дб. Четвертое издание джозеф Джарратано Университет Хьюстон клиэрЛэйк Гари Райли People5oft, Издательский дом "Вильямс" Москва СанктПетербург Киев 2007 ббк 32. 973. 26 018 75 Д
 Скачать 3.73 Mb.
|
"Разболелась голова, и что мне делать — принять аспирин или водку с томатным соком (кровавую Мери" )" ?313 4.5. Классическая вероятность Рис. 4.3. Дерево событий для сложного события означает, что в рассматриваемых событиях компьютер либо работает, либо не работает. Деревья такого типа могут применяться для представления задач многих типов. Например, изучение бросков монеты приводит к созданию бинарного дерева событий, поскольку при каждом броске могут быть только два возможных результата. В теории вероятностей и статистике широко используется общий математический аппаратно статистика главным образом посвящена сбору и анализу данных о совокупностях множествах, из которых извлекаются выборки. Одна из задач, которые решаются в рамках статистики, состоит в формировании выводов относительно генеральной совокупности, из которой извлекается совокупность выборок. Типичным примером статистического расчета является определение на основании опроса того, какая часть зарегистрированных избирателей отдаст свои голоса за определенного кандидата. Одним из приложений теории вероятностей является определение того, действительно ли рассматриваемая выборка, которая включает часть избирателей, является представительной для всех избирателей, или эта выборка сформирована тенденциозно, в пользу лишь определенной партии. Безусловно, этот пример относится к реальным объектам, таким как люди, участвующие в выборах, но могут рассматриваться и другие, гипотетические примеры, касающиеся таких совокупностей, как возможное количество бросков монеты. Каждый бросок монеты становится выборкой из гипотетической совокупности всех бросков монеты. Как показано на рис. 4.4, основой формирования рассуждений о статистических совокупностях являются дедукция и индукция Если дана известная совокупность, то дедукция позволяет формировать логические выводы, касающиеся неизвестной выборки. Соответствующим образом, если дана известная выборка, то индукция позволяет формировать логические выводы, касающиеся неизвестной совокупности Глава 4. Рассуждения в условиях неопределенности 314 Рис. Дедуктивные и индуктивные рассуждения о совокупностях и выборках Теория вероятностей Формальная теория вероятностей может быть создана на основе трех описанных ниже аксиом. что областью определения вероятностей являются вещественные числа от О до 1. Отрицательные значения вероятностей не допускаются. Достоверному событию присваивается вероятность 1, а невозможному событию вероятность О. РЕ) = i Аксиома 2: В данной аксиоме утверждается, что сумма вероятностей всех событий, независящих друг от друга (называемых взаимоисключающими событиями, равна 1. Взаимоисключающие события не имеют каких-либо общих элементов выборки. Например, компьютер не может одновременно работать правильно и неправильно (если только это не квантовый компьютер. Из этой аксиомы следует приведенное ниже заключение, в котором символ Е' обозначает дополнение события ЕРЕ Согласно данному следствию, сумма вероятностей того, что некоторое событие произойдет и не произойдет, равна 1. Таким образом, появление и непоявление события являются взаимоисключающими событиями и полное выборочное пространство, в котором Е и Е2 — взаимоисключающие события, определяется следующим образом РЕ U Eg) = РЕ ) + P(Eg) Аксиома 3 4.6. Экспериментальные и субъективные вероятности 315 В этой аксиоме указано, что если события Е и Е не могут возникать одновременно (те. являются взаимоисключающими событиями то вероятность возникновения того или другого события равна сумме вероятностей этих событий. Как описано ниже, на основании вышеприведенных аксиом могут быть выведены теоремы, касающиеся вычисления вероятностей в других ситуациях, например, при наличии невзаимоисключающих событий. Безусловно, эти аксиомы позволяют заложить фундамент теории вероятностей, но заслуживает внимания то, что в них не рассматриваются основные вероятности Основные вероятности событий определяются с использованием других методов, например, с помощью априорных вероятностей. Описанные выше аксиомы позволяют перевести изучение вероятностей на надежное теоретическое основание. Фактически рассматриваемая аксиоматическая теория называется также объективной теорией вероятностей. Данные конкретные аксиомы были предложены Колмогоровым, а Реньи разработал эквивалентную теорию с использованием аксиом условных вероятностей. 4.6 Экспериментальные и субъективные вероятности Изучение классических вероятностей позволяет отвечать лишь на вопросы, касающиеся идеальных игр с равным правдоподобием, ноне дает возможности узнать, какова вероятность того, что на вашем компьютере завтра произойдет отказ жесткого диска, или какова средняя вероятная продолжительность жизни вашего ближайшего родственника (если только вы не направили на него заряженный пистолет. В отличие от априорного подхода при изучении подобных проблем с использованием экспериментальной вероятности применяется способ определения вероятности некоторого события P(E) как предела распределения частот В этой формуле Е) обозначает частоту появления некоторого события среди N наблюдаемых общих результатов. Вероятность такого типа называется также апостериорной вероятностью, те. вероятностью, определяемой "после события. Для обозначения апостериорной вероятности используется также термин эмпирическая вероятность. В основе определения апостериорной вероятности лежит измерение частоты, с которой возникает некоторое событие вовремя