Главная страница
Навигация по странице:

  • Задаваясь различными значениями щ, находим соответствующие им Р (щ) и Q (щ) и их значения оформляем таблично

  • Mathcad : Re () и Im ()

  • Инструменты графиков

  • 13 Вариант (автовосстановление). Курсовая работа по дисциплине Теория Автоматического управления


    Скачать 0.79 Mb.
    НазваниеКурсовая работа по дисциплине Теория Автоматического управления
    Дата22.02.2023
    Размер0.79 Mb.
    Формат файлаdocx
    Имя файла13 Вариант (автовосстановление).docx
    ТипКурсовая
    #949964

    МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

    Федеральное агенство морской и речной транспорта

    ФГБОУ «Сибирский государственный университет водного траспорта»

    Якутский институт водного транспорта (филиал)

    Курсовая работа

    по дисциплине:

    «Теория Автоматического управления»

    Работу выполнил

    Студент 2 курса

    Группа - ЭЭ-19-2

    Очного отделения

    Иванов В.В.

    Научный руководитель

    Петров.П.П

    Якутск 2023

    ЗАДАНИЕ №1
    Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи, приведенной на рис. 1.1, относительно напряжений U1 и U2. Исходные данные по вариантам (наличие того или иного элемента в схеме показано знаком «+», а отсутствие – знаком «- «) приведены в таблице 1.1.

    Таблица 1.1




    Варианта














    13

    +

    +

    -

    -

    +

    -




    Рисунок 1.1 - Исходная схема.

    Решение

    С учётом данных таблицы 1.1 для 13 варианта, электрическая схема будет иметь вид:



    Рисунок 1.2 - Схема 17 варианта.

    Передаточную функцию системы можно определить, как отношение изображений регулируемой величины Y (p) и управляющего воздействия G (p) при нулевых начальных условиях и отсутствии внешних воздействий.



    Преобразуем данную нам схему в эквивалентную ей:



    Тогда эквивалентные сопротивление будут иметь вид:

    Z2 (p) =.



    Z1 (p) = R.



    Определяем передаточную функцию,.


    ЗАДАНИЕ 2.
    Построить амплитудно-фазовую характеристику звена, изображенного на рис. 1.2, в соответствии с вариантом. Исходные данные приведены в таблице 2.1.

    Таблица 2.1 - Исходные данные к заданию 2

    № варианта

    C1, мкФ

    C2, мкФ

    R1, кОм

    R2, кОм

    13

    1,75

    5,3

    2

    2,7



    Рисунок 2.1 - Исходная схема.

    Решение

    Для представленной на рисунке 2.1 цепи эквивалентная передаточная функция (ПФ) будет иметь вид:


    Запишем ПФ с учётом числовых коэффициентов и сведём ПФ к стандартному виду:

    № варианта

    C1, мкФ

    C2, мкФ

    R1, кОм

    R2, кОм

    13

    1,75

    5,3

    2

    2,7

    W(p)=2,7+1,75*2*2,7*p/2+2,7+p*(1,75*2*2,7+5,3*2*2,7)=

    Получили вещественную частотную характеристику:
    Uω=-ωTKω3T2+ω=-8ω0.04ω3+ω
    и мнимую частотную характеристику:
    Vω=-Kω3T2+ω=-400.04ω3+ω
    Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ) представляет собой годограф вектора W(jω) при изменении частоты ω от 0 до ∞ . АФЧХ может быть построена в декартовой системе координат, в которой по оси абсцисс откладываются значения P(ω), а по оси ординат – Q(ω)

    . АФЧХ может быть построена в декартовой системе координат, в которой по оси абсцисс откладываются значения P(ω), а по оси ординат – Q(ω)

    Задаваясь различными значениями щ, находим соответствующие им Р (щ) и Q (щ) и их значения оформляем таблично:

    при щ = 0 Р (щ) = 0,1 и Q (щ) = 0

    щ = 0,5 Р (щ) = 0,13 и Q (щ) = 0

    щ = 1,0 Р (щ) = ? и Q (щ) = 0

    щ = 2,0 Р (щ) = - 0,03 и Q (щ) = 0

    щ = 3,0 Р (щ) = -0,0125 и Q (щ) = 0

    щ = 5,0 Р (щ) = - 4,17 · 10-3 и Q (щ) = 0

    щ = 10,0 Р (щ) = -1 · 10-3 и Q (щ) = 0

    Таблица 2 - Расчет амплитудно-фазовой характеристики




























    щ

    0

    0,5

    1,0

    2,0

    3,0

    5,0

    10,0




    Р (щ)

    0,1

    0,13

    ?

