ПР3_5. Цель Изучить определения и формулы расчёта основных понятий комбинаторики (перестановки, размещения и сочетания) и научиться использовать их при решении типовых комбинаторных задач

• Название: Цель Изучить определения и формулы расчёта основных понятий комбинаторики (перестановки, размещения и сочетания) и научиться использовать их при решении типовых комбинаторных задач
• Дата: 23.02.2022
• Размер: 97.3 Kb.
• Имя файла: ПР3_5.docx
• Тип: Решение; #371505

(Где титульный лист?)

Практическое задание №3

Перестановки, размещения и сочетания

Цель: Изучить определения и формулы расчёта основных понятий комбинаторики (перестановки, размещения и сочетания) и научиться использовать их при решении типовых комбинаторных задач.

ВАРИАНТ №1.

1. 
   Сколько различных «слов», состоящих не менее чем из четырех разных букв, можно образовать из букв слова ”ученик”:
   

Слово УЧЕНИК состоит из 6-ти букв. По правилу произведения четырёхбуквенных слов, пятибуквенных и шестибуквенных слов. По правилу суммы всего можно составить 1 800 слов, состоящих не менее, чем из 4-х букв.

Ответ: 1 800 слов.

2. 
   В магазине имеется 6 сортов шоколадных конфет и 4 сорта карамели. Сколько различных покупок конфет одного сорта можно сделать в этом магазине? Сколько можно сделать различных покупок, содержащих один сорт шоколадных конфет и один сорт карамели?
   

По правилу суммы получаем, что можно сделать покупок конфет одного сорта, по правилу произведения покупок, содержащих один сорт шоколадных конфет и один сорт карамели.

Ответ: 10 покупок; 24 покупки.

3. 
   
   Сколько можно получить различных четырехзначных чисел, вставляя пропущенные цифры в число *2*5? в число 3*7*?
   

Между 2 и 5 можно вставить 10 цифр (от 0 до 9)
Перед 2 можно вставить 9 цифр (от 1 до 9), т. к. число должно быть четырехзначным
Всего 9 * 10 = 90 чисел

(А вторую часть решать не надо?)

4. 
   У одного человека имеется 7 книг по математике, а у другого—9. Сколькими способами они могут осуществить обмен книги на книгу?
   

Решение (А где же здесь обмен «книги на книгу»?)

604 800.

Ответ: 604 800 способами.

5. 
   В букинистическом магазине продаются 6 экземпляров романа И. С. Тургенева «Рудин», 3 экземпляра романа «Дворянское гнездо» и 4 экземпляра романа «Отцы и дети». Кроме того, имеется 5 томов, состоящих из романов «Рудин» и «Дворянское гнездо», и 7 томов, состоящих из романов «Дворянское гнездо» и «Отцы и дети». Сколькими способами можно сделать покупку, содержащую по одному экземпляру каждого из этих романов?
   

Сборник "Рудин" + "Дворянское гнездо" и отдельно "Отцы и дети".
Всего 5*4 = 20 вариантов.
2) Сборник "Дворянское гнездо" + "Отцы и дети" и отдельно "Рудин".
Всего 7*6 = 42 варианта.
3) Каждый роман отдельно. Всего 6*3*4 = 72 варианта.
Итого 20 + 42 + 72 = 134 варианта.

6. 
   Имеется 4 чашки, 5 блюдец и 6 чайных ложек (все чашки, блюдца и ложки различные). Сколькими способами может быть накрыт стол для чаепития на трех человек, если каждый получит одну чашку, одно блюдце, одну ложку?
   

Способов расставить 4 чашки: (размещения без повторений)
4*3*2=24 (А у Вас только три клиента. Поясните, что Вы делаете.)
Способов расставить 5 блюдец: (размещения без повторений)
5*4*3=60
Способов расставить 6 ложек: (размещения без повторений)
6*5*4=120
Всего способов накрытия стола по правилу произведения
24*60*120=172800

7. 
   
   Сколькими способами можно расставить 12 белых и 12 черных шашек на черных полях шахматной доски?
   

Белые шашки можно расставить С 12 32 (Это как понимать?) способами. После выбора 12 полей для белых шашек остается 32-12=20 полей для черных шашек, на которые их можно поставить С 12 20 способами. Всего по правилу произведения С 12 32 С 12 20 способов. (Так подсчитайте.)

8. 
   Сколько можно построить различных прямоугольных параллелепипедов, если длина каждого его ребра может выражаться любым целым числом от 1 до 10?
   

Длину параллелепипеда можно выбрать 10-тью способами,
ширину параллелепипеда можно выбрать 10-тью способами,
высоту параллелепипеда можно также выбрать 10-тью способами.
Получаем общее количество способов: 10*10*10=1000
Значит число таких параллелепипедов равно 1000.

