Лекция по ТВ №2. Биноминальное распределение
 Скачать 178.92 Kb.
|
|
Биноминальное распределение. Если производится п независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться с одинаковой вероятностью р в каждом из испытаний, то вероятность того, что событие не появится, равна q = 1 – p. Примем число появлений события в каждом из испытаний за некоторую случайную величину Х. Чтобы найти закон распределения этой случайной величины, необходимо определить значения этой величины и их вероятности. Значения найти достаточно просто. Очевидно, что в результате п испытаний событие может не появиться вовсе, появиться один раз, два раза, три и т.д. до п раз. Вероятность каждого значения этой случайной величины можно найти по формуле Бернулли.  Эта формула аналитически выражает искомый закон распределения. Этот закон распределения называется биноминальным. Пример. В партии 10% нестандартных деталей. Наугад отобраны 4 детали. Написать биноминальный закон распределения дискретной случайной величины Х – числа нестандартных деталей среди четырех отобранных и построить многоугольник полученного распределения. Вероятность появления нестандартной детали в каждом случае равна 0,1. Найдем вероятности того, что среди отобранных деталей: 1) Вообще нет нестандартных.  2) Одна нестандартная.  3) Две нестандартные детали.  4) Три нестандартные детали.  5) Четыре нестандартных детали.  Пример. Две игральные кости одновременно бросают 2 раза. Написать биноминальный закон распределения дискретной случайной величины Х – числа выпадений четного числа очков на двух игральных костях. Каждая игральная кость имеет три варианта четных очков – 2, 4 и 6 из шести возможных, таким образом, вероятность выпадения четного числа очков на одной кости равна 0,5. Вероятность одновременного выпадения четных очков на двух костях равна 0,25. Вероятность того, что при двух испытаниях оба раза выпали четные очки на обеих костях, равна:  Вероятность того, что при двух испытаниях один раз выпали четные очки на обеих костях:  Вероятность того, что при двух испытаниях ни одного раза не выпаде четного числа очков на обеих костях:  Распределение Пуассона. (Симеон Дени Пуассон (1781 – 1840) – французский математик) Пусть производится п независимых испытаний, в которых появление события А имеет вероятность р. Если число испытаний п достаточно велико, а вероятность появления события А в каждом испытании мало (p0,1), то для нахождения вероятности появления события А k раз находится следующим образом. Сделаем важное допущение – произведение пр сохраняет постоянное значение:  Практически это допущение означает, что среднее число появления события в различных сериях испытаний (при разном п) остается неизменным. По формуле Бернулли получаем:   Найдем предел этой вероятности при п.   Получаем формулу распределения Пуассона:  Если известны числа и k, то значения вероятности можно найти по соответствующим таблицам распределения Пуассона. Числовые характеристики дискретных случайных величин. Закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако, когда невозможно найти закон распределения, или этого не требуется, можно ограничиться нахождением значений, называемых числовыми характеристиками случайной величины. Эти величины определяют некоторое среднее значение, вокруг которого группируются значения случайной величины, и степень их разбросанности вокруг этого среднего значения. Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности.  Математическое ожидание существует, если ряд, стоящий в правой части равенства, сходится абсолютно. С точки зрения вероятности можно сказать, что математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины. Свойства математического ожидания. 1) Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной.  2) Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания.  3) Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.  Это свойство справедливо для произвольного числа случайных величин. 4) Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых.  Это свойство также справедливо для произвольного числа случайных величин. Пусть производится п независимых испытаний, вероятность появления события А в которых равна р. Теорема. Математическое ожидание М(Х) числа появления события А в п независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании.  Однако, математическое ожидание не может полностью характеризовать случайный процесс. Кроме математического ожидания надо ввести величину, которая характеризует отклонение значений случайной величины от математического ожидания. Это отклонение равно разности между случайной величиной и ее математическим ожиданием. При этом математическое ожидание отклонения равно нулю. Это объясняется тем, что одни возможные отклонения положительны, другие отрицательны, и в результате их взаимного погашения получается ноль. Определение. Дисперсией (рассеиванием) дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.  Пример. Для рассмотренного примера закон распределения случайной величины имеет вид:
Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины. Математическое ожидание случайной величины равно:  Возможные значения квадрата отклонения:    Тогда
Дисперсия равна:  Однако, на практике подобный способ вычисления дисперсии неудобен, т.к. приводит при большом количестве значений случайной величины к громоздким вычислениям. Поэтому применяется другой способ. Вычисление дисперсии. Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания.  Применим эту формулу для рассмотренного выше примера:
  Свойства дисперсии. Дисперсия постоянной величины равна нулю.  2) Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат.  3) Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.  4) Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.  Справедливость этого равенства вытекает из свойства 2. Теорема. Дисперсия числа появления события А в п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность р появления события постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в каждом испытании.  Среднее квадратическое отклонение. Определение. Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии.  Теорема. Среднее квадратичное отклонение суммы конечного числа взаимно независимых случайных величин равно квадратному корню из суммы квадратов средних квадратических отклонений этих величин.  Пример. Завод выпускает 96% изделий первого сорта и 4% изделий второго сорта. Наугад выбирают 1000 изделий. Пусть Х – число изделий первого сорта в данной выборке. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х. Выбор каждого из 1000 изделий можно считать независимым испытанием, в котором вероятность появления изделия первого сорта одинакова и равна р = 0,96. Таким образом, закон распределения может считаться биноминальным.   Пример. Найти дисперсию дискретной случайной величины Х – числа появлений события А в двух независимых испытаниях, если вероятности появления этого события в каждом испытании равны и известно, что М(Х) = 0,9. Т.