    - 0,03

    -0,0125

    - 4,17 ·10-3

    -1 · 10-3

    0

    Q (щ)

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    По значениям Р (щ) и Q (щ) построить амплитудно-фазовую характеристику не представляется возможным, т.к. фазовая характеристика равна нулю.

    Для апериодического звена второго порядка амплитудная характеристика имеет вид:

    К(щ) = к / v(1 - Т22 ·щ 2 )2 = 0,1 / 1 - щ 2

    Результаты вычислений выносим в таблицу.

    Таблица 3- Расчет амплитудной характеристики

























    щ

    0

    0,5

    1,0

    2,0

    3,0

    5,0

    10,0

    К(щ)

    0,1

    0,13

    ?

    - 0,03

    -0,0125

    - 4,17 · 10-3

    -1 · 10-3

     

    ЗАДАНИЕ №3.

    Построить логарифмическую амплитудную L() и фазовую () характеристики звена (таблица 3.1), выбранного в соответствии с вариантом.

    Таблица 3.1

    № варианта

    Передаточная функция звена

    k, с-1

    Т, мс

    13

    k _

    р2 (Тр + 1)

    150

    25,5


    Решение
    Передаточная функция звена с учётом числовых коэффициентов:


    Передаточная функция инерционного звена равна

    .

    Комплексный коэффициент передачи звена будет:



    Для нахождения вещественной и мнимой частотных характеристик инерционного звена представим это выражение в следующем виде: отсюда получим вещественную и мнимую частотные характеристики инерционного звена , . Из полученных зависимостей следует, что функция - четная, а функция - нечетная.

    Для нахождения годографа АФЧХ инерционного звена, зависимости Q4() от P4(), найдем уравнение в функции от переменных и .

    Получим . Подставляя это выражение в формулу для Q4(), находим: . Преобразуя эту зависимость, имеем: . Таким образом, годограф амплитудно-фазовой частотной характеристики (АФЧХ) инерционного звена представляет собой окружность

    Учитывая известную связь между частотными характеристиками найдем амплитудно-частотную и фазовую частотные характеристики:



    .

    Действительная логарифмическая амплитудная частотная характеристика равна



    Характеристика имеет низкочастотную и высокочастотную асимптоты, которые сопрягаются на частоте сопряжения .

    Низкочастотная асимптота ЛАЧХ инерционного звена представляет собой предел, при этом и второе слагаемое ЛАЧХ равно нулю.



    Высокочастотная асимптота ЛАЧХ находится как из условия . Тогда и

    .

    Асимптотической ЛАЧХ является характеристика, составленная из асимптот - двух прямых линий: и



    Графики и показаны на рис. 5.7.

    Эти характеристики имеют следующие особенности:

    низкочастотная асимптота имеет 0 наклон,

    высокочастотная асимптота имеет наклон–20 дБ/дек,

    асимптоты и сопрягаются на частоте сопряжения .

    фазочастотная характеристика на частоте сопряжения принимает значение

    при уменьшении частоты относительно частоты сопряжения фазочастотная характеристика стремиться к нулю;

    при увеличении частоты относительно частоты сопряжения фазочастотная характеристика стремиться к значению .



    рис. 5.7. Асимптотическая логарифмическая амплитудная частотная характеристика инерционного звена


    Рисунок 3.1 - ЛАЧХ
    ЛФЧХ - это ФЧХ в логарифмическом масштабе по оси абсцисс:
    L( ), дБ

    20

    20lgk -20дБ\дек
    Рисунок 3.2 - ЛФЧХ
    Примечание. Множитель 180/π введён для перевода величин ЛФЧХ из радиан в градусы.

    ЗАДАНИЕ №4.

    Построить амплитудно-фазовую характеристику для системы, изображенной на рис. 4.1 – 4.10. Исходные данные в соответствии с вариантами приведены в таблицах 4.1, 4.2.

