Анализ САР. Анализ систем управления
 Скачать 1.5 Mb.
|
Анализ систем управления
Требования к управлению Анализ систем управленияУстойчивость А – устойчивое В и Б – не устойчиво Г и Д - нейтральное. Определение. Устойчивость – это свойство системы возвращаться в состояние равновесия при прекращении действия сил, которые вывели ее из этого состояния Анализ систем управленияУстойчивость по Ляпунову Рассмотрим систему первого порядка, с одной переменной состояния x(t) . Система называется устойчивой по Ляпунову в положении равновесия x*, если при начальном отклонении от положения равновесия x* не более, чем на δ, траектория движения отклоняется от x* не более, чем на ε , причем для каждого ε можно найти соответствующее ему δ(ε): Система называется асимптотически устойчивой, если кроме того вектор состояния стремится к положению равновесия, то есть, Положение равновесия неустойчиво, если для него не выполняется условие устойчивости Ляпунова. Анализ систем управленияАнализ систем управленияУстойчивость линейных систем Линейные системы обладают рядом особенностей, которые во многих случаях упрощают анализ устойчивости:
Анализ систем управленияУсловия устойчивости Поскольку устойчивость линейной системы определяют корни полинома ∆(s) – знаменателя передаточной функции W(s) , этот полином называется характеристическим полиномом системы. Анализ систем управленияДля исследования устойчивости линейной системы достаточно найти корни ее характеристического полинома. Если все корни находятся в левой полуплоскости, то линейная система устойчива. Системы, имеющие хотя бы один корень в правой полуплоскости называются неустойчивыми. Критерии устойчивости Критерии Алгебраические: Рауса Гурвица Льенара-Шипара Частотные: Михайлова Найквиста ЛАЧХ и ЛФЧХ На ранней стадии развития теории управления актуальной была задача определения устойчивости полинома без вычисления его корней. Сегодня с развитием компьютерных программ легко найти корни характеристического полинома с, однако такой подход дает нам только количественные (а не качественные) результаты и не позволяет исследовать устойчивость теоретически, например, определять границы областей устойчивости. Анализ систем управленияНеобходимое условие устойчивости Следует обратить внимание на то, что рассмотренное условие устойчивости является необходимым , но не достаточным. Если среди коэффициентов характеристического полинома имеются отрицательные, то это означает, что соответствующая система неустойчива. Если все коэффициенты положительны, то система может быть как устойчивой, так и неустойчивой. В этом случае необходим дополнительный анализ. Анализ систем управленияКритерий Гурвица Пусть характеристический полином некоторой системы имеет Сопоставим этому полиному матрицу Гурвица: По главной диагонали стоят коэффициенты полинома, остальные элементы строятся по следующему принципу: вверх от диагонального элемента ставятся коэффициенты полинома в порядке возрастания индексов, вниз - коэффициенты полинома в порядке убывания индексов. Элементы, требующие индексов, больших степени полинома, или отрицательных, устанавливаются нулевыми. Для устойчивости системы необходимо и достаточно чтобы при а0>0 были положительны все (n) главные миноры матрицы Гурвица. По этому критерию можно определить критическое значение параметра, при котором система находится на границе устойчивости. Однако для уравнений выше четвертого порядка теряет смысл. Анализ систем управленияПример. Определить устойчивость системы, при Т=2сек, к=3 Анализ систем управленияПри исследовании устойчивости систем автоматического регулирования, имеющих порядок характеристического уравнения n ≥ 5, рекомендуется использовать одну из модификаций критерия Гурвица, предложенную в 1914 г. П. Льенаром и Р. Шипаром и вошедшую в теорию автоматического управления как критерий устойчивости Льенара-Шипаро, который формулируется следующим образом. Для того, чтобы система автоматического управления была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось необходимое условие устойчивости и чтобы определители Гурвица с четными индексами (или с нечетными индексами) были положительны, т.е. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ ЛЬЕНАРА-ШИПАРО В такой формулировке критерия устойчивости требуется раскрытие меньшего числа определителей, чем по критерию Гурвица. Анализ систем управленияКРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ раусса Применение критерия требует составления таблицы Раусса Анализ систем управленияФормулировка критерия Раусса: Система устойчива, если все коэффициенты первого столбца таблицы Раусса положительные Анализ систем управленияАнализ систем управленияКРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ МИХАЙЛОВА Критерий предполагает построение годографа Михайлова, то есть кривой которую описывает конец вектора D(jω) на комплексной плоскости при изменении ω от 0 до + ∞ . Вектор D(jω) получается из характеристического полинома замкнутой системы при подстановке p = jω : Формулировка: для устойчивости системы n -ого порядка необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова обошел в положительном направлении (против часовой стрелки) последовательно n квадрантов, нигде не обращаясь в ноль. Анализ систем управленияУгол поворота вектора D( jω) определяется выражением Если система на границе устойчивости, то годограф проходит через начало осей координат Анализ систем управленияГодографы неустойчивых систем по критерию Михайлова Анализ систем управленияКРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ НАЙКВИСТА Частотный критерий Найквиста дает возможность определить устойчивость замкнутой системы автоматического регулирования по амплитудно - фазовой характеристике ее разомкнутой цепи. Предварительно должна быть определена устойчивость исследуемой системы в разомкнутом состоянию Для неустойчивой системы нужно выяснить, какое число корней ее характеристического полинома имеет положительные вещественные части. Анализ систем управленияРазличают три случая применения критерия Найквиста. 1. Разомкнутая система устойчива. В этом случае для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы амплитудно – фазовая характеристика разомкнутой системы при изменении ω от 0 до + ∞ не охватывала точку с координатами (-1,j0). На рисунке изображены основные из возможных ситуаций. При АФХ, представленной кривой 1, замкнутая система абсолютно устойчива – она остается устойчивой и при уменьшении коэффициента передачи разомкнутой системы. Если АФХ представляет собой кривую 2, то замкнутая система будет устойчива в некотором диапазоне изменения коэффициента усиления разомкнутого контура. Кривая 3 проходит через критическую точкус координатами (-1, j0). Это означает, что замкнутая система находится на колебательной границе устойчивости. Кривая 4 охватывает критическую точку, поэтому замкнутая система неустойчива. Анализ систем управленияПриведенные примеры соответствуют случаю устойчивой системы, границе устойчивости и неустойчивой системы. Анализ систем управленияПример АФХ соответствующей неустойчивой системе в разомкнутом состоянии ( l = 4 ) приведен на рисунке. Замкнутая система будет устойчива, поскольку количество переходов +2. Анализ систем управленияХарактеристический полином разомкнутой системы, кроме корней с вещественной частью (положительной или отрицательной), может иметь нулевые или чисто мнимые корни. В этом случае на участках разрыва АФХ должна быть дополнена дугой бесконечно большого радиуса. При сложной форме АФХ разомкнутой системы удобнее пользоваться правилом перехода – переход АФХ при увеличении ω через отрезок вещественной оси от -1 до - ∞ сверху вниз считают положительным и снизу вверх – отрицательным. АФХ может начинаться на указанном отрезке при ω = 0 или заканчиваться при ω = ∞ , в этом случае считается, что она совершает пол перехода Анализ систем управленияИсследование устойчивости собственно говоря включает в себя два случая: определение устойчивости САР для заданных значений коэффициентов и исследование влияния на устойчивость САР некоторых ее параметров (например, настроечных коэффициентов регулятора). Допустимые значения одного или двух параметров определяются при неизменных значениях остальных. В последнем случае на плоскости двух коэффициентов строят область устойчивости, то есть область изменения рассматриваемых коэффициентов, при которых САР остается устойчивой. Построение областей устойчивости возможно с помощью любого критерия устойчивости. Построение областей устойчивости Анализ систем управленияАнализ систем управленияАнализ систем управленияАнализ систем управленияАнализ систем управленияАнализ систем управленияАнализ систем управления |