(Где титульный лист? Оформляйте каждую работу отдельно.)

Практическое занятие №4

Формула включений и исключений и бином Ньютона

Цель: Изучить методику использования формулы включений и исключений для решения задач по определению количества элементов в множестве. Изучить методику разложения выражения по формуле бинома Ньютона.

ВАРИАНТ №1.

1. 
   Из ста учеников девятых классов на первом экзамене получили отличные и хорошие оценки 80%, на втором экзамене - 72%, на третьем - 60%.
   

Какое может быть наименьшее число учащихся, получивших отличные и хорошие оценки на всех трех первых экзаменах?

На первом экзамене получили хор. оценки 100*0,8 = 80 учеников (множествоА)
на втором 72 (множ-во Б)
на третьем 60 (множ-во С)

пусть во множество Б вошли 20 учеников плохо (Разве?) сдавших первый экзамен, и соответственно 52 человека которые сдали 1 и 2 экзамен хорошо.

Таким образом, 20 учеников не сдали ни первый ни второй экзамен
52 сдали 1 и 2 экзамен
28 сдали хорошо только один из двух первых экзаменов.

Пусть третьий экзамен сдали хорошо 20 человек не сдавших 1 и 2 (Это как понимать?) экзамен, 28 человек сдавших один из двух первых экзаменов (уже 48) и значит 12 человек сдавших и первый и второй экзамен хорошо. (Как получили?)

Таким образом сдали все три экзамена на хорошо и отлично только 12 человек, а это 12%

2. 
   Каждый из учеников класса в зимние каникулы ровно два раза был в кинотеатре, при этом фильмы А, В, С видели соответственно 25,12 и 23 ученика. Сколько учеников в классе? Сколько из них видели спектакли А и В, А и С, В и С?
   

Введем обозначения
Пусть
фильм A и B видели xAB учеников
фильм A и С видели xAС учеников
фильм B и C видели xBC учеников

Тогда получаем

xAB+xAC=25 (1)
xAB+xBC=12(2)
xAC+xBC=23 (3)

xAB-xBC=2 (Поясните, это откуда?)
xAB+xBC=12
xAC=23-xBC

xAB=7 (Как получили?)
xBC=5
xAC=18

всего в классе xAB+xBC+xAC=7+5+18=30 человек

(Надо было пользоваться формулой «включения- исключения».)


Практическая работа №5

Принцип математической индукции и рекуррентные соотношения

Цель: Изучить принцип математической индукции и научиться использовать его для доказательства истинности утверждений занумерованных натуральными числами.

Метод математической индукции

Докажите методом математической индукции истинность следующих формул для любого натурального n.

ВАРИАНТ №1

1. 
   .
   

Проведём доказательство методом математической индукции.

Обозначим А(n)=3²ⁿ⁺¹+2ⁿ⁺².

База индукции. Если n=1, то А(1)=3³+2³=35 и, очевидно, делится на 7.

Предположение индукции. Пусть А(k) делится на 7.

Индукционный переход. Докажем, что А(k+1) делится на 7, то есть справедливость утверждения задачи при n=k.

А(k+1)=3^2(k+1)+1+2^(k+1)+2=3^2k+1·3²+2^k+2·2¹=3^2k+1·9+2^k+2·2=

         =3^2k+1·9+2^k+2·(9–7)=(3^2k+1+2^k+2)·9–7·2^k+2=9·А(k)–7·2^k+2.

(Какое отношение это решение имеет к Вашему условию?)

2. 
   .
   

 (Какое отношение это решение имеет к Вашему условию?)

3. 
   Доказать, что при любом целом положительном n число n²+n является четным.
   

n^2 + n = n(n + 1). Выражение представляет собой произведение двух последовательных целых чисел. Одно из них чётное, тогда и произведение является чётным. (Если n чётное, то условие выполнено. Если n нечётное, то следующее за ним (n + 1) непременно чётное)

Список рекомендуемоЙ литературы

1. 
   Шевелев Ю. П. Дискретная математика. Учебное пособие - Спб.: Изд-во « Лань», 2008.
   
2. 
   Просветов Г. И. Дискретная математика : задачи и решения: учебное пособие. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008.
   
3. 
   Данилов В. Г., Дубнов В. Л., Лакерник А. Р., Райцин А. М. Дискретная математика. Учебное пособие для вузов. - М.: Горячая линия - Телеком, 2008.
   
4. 
   Андерсон Дж. Дискретная математика и комбинаторика. - М.; Спб., Киев: Вильямс, 2003.
   
5. 
   Кузнецов О. П. Дискретная математика для инженера. - СПб: Изд-во « Лань», 2005.