    Таблица 4.1

    № варианта

    № рисунка

    W1(p)

    W2(p)

    W3(p)

    W4(p)

    W5(p)

    W6(p)

    17

    4.4

    k1 _

    T1p + 1

    k2 _

    T2p + 1

    k3

    k4 _

    T4p + 1

    k5

    k6 _

    T6p + 1



    Таблица 4.2

    № варианта

    k1

    k2

    k3

    k4

    k5

    k6

    T1, c

    T2, c

    T3, c

    T4, c

    T5, c

    T6, c

    13

    5

    2,8

    2,5

    2,3

    2,8

    -

    0,5

    -

    -

    -

    0,6

    -

    Решение
    [Примечание. В таблице 4.1 указана ПФ звена W6(p), однако в таблице 4.2 числовые коэффициенты k6 и Т6 не заданы. Поскольку числовые коэффициенты не заданы, полагаем, что данное звено отсутствует]
    Эквивалентная передаточная функция (ПФ) системы 13 варианта:

    Wjω=Kjω1+jωT=K-ω2T+jω=K-ω2T-jωω4T2+ω2=-ω2TKω4T2+ω2+
    +j-ωKω4T2+ω2=-ωTKω3T2+ω+j-Kω3T2+ω
    Получили вещественную частотную характеристику:
    Uω=-ωTKω3T2+ω=-8ω0.04ω3+ω
    и мнимую частотную характеристику:
    Vω=-Kω3T2+ω=-400.04ω3+ω
    Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ) представляет собой годограф вектора W(jω) при изменении частоты ω от 0 до ∞ . АФЧХ может быть построена в декартовой системе координат, в которой по оси абсцисс откладываются значения P(ω), а по оси ординат – Q(ω)

    . АФЧХ может быть построена в декартовой системе координат, в которой по оси абсцисс откладываются значения P(ω), а по оси ординат – Q(ω)


    Откладывая по оси абсцисс действительную составляющую, а по оси ординат мнимую составляющую, строим АФХ при изменении частоты ω от 0 до ∞:



    Рисунок 4.1 - Годограф АФХ

    ЗАДАНИЕ 5.
    Построить логарифмические амплитудную и фазовую частотные характеристики для системы, изображенной на рис. 4.1 – 4.10. Исходные данные в соответствии с вариантами приведены в таблицах 4.1, 4.2.
    Решение
    В ходе выполнения задания 4 была определена ПФ системы и выведены выражения

    Вещественная часть ККП:

    Мнимая часть ККП:

    .

    .

    Запишем комплексный коэффициент передачи формальной заменой s на в передаточной функции разомкнутой системы и выведем полученное выражение на экран с помощью «символьной стрелки», вызываемой также из палитры Символьные операторы:



    Для нахождения вещественной и мнимой частотных характеристик звена воспользуемся стандартными функциями Mathcad: Re() и Im() соответственно:

    ,



    Для нахождения вещественной и мнимой частей выражения в Mathcad имеются специализированные встроенные функции:



    Выбрать из командной строки опцию «вставка функции» f(x) и из предложенного списка слева – категория функции – комплексные числа (Complex Number), из предложенного списка справа – имя функции Re() или Im() – далее клик по кнопке «ОК» или «добавить».







    Однако возможности Mathcad не позволяют сразу получить комплексный коэффициент передачи в виде суммы вещественной и мнимой частей.

    При этом следует учесть, что комплексный коэффициент передачи может быть представлен в виде

    ,

    где - вещественная часть комплексного коэффициента передачи,

    - мнимая часть комплексного коэффициента передачи.



    Тогда мнимая и вещественная части будут равны:





    Для построения годографа АФЧХ звена зададим диапазон и шаг изменения аргумента (частоты), воспользовавшись знаком «многоточие», вызываемым с помощью символа «;»:



    Далее из палитры Инструменты графиков вызовем поле декартовых координат (Ctrl+2), где в позиции на оси абсцисс запишем P(ω), а на оси ординат – Q(ω):

    Для построения вещественной и мнимой частотных характеристик звена зададим диапазон и шаг изменения аргумента (частоты), воспользовавшись знаком «многоточие», вызываемым с помощью символа «;»:

     : =0, 0.1 .. 1000

    Далее из палитры Инструменты графиков вызовем поле декартовых координат (Ctrl+2), где в позиции на оси абсцисс запишем , а на оси ординат –P(ω) или Q(ω):

    Теперь определим амплитудную-частотную (АЧХ) и фазовую частотную (ФЧХ) характеристики. По определению, АЧХ вычисляется как модуль комплексного коэффициента передачи, а ФЧХ - как его аргумент:







    Действительная логарифмическая АЧХ в соответствии с определением вычисляется по формуле :


    Примечание. Множитель 180/π введён для перевода величин ЛФЧХ из радиан в градусы.

