1 К К = 8 , 29 0 , 29 = 0,97 к1 = 0 1 К К = 8 , 29 3 35 = 1,18 Индекс цен за l ,2 года равен: Jр = 1+0,12= 1,1 2. Доходность для рассматриваемых случаев I1 = n h J k 1 1 = 2 , 1 12 , 1 97 , 0 - 1 = 0,88-1= -0,12 i2 = n h J k 2 -1 = 2 , 1 12 , 1 18 , 1 - 1 = 1,041-1= 0,041 Вопросы для самопроверки: 1. Поясните смысл замкнутого контура кредитной операции (начисление процентов по сложной ставке). 2. Что есть контур финансовой операции? 3. Перечислите виды ипотечных ссуд. 4. Что такое льготные кредиты? 5. Что есть гранд-элемент? 6. Какрассчитывается абсолютный грант-элемент? 7. К каким кредитам относится ипотека? 8. Что такое ипотечные ссуды? 9. Перечислите варианты конвертации валюты при наращении простых процентов. 10. Напишите формулы наращения суммы по сложным процентам по каждому варианту конвертации валюты. 11. От чего зависит доходность каждого варианта конвертации валюты? |