к. случайная величина Х распределена по биноминальному закону, то   Пример. Производятся независимые испытания с одинаковой вероятностью появления события А в каждом испытании. Найти вероятность появления события А, если дисперсия числа появлений события в трех независимых испытаниях равна 0,63. По формуле дисперсии биноминального закона получаем:     Функция распределения. Во всех рассмотренных выше случаях случайная величина определялась путем задания значений самой величины и вероятностей этих значений. Однако, такой метод применим далеко не всегда. Например, в случае непрерывной случайной величины, ее значения могут заполнять некоторый произвольный интервал. Очевидно, что в этом случае задать все значения случайной величины просто нереально. Даже в случае, когда это сделать можно, зачастую задача решается чрезвычайно сложно. Рассмотренный только что пример даже при относительно простом условии (приборов только четыре) приводит к достаточно неудобным вычислениям, а если в задаче будет несколько сотен приборов? Поэтому встает задача по возможности отказаться от индивидуального подхода к каждой задаче и найти по возможности наиболее общий способ задания любых типов случайных величин. Пусть х – действительное число. Вероятность события, состоящего в том, что Х примет значение, меньшее х, т.е. Х < x, обозначим через F(x). Определение. Функцией распределения называют функцию F(x), определяющую вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение, меньшее х.  Функцию распределения также называют интегральной функцией. Функция распределения существует как для непрерывных, так и для дискретных случайных величин. Она полностью характеризует случайную величину и является одной из форм закона распределения. Для дискретной случайной величины функция распределения имеет вид:  Знак неравенства под знаком суммы показывает, что суммирование распространяется на те возможные значения случайной величины, которые меньше аргумента х. Функция распределения дискретной случайной величины Х разрывна и возрастает скачками при переходе через каждое значение хi. Свойства функции распределения. 1) значения функции распределения принадлежат отрезку [0, 1].  2) F(x) – неубывающая функция.  при  3) Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (a, b) , равна приращению функции распределения на этом интервале.  4) На минус бесконечности функция распределения равна нулю, на плюс бесконечности функция распределения равна единице. 5) Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно определенное значение, равна нулю. Таким образом, не имеет смысла говорить о каком – либо конкретном значении случайной величины. Интерес представляет только вероятность попадания случайной величины в какой – либо интервал, что соответствует большинству практических задач. Плотность распределения. Функция распределения полностью характеризует случайную величину, однако, имеет один недостаток. По функции распределения трудно судить о характере распределения случайной величины в небольшой окрестности той или иной точки числовой оси. Определение. Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называется функция f(x) – первая производная от функции распределения F(x).  Плотность распределения также называют дифференциальной функцией. Для описания дискретной случайной величины плотность распределения неприемлема. Смысл плотности распределения состоит в том, что она показывает как часто появляется случайная величина Х в некоторой окрестности точки х при повторении опытов. После введения функций распределения и плотности распределения можно дать следующее определение непрерывной случайной величины. Определение. Случайная величина Х называется непрерывной, если ее функция распределения F(x) непрерывна на всей оси ОХ, а плотность распределения f(x) существует везде, за исключением( может быть, конечного числа точек. Зная плотность распределения, можно вычислить вероятность того, что некоторая случайная величина Х примет значение, принадлежащее заданному интервалу. Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (a, b), равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от a до b.  Геометрически это означает, что вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (a, b), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью ОХ, кривой распределения f(x) и прямыми x=aиx=b. Функция распределения может быть легко найдена, если известна плотность распределения, по формуле:  Свойства плотности распределения. 1) Плотность распределения – неотрицательная функция.  2) Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от - до равен единице.  Пример. Задана непрерывная случайная величина х своей функцией распределения f(x).  Требуется определить коэффициент А, найти функцию распределения, построить графики функции распределения и плотности распределения, определить вероятность того, что случайная величина х попадет в интервал  .Найдем коэффициент А.  Найдем функцию распределения: 1) На участке  :  2) На участке   3) На участке   Итого:   Построим график плотности распределения: f(x)    Построим график функции распределения: F(x)    Найдем вероятность попадания случайной величины в интервал . Ту же самую вероятность можно искать и другим способом:  Числовые характеристики непрерывных случайных величин. Пусть непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения f(x). Допустим, что все возможные значения случайной величины принадлежат отрезку [a,b]. Определение. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат отрезку [a,b], называется определенный интеграл  Если возможные значения случайной величины рассматриваются на всей числовой оси, то математическое ожидание находится по формуле:  При этом, конечно, предполагается, что несобственный интеграл сходится. Определение. Дисперсией непрерывной случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения.  По аналогии с дисперсией дискретной случайной величины, для практического вычисления дисперсии используется формула:  Определение. Средним квадратичным отклонением называется квадратный корень из дисперсии. Равномерное распределение. Определение. Непрерывная случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке [a, b], если на этом отрезке плотность распределения случайной величины постоянна, а вне его равна нулю.  Постоянная величина С может быть определена из условия равенства единице площади, ограниченной кривой распределения.  f(x) 0 ab x Получаем .Найдем функцию распределения F(x) на отрезке [a,b].   F(x)  1 0 ab x Для того, чтобы случайная величина подчинялась закону равномерного распределения необходимо, чтобы ее значения лежали внутри некоторого определенного интервала, и внутри этого интервала значения этой случайной величины были бы равновероятны. Определим математическое ожидание и дисперсию случайной величины, подчиненной равномерному закону распределения.     Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал:  |