    ЗАДАНИЕ 6.

    Определить устойчивость автоматической системы с помощью алгебраического критерия, характеристическое уравнение которой имеет вид, приведенный в таблице 6.1.

    Таблица 6.1


    № варианта

    Характеристическое уравнение

    13

    0,05p5 + 0,15p4 + 3,5p3 + 2,0p2 + 5,0p +25 = 0


    Решение

    Оцениваем устойчивость системы алгебраическим критерием Гурвица. Характеристическое уравнение системы: 0,05p5 + 0,15p4 + 3,5p3 + 2,0p2 + 5,0p +25 = 0

    По необходимому условию Гурвица, все коэффициенты характеристического уравнения должны быть положительными. Необходимое условие устойчивости выполняется.

    По достаточному условию устойчивости, все определители матрицы Гурвица должны быть положительными. Формируем матрицу Гурвица:

    Из коэффициентов характеристического уравнения замкнутой системы
    a0рn + a1рn-1 + … + an = 0 составляется таблица, называемая матрицей Гурвица по следующему правилу:

    1) по диагонали сверху вниз записываются все коэффициенты, начиная с a1 до an в порядке возрастания индексов;

    2) столбцы дополняются вверх коэффициентами с возрастающими индексами, вниз коэффициентами с убывающими индексами;

    3) на месте коэффициентов с индексами больше n и меньше нуля проставляются нули.
    Матрица Гурвица:


    Рассчитываем определители матрицы Гурвица:


    Определители 5 и 6 порядка матрицы Гурвица отрицательные, следовательно, система неустойчива.

    ЗАДАНИЕ №7.
    Определить устойчивость системы автоматического управления по критерию Михайлова в соответствии с заданием, приведенным в таблице 7.1.

    Таблица 7.1


    № варианта

    Передаточная функция разомкнутой системы

    К

    Т1

    Т2

    Т3

    Т4



    13

    К _

    р(Т1р + 1)(Т2р + 1)

    1000

    11

    21

    -

    -

    -


    Решение

    Заменяем р на jw, избавляемся от старших степеней j и группируем слагаемые, содержащие и не содержащие j:

    D(jw) = 2(jw)3 + 9(jw)2 + +13(jw) + 6 = –2jw3 – 9w2 + +13jw + 6 = (6 – 9w2) + j(13w – 2w3).

    Выделяем действительную и мнимую части: Re(w) = 6–9w2Im(w) =13w – 2w3.

    Задаваясь значениями частоты из интервала [0; ¥), строим годограф Михайлова (рис. 5):

    1)    w = 0, Re = 6, Im = 0 – годограф начинается на положительной части действительной оси Re;

    2)     Re = 0 Þ 6 – 9×w2 =0 Þ 

       – годограф начинает поворачиваться против часовой стрелки и пересекает мнимую ось Im;

    3)    
    Im = 0 Þ 13×w – 2×w3 = 0; w×(13–2w2) = 0; w1 = 0;  ; при w=2,52 Re=6–9×2,522=–52,2<0 – годограф продолжает поворачивается против часовой стрелки, пересекает действительную ось Re, проходит 3 квадранта и при w ® ¥ остается в третьем квадранте, что соответствует порядку характеристического полинома, т.е. w  ® ¥, Re ® – ¥, Im ® ¥.

    Вывод. Все условия критерия Михайлова соблюдены, система устойчива.

    ЗАДАНИЕ №8.

    Определить устойчивость электромеханической системы, используя критерий Найквиста. Передаточная функция разомкнутой системы в соответствии с вариантом приведена в таблице 7.1.
    Решение

         Передаточная функция колебательного звена:

    , откуда  .

    Передаточная функция для единичного ступенчатого воздействия   имеет вид:     .

