дб. Четвертое издание джозеф Джарратано Университет Хьюстон клиэрЛэйк Гари Райли People5oft, Издательский дом "Вильямс" Москва СанктПетербург Киев 2007 ббк 32. 973. 26 018 75 Д
 Скачать 3.73 Mb.
|
таком силлогизме посылки и заключения определяются как категорические утверждения, имеющие одну из четырех форм,главу 2). В логике слово "схема" служит для обозначения наиболее существенной формы доказательства. Кроме того, схемы могут задавать логическую форму всего силлогизма, как показано ниже. Все Месть Р Все S есть М ... Все S есть Р Субъект этого заключения, S, называется младшим членом, а предикат заключения, Р, — старшим членом. Посылка, содержащая старший член, называется большей посылкой, а посылка, содержащая младший член, — меньшей посылкой. Если в силлогизме, например, как показано ниже, выделены большая и меньшая посылки, то силлогизм рассматривается как представленный в стандартной форме. Большая посылка. Все Месть Р Меньшая посылка. Все S есть М Заключение. Все S есть Р Субъект представляет собой то, о чем говорится в силлогизме, а предикат служит для описания некоторого свойства субъекта. Например, в следующем высказывании субъект обозначается словом "микрокомпьютеры, а предикатом является слово "компьютеры Все микрокомпьютеры являются компьютерами В приведенном ниже высказывании субъектом является выражение "компьютеры с объемом оперативной памяти 1 Гбайт", а предикатом — выражение "компьютеры с большим объемом памяти. Все S есть Р Никакие S не есть Р Некоторые есть Р Некоторые S не есть Р общее утвердительное общее отрицательное частное утвердительное частное отрицательное Глава 3. Методы логического вывода Все компьютеры с объемом оперативной памяти 1 Гбайт являются компьютерами с большим объемом памяти Все S являются Р Третий член силлогизма, М, называется средним членом и становится общим для обеих посылок. Средний член очень важен, поскольку силлогизм определен таким образом, что заключение нельзя вывести из любой отдельно взятой посылки. Поэтому следующее доказательство не представляет собой действительный силлогизм, поскольку следует только из первой посылки Все А есть В Все Весть С .. Все А есть В Количественный показатель, или квантор, указывает, какая часть класса рассматривается в посылке. Кванторы "все" и "ни один" являются общими, поскольку распространяются на целые классы. А квантор "некоторые" называется частным, поскольку он распространяется только на часть класса. Модус силлогизма определяется тремя буквами, которые указывают соответственно форму большей посылки, меньшей посылки и заключения. Например, следующий силлогизм имеет модус ААА: Все Месть Р Все S есть М .. Все S есть Р Как показано в табл. 3.3, для размещения термов S, Р и М могут использоваться четыре возможных шаблона. Каждый шаблон называется фигурой, а номер фигуры определяет ее тип. С древних времен формы категорических утверждений обозначались буквами А, Е, I и О. Буквами Аи обозначаются утвердительные высказывания принято считать, что эти буквы происходят от первых двух гласных латинского слова утверждаю с другой стороны, буквы Е и О взяты из слова отрицаю. Формы Аи называются утвердительными по качеству, поскольку в них утверждается, что субъекты включены в класс, описываемый предикатом. Формы Е и О являются отрицательными по качеству, поскольку указывают, что субъекты исключены из класса предиката. Глагол "являться" в латинском языке обозначается словом copula (связка, которое обозначает связь между посылками. Связка соединяет две части высказывания. В стандартном категорическом силлогизме связка представлена глаголом "быть" в настоящем времени. Таким образом, для представления посылок может использоваться еще одна версия 3.5. Дедуктивная логика и силлогизмы Таблица Шаблоны категорических утверждений Фигура 2 Фигура 3 Фигура Фигура 1 PM SM MP MS PM MS Большая посылка М Р Меньшая посылка S M Итак, приведенный выше пример можно полностью описать как силлогизм типа ААА-1. Но лишь из того, что доказательство имеет силлогистическую форму, отнюдь не следует, что оно представляет собой действительный силлогизм. Рассмотрим следующий силлогизм, представленный в форме АЕЕ-1: Все M есть Р Ни один S не есть М .'