Билет18. Билет 18 Ряд Фурье для функций с произвольным периодом. Условия разложимости
 Скачать 289.5 Kb.
|
|
Билет №18 1. Ряд Фурье для функций с произвольным периодом. Условия разложимости. Тригонометрический ряд периодической функции f(x) с периодом 2  , определенной на интервале   называется рядом Фурье коэффициенты определяются по формулам   Функция может быть задана не только на отрезке длиной 2π, но также на отрезке любой длины 2l. Тогда функция разложима в ряд Фурье следующего вида:  причем коэффициенты ряда вычисляются по формулам   Разлагать в ряд Фурье можно и периодические функции с периодом, отличным от 2 . Пусть функция f(x), определенная на отрезке [-l,l], имеет период 2  где l:— произвольное положительное число) и удовлетворяет на этом отрезке условиям Дирихле.Сделав подстановку  данную функцию f(x) преобразуем в функцию , которая определена на отрезке [- ; ] и имеет период . .Действительно, если t = - , то х = —l, если t = , то х = lи при — < t< имеем -l<х<l;  т.е.  , .,,'Разложение функции (t) в ряд Фурье на отрезке [— ; ] имеет вид где  • - Возвращаясь к переменной x и заметив, что  , , получим (1)где  (2)Ряд (1) с коэффициентами, вычисляемыми по формулам (2), называется рядом Фурье для функции f(x) с периодом Т = 2l. Замечание. Все теоремы, имеющие место для рядов Фурье 2 -периодических функций, остаются в силе и для рядов Фурье функций, период которых Т = 21. В частности, если f{x) на отрезке [— l, l ] четная, то ее ряд Фурье имеет вид (3)где •  (4) если f(x) — нечетная функция, то  (5)где  (6)2. Найти градиент функции  в точке М(1;1).  Градиент функции равен  .Найдем частные производные:   и их значения в точке М(1,1)  , .Тогда градиент в точке М равен:  .3. Изменить порядок интегрирования. Область интегрирования изобразить на чертеже.  Строим область интегрирования G по пределам интегрирования:  Справа область G ограничена кривой  А слева – прямой х=0. Поэтому имеем:   4. Определить область сходимости ряда.  Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда:  Согласно признаку Даламбера ряд сходится при тех значениях х, для которых:  .Следовательно, при любом конечном х по признаку Даламбера данный ряд абсолютно сходится. Область сходимости данного ряда вся числовая ось. 5. Найти решение дифференциального уравнения  , при данном начальном условии  .Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка Положим  , тогда  .Подставляя эти выражения в исходное уравнение, получим:  или  (1).Выберем  так, чтобы выражение в скобках обратилось в нуль, тогда  .Уравнение (1) при  запишем так:  . Интегрируем по частям. Полагаем  ,  , .Тогда  .Тогда  Следовательно,  - общее решение.При заданных начальных условиях х=1,  .Искомое частное решение имеет вид:  7. Найти частное решение дифференциального уравнения  Общий вид уравнения  .Характеристическое уравнение  имеет корни r1=r2=2. Следовательно,  .Частное решение ищем в виде  , так как число k=2 является корнем характеристического уравнения; m=2, так как k-двукратный корень, тогда   .Подставим полученные выражения в исходное уравнение:  Откуда 4А=1,  Следовательно,  Следовательно, общее решение уравнения  Для нахождения искомого частного решения воспользуемся заданными начальными условиями. Найдем производную общего решения:  .Подставив в выражения для общего решения и его производной значения х=0, y=0 и  , получаем систему уравнений:    Отсюда  ,  .Искомое частное решение имеет вид:  . |