    Выполним обратное преобразование Лапласа (см. табл. 3, прил. 1) и получим переходной процесс для единичного ступенчатого воздействия:

    .

    Строим график переходного процесса при = 25, = 0,5,k = 8 (рис. 10)



    Рисунок 10. Переходной процесс колебательного звена при = 25, = 0,5,  = 8

     

    Из графика следует, что объект нейтрален.

    2.    Оценка устойчивости по алгебраическим критериям.

    Корневой критерий Ляпунова

    Характеристическое уравнение для передаточной функции колебательного звена:   имеет 2 комплексных корня: . Действительные части комплексных корней, отрицательны, следовательно объект является устойчивым.

    Критерий Рауса-Гурвица

    Так как все коэффициенты характеристического уравнения положительны, то необходимое условие устойчивости объекта выполнено. Для проверки достаточного условия составим определители характеристического уравнения:

    ,       .

    Так как все определители, составленные из коэффициентов характеристического уравнения, положительны, объект является устойчивым.

    3.         Оценка устойчивости по частотным критериям.

    Критерий Михайлова

    В характеристическом полиноме D(p)=252·p2+2·0,5·25·p+1, заменяем р на jw, избавляемся от старших степеней j и группируем слагаемые, содержащие и не содержащие j:

    D(jw) = 625(jw)2 + 25(jw) + 1 = – 625w2 + 25jw + 1 == (1 – 625w2) + 25w.


    Рисунок 11. Годограф Михайлова для 

     

    Выделяем действительную и мнимую части: Re = 1 – 625w2Im = 25w. Задаваясь значениями частоты из интервала [0; ¥[, строим годограф Михайлова (см. рис. 11).

    Вывод. Годограф Михайлова при изменении частоты от 0 до ¥ начинается на положительной части действительной оси комплексной плоскости при w = 0 Re = 1, Im = 0, проходит последовательно против часовой стрелки n квандрантов плоскости, нигде  не  обращается в 0 и не  проходит  через  начало координат

    (= 2 – порядок характеристического уравнения системы). Следовательно, объект устойчив.

    Критерий Найквиста

    Для разомкнутой системы  . Заменяем р на jw, освобождаемся от иррациональности в знаменателе и группируем слагаемые, содержащие и не содержащие j:

     ,

     

    откуда                  

                                 .

     

    Задаваясь значениями частоты из интервала [0; ¥[, строим АФЧХ колебательного звена (см. рис. 12).

    Вывод. Разомкнутая система устойчива, а так как амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой системы не охватывает на   комплексной   плоскости точку  с  координатами (–1; j0), следовательно замкнутая система будет тоже устойчива.

    ЗАДАНИЕ 9.
    Определить устойчивость замкнутой системы по логарифмическим характеристикам разомкнутой системы. В случае устойчивости определить запасы устойчивости по амплитуде и фазе. Исходные данные для вариантов приведены в таблице 9.1.

    Таблица 9.1




    № варианта

    W(p)

    T1, c

    T2, c

    K

    13

    К _

    р(Т1р + 1)(Т2р + 1)

    0,23

    0,08

    330


    Решение
    По логарифмическому критерию, замкнутая система устойчива, если на частоте среза ЛАЧХ разомкнутой системы (частоте, на которой ЛАЧХ пересекает ось абсцисс) значение ЛФЧХ составляет: φ(ω) > -180º.
    Запишем ПФ системы с учётом числовых коэффициентов:



    330/p*(0,23*p+1)*(0,08*p+1)
    Запишем выражения амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) А(ω) и фазовой частотной характеристики (ФЧХ) звена φ(ω) как произведение и сумму АЧХ и ФЧХ типовых звеньев САУ соответственно:


    Зная, что ЛАЧХ - это АЧХ в логарифмическом масштабе


    А ЛФЧХ - это ФЧХ в логарифмическом масштабе только по оси абсцисс, строим ЛАЧХ и ЛФЧХ:



    Рисунок 9.1 - ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы

    На частоте среза ЛАЧХ разомкнутой системы значение ЛФЧХ составляет: φ(ωср) = -239º < -180º, следовательно, замкнутая система неустойчива.
    Запасы устойчивости отсутствуют.


    написать администратору сайта