. Ни один не есть Р Как показывает следующий пример, этот силлогизм нельзя считать действительным Все микрокомпьютеры являются компьютерами Ни один мэйнфрейм не является микрокомпьютером '. Ни один мэйнфрейм не является компьютером Безусловно, для того чтобы проверить обоснованность силлогистических доказательств, можно попытаться воспользоваться примерами, но для этой цели проще применить процедуру принятия решений. Процедурой принятия решений называется метод доказательства обоснованности. Любая процедура принятия решений представляет собой некоторый общий механический метод или алгоритм, позволяющий автоматизировать процесс определения обоснованности. Такие процедуры принятия решений существуют для силлогистической логики и пропозициональной логики, но, как показал Чёрч (Church) в 1936 году, для логики предикатов такая процедура не может быть предусмотрена. Вместо этого для выработки доказательств люди или компьютеры должны применять определенную изобретательность. В х годах с помощью таких программ, как Automated Mathematician и Eurisko Дуга Лената, удалось повторно найти математические доказательства для гипотезы Гольдбаха и теоремы уникального разложения на множители. Но редакторы математических журналов не очень охотно публиковали творческие работы, подготовленные с помощью компьютеров, также как редакторов литературных газет и журналов мало привлекала перспектива публикации поэм или романов, которые сочинялись с помощью компьютеров (однако от стремления заплатить за эти сочинения немного меньше они не отказывались. Процедура принятия решений для высказываний состоит в построении истинностной таблицы и проверке ее на наличие тавтологии. А процедура принятия 218 Глава 3. Методы логического вывода решений в отношении силлогизмов может быть осуществлена с использованием диаграмм Венна стремя перекрывающимися кружками, представляющими члены S, Р и М (рис. 3.15, а). Большая посылка для следующего силлогизма в форме АЕЕ-1 показана на рис. 3.15, б Все Месть Р Ни один S не есть М .'. Ни один S не есть Р Заштрихованная часть кружка М показывает, что в этой части нет элементов. На рис. 3.15, в меньшая посылка учтена путем штриховки ее части, не имеющей элементов. На основании рис. 3.15, в можно определить, что заключение силлогизма в форме АЕЕ-1 является ложным, поскольку в Р имеются некоторые элементы S. Рис. Процедура принятия решений для силлогизма в форме АЕЕ-1 В качестве еще одного примера укажем, что следующий силлогизм в форме ЕАЕ-1 является действительным, как показано на рис. 3.16, в Ни один Мне есть Р Все S есть М .. Ни один S не есть Р Задача построения диаграмм Венна для силлогизмов, включающих кванторы "некоторые, становится немного более сложной. Ниже приведены общие правила построения диаграмм для категорических силлогизмов в соответствии с булевым представлением, согласно которому в множествах, соответствующих высказываниям Аи Е, может не быть элементов. 1. Если класс пуст, соответствующий ему кружок заштриховывается. 2. Общие утверждения, Аи Е, всегда представляются на диаграмме перед частными 219 3.5. Дедуктивная логика и силлогизмы Рис. Процедура принятия решений для силлогизма в форме ЕАЕ-1 Если класс включает по меньшей мере один элемент, он обозначается звездочкой (*). 4. Если некоторое высказывание не позволяет определить, в каком из двух смежных классов существует объект, то символ * изображается на линии, разделяющей классы. 5. Если некоторая область заштрихована тов нее нельзя помещать символ *. В качестве примера рассмотрим следующий силлогизм Некоторые компьютеры являются лэптопами Все лэптопы являются портативными устройствами .'. Некоторые портативные устройства являются компьютерами Этот силлогизм может быть преобразован в форму IAI-4 таким образом Некоторые Р есть М Все Месть Некоторые S есть Р В соответствии с правилами 2 и построения диаграмм Венна начнем с общего высказывания, относящегося к меньшей посылке, и заштрихуем соответствующий кружок, как показано на риса. Затем применим правило 3 к частной большой посылке и поставим символ *, как показано на рис. 3.17, б. Поскольку на диаграмме показано заключение "Некоторые портативные устройства являются компьютерами, из этого следует, что доказательство в форме IAI-4 представляет собой действительный силлогизм 220 Глава 3. Методы логического вывода Рис. 3.17. Силлогизм в форме IAI-4 3.6 Правила вывода Безусловно, диаграммы Венна могут использоваться в качестве процедуры принятия решений для силлогизмов, но при наличии более сложных доказательств диаграммы становятся неудобными, поскольку их чтение затрудняется. Нос силлогизмами связана более фундаментальная проблема, поскольку сих помощью может быть представлена лишь небольшая часть возможных логических высказываний. В частности, категорические силлогизмы позволяют рассматривать только категорические высказывания в форме А, Е, I и О. Другие способы описания доказательств предоставляет пропозициональная логика. В действительности люди, не осознавая этого, часто используют пропозициональную логику. Например, рассмотрим следующее пропозициональное доказательство Если на компьютер подается питание, то компьютер будет работать На компьютер подается питание .. Компьютер будет работать Это доказательство может быть выражено с помощью формального способа, если для обозначения высказываний будут использоваться буквы, следующим образом А — На компьютер подается питание В — Компьютер будет работать Поэтому приведенное выше доказательство может быть записано таким образом А — В А. Правила вывода 221 Доказательства, подобные этому, встречаются очень часто. Общая схема представления доказательств указанного типа является следующей Р 'Ч В этой схеме р и q — логические переменные, которые могут представлять любые высказывания. В пропозициональной логике предусмотрена возможность использовать логические переменные, а это позволяет применять больше сложные типы высказываний по сравнению с четырьмя силлогистическими формами А, Е, I и О. Схема логического вывода для этой пропозициональной формы известна под разными названиями: непосредственное формирование рассуждений, правило модус поненс, закон отделения и принятие антецедента [65]. Обратите внимание на, что данный пример можно также выразить в следующей силлогистической форме Все компьютеры, на которые подается питание, будут работать На этот компьютер подается питание .. Этот компьютер будет работать Этот пример показывает, что правило модус поненс в действительности представляет собой частный случай силлогистической логики. Но важность правила модус поненс обусловлена тем, что этот способ логического вывода образует фундамент экспертных систем, основанных на правилах. Но системы, основанные на правилах, не полагаются исключительно на логику, поскольку и люди при решении задач используют более широкие средства по сравнению с логикой. В реальном мире может потребоваться применить несколько конкурирующих правила не какое-либо единственное правило силлогизма. Машина применения правил экспертной системы может решить, является ли данное конкретное правило пригодным для выполнения, также, как может решительно поступить и человек, отвечая на свой собственный вопрос "Должен ли я съесть эту последнюю конфету и удовлетворить свое страстное желание или не есть ее и оставаться стройным" Недостаточно просто написать на языке С целый ряд правили получить в свое распоряжение всю мощь какого-то инструментального средства экспертной системы, хотя в случае очень простых приложений может оказаться, что в этом как рази состоит все, что требуется (http: //www. ddj . corn/documents/s= 9064/ddj0301aie001/0301aie001 htm). Истинная мощь инструментального средства экспертной системы проявляется после того, как в ней начинают присутствовать сотни или тысячи правили эти правила вступают в конфликт Глава 3. Методы логического вывода Для этой схемы применяется также другая система обозначений r,r — + s;.'. s В этой системе для отделения одной посылки от другой используется запятая, а точка с запятой обозначает конец посылок. До сих пор в данной главе рассматривались доказательства только с двумя посылками, но может применяться более общая форма доказательства, которая показана ниже. Р,Р,...,Р, СВ этой форме прописные буквы Р; обозначают посылки, такие как r и r — s, а С обозначает заключение. Обратите внимание на то, что такое доказательство Rete-алгоритм сопоставления с шаблонами является одним из наиболее мощных и вместе стем эффективных методов разрешения конфликтов между правилами и представляет собой основу методов сопоставления с шаблонами языка CLIPS (http://www.ddj.corn/documents/s=9064/ddj0212ai002/ 0212aie002.htm). Составное высказывание р - соответствует правилу, а высказывание р соответствует шаблону, который должен быть согласован с антецедентом правила, для того чтобы это правило было выполнено. Но, как описано в главе условное выражение р — + q не является точно эквивалентным правилу, поскольку условное выражение — этологическое определение, задаваемое с помощью истинностной таблицы, поэтому может быть предусмотрено много разных возможных определений условного выражения. Вообще говоря, в данной книге используются предусмотренное в математической логике соглашение, в соответствии с которым для обозначения постоянных высказываний, таких как "подается питание, служат прописные буквы, например А, В, С, .... Строчные буквы, такие как р, q, r, ..., представляют собой логические переменные, которые могут обозначать различные постоянные высказывания. Следует отметить, что это соглашение противоположно применяемому в языке PROLOG, поскольку в этом языке для обозначения переменных используются прописные буквы. Приведенная выше схема правила модус поненс может быть записана с применением логических переменных, имеющих другие имена, как в следующем примерено будет по-прежнему означать тоже самое 3.6. Правила вывода напоминает по своей форме оператор выполнения цели языка PROLOG, который рассматривался в главе 2: Р Р Р PN. Цель р выполняется, если выполнены все подцели, р, р, pN. Аналогичное доказательство для продукционных правил может быть записано в следующей общей форме С ЛС2Л ЛСУ — АР Р Р. Знаки операций конъюнкции и дизъюнкции могут чередоваться. Например, следующий оператор PROLOG: Р- Р Р2'РЗ Р равносилен двум приведенным ниже операторам PROLOG. Р Р Р. р рз р. Безусловно, в языке PROLOG реализована мощная стратегия формирования рассуждений, но правила, созданные указанным выше способом, не всегда подходят для применения по произвольному назначению. Тем не менее при использовании языка PROLOG существует возможность более точно определить способ выполнения правил, чтобы можно было лучше приспособить форму представления знаний и стратегию логического вывода с учетом потребностей приложения. Примером такой организации работы может служить приложение, предназначенное для автоматизации офисов врачей-педиатров (www. visualdatallc. corn), которое более подробно описано в [73]. Эта форма означает, что если выполнено каждое условие правила, Сто осуществляется действие правила, А. Как было описано выше, логическое утверждение, представленное в указанной форме, является строго неэквивалентным правилу, поскольку логическое определение условного выражения не совпадает с определением продукционного правила. Однако эта логическая форма является полезным интуитивным вспомогательным средством, способствующим пониманию сути правил. В языке для обозначения логических операций AND и применяются другие символы, отличные от обычных символов Ли V. В операторах PROLOG запятая между подцелями обозначает конъюнкцию, Л, ас помощью точки с запятой обозначается дизъюнкция, V. Например, следующий оператор указывает, что цель р выполняется, если выполнена одна из целей, р или р2. Глава 3. Методы логического вывода 224 Вообще говоря, если и посылки, и заключение полностью представлены в виде схем, то доказательство Pi Р. С является формально правильным дедуктивным доказательством тогда и только тогда, когда следующее выражение представляет собой тавтологию Р Л Р Л... Р - СВ качестве примера можно указать, что приведенное ниже выражение представляет собой тавтологию, поскольку является истинным при любых значениях р и q, Т (истина) или F (ложь. (рЛд) р Для проверки сказанного читатель может составить истинностную таблицу. Следующее доказательство, формируемое по правилу модус поненс: р 'ч является действительным, поскольку может быть представлено в виде тавтологии (@q) Лр д Следует отметить, что в настоящем изложении предполагается наличие у знака операции "стрелка" более низкого приоритета, чему знаков операций коньюнкции и дизъюнкции. Такое соглашение позволяет обойтись без применения дополнительных круглых скобок, подобных показанным ниже. (р д) Лр) о Истинностная таблица для правила модус поненс показана в табл. 3.4. Это правило представляет собой тавтологию, поскольку все значения выражения, соответствующего доказательству, показанные в крайнем правом столбце, являются истинными, независимо оттого, какие значения имеют посылки доказательства. Обратите внимание на то, что в третьем, четвертом и пятом столбцах истинностные значения записаны под обозначениями определенных знаков операций, таких как — + и Л. Эти знаки операций называются основными связками, поскольку соединяют две основные части составного высказывания. Безусловно, описанный выше метод определения действительных доказательств является вполне применимым, но требует проверки каждой строки истинностной таблицы. Количество таких строк равно 2, где N — количество посылок 3.6. Правила вывода Таблица 3.4. Истинностная таблица для правила модус поненс (р- q) лр (р д) лр- д РЧ Т F Т F Т F F ,' Т Т Т Т Т F Т Т Т Т F F Таблица 3.5. Вариант представления истинностной таблицы для правила модус поненс в более краткой форме Заключение Посылки РЧ Т Т F F Т Т F Т Т Т Т Т F Т F Т F Истинностная таблица для правила модус поненс показывает, что это правило может служить действительным доказательством, поскольку впервой строке имеются истинные посылки и истинное заключение, а другие строки, в которых были бы истинные посылки и ложное заключение, отсутствуют. |