проведения большого количества испытаний, и последующее вычисление экспериментальной вероятности 316 Глава 4. Рассуждения в условиях неопределенности Например, чтобы определить экспериментальную вероятность отказа жесткого диска, можно получить результаты опроса других пользователей, имеющих опыт работы с жестким диском такого же типа. Результаты подобного гипотетического опроса приведены в табл. 4.4. Таблица 4.4. Гипотетические данные о продолжительности работы жесткого диска до наступления отказа Общее процентное соотношение отказавших жестких дисков Продолжительность эксплуатации в часах 10 25 50 75 99 100 250 500 750 1000 Допустим, что жесткий диск проработал часов. На основании этого можно логическим путем вывести, что существует 75'Ъ-ная вероятность того, что завтра произойдет его отказ. Следует отметить, что это значение, равное Ъ, получено с помощью индукции, а не дедукции. В идеальной игре любые ситуации полностью повторяются, а жесткие диски неидеальны, поэтому не могут точно совпадать друг с другом. Различия между жесткими дисками обнаруживаются в составе используемых материалов, в результатах контроля качества, в условиях окружающей среды и эксплуатации, которые влияют на жесткий диски его долговечность. Гораздо проще изготовить с меньшими допусками такие простые предметы, как игральные кости или игральные карты, чем такое сложное оборудование, как жесткие диски. К категории экспериментальных вероятностей относится еще один тип данных, которые могут быть получены из статистических таблиц смертности, применяемых компаниями страхования жизни, в которых показаны вероятности смерти людей в зависимости от возраста и пола. Вычисление шансов наступления смерти конкретного человека на основании данных этих таблиц относится к области индукции, поскольку каждый человек уникален. Аналогичная ситуация возникает в области страхования жилья. Допустим, что дома какого-то типа строятся из готовых конструкций и часто сгорают, поэтому для этого типа домов можно индивидуально рассчитать экспериментальную вероятность. Но такая возможность складывается редко, и поэтому применяются экспериментальные вероятности, в которых учитываются аналогичные типы домов. В действительности любой, кто живет в трейлере, может показать эту книгу представителю страховой компании и потребовать скидку, поскольку вероятность возникновения пожара в жилье подобного типа подчиняется определению классической вероятности и может быть. Сложные вероятности 317 4.7 Сложные вероятности Вероятности сложных событий могут быть вычислены путем анализа соответствующих им выборочных пространств. В качестве очень простого примера рассмотрим вероятность такого броска игральной кости, в котором выпадает четное количество очков, делимое натри без остатка. Эти условия могут быть представлены с помощью диаграмм Венна для следующих множеств в выборочном пространстве результатов бросков игральной кости, как показано на рис. 4.5: А = 2,4,6 В (3,6) точно вычислена. (Это — еще один пример применимости нашей книги, в данном случае как для получения страховой скидки, таки для уклонения от штрафа за превышение скорости, о чем было сказано водной из предыдущих глав) Применяется также еще один тип вероятности, называемый субъективной вероятностью. Предположим, что вас попросили оценить вероятность того, что автомобили со сверхпроводящими электрическими двигателями будут стоить в 2020 году 10 тысяч долларов. Безусловно, в настоящее время отсутствуют данные о стоимости таких автомобилей, поэтому нет возможности экстраполировать подобные значения стоимости, чтобы узнать, является ли цена в тысяч долларов оправданной. С другой стороны, некоторые данные уже позволяют получить такие модели гибридных бензиново-электрических автомобилей, как Toyota Prius, и эти данные можно экстраполировать на все электромобили. А поскольку речь идет о сверхпроводящем двигателе, который является на порядок более эффективным, то появляется возможность применить хоть какую-то разумную экстраполяцию. Понятие субъективной вероятности распространяется на события, которые не являются воспроизводимыми и не имеют исторической основы, с помощью которой можно было бы осуществлять экстраполяцию. Такую ситуацию можно сравнить с бурением нефтяной скважины на новой площадке. Но оценка субъективной вероятности, сделанная экспертом, лучше по сравнению с полным отсутствием оценки и обычно является очень точной (так как в противном случае эксперт недолго оставался бы экспертом. Субъективная вероятность — это фактически убеждение, или мнение, выраженное как вероятность, а необъективное значение вероятности, основанное на аксиомах или эмпирических измерениях. Убеждения и мнения экспертов играют важную роль в экспертных системах, о чем будет сказано ниже в данной главе. Итоговые сведения о различных типах вероятностей приведены в табл. 4.5. 318 Глава 4. Рассуждения в условиях неопределенности Таблица 4.5. Типы вероятностей Обозначение Характерные особенности Формула P(E) = —, где W — количество результатов события Е из общего количества возможных результатов N Апостериорная (экспериментальная, эмпирическая, научная, основанная нам определении относительной частоты, статистическая) f (Å) N Субъективная (индивидуальная) См. раздел 4.12 невозможно определяется на основе мнения, опыта, суждения, убеждения эксперта Обратите внимание на то, что пересечение множеств Аи В представляет собой следующее А Г1В = (6} Сложная вероятность выпадения четного количества очков, делимого натри, определяется приведенным ниже выражением, в котором и — количество элементов в множествах S — выборочное пространство. л(АпВ) 1 п(Я) 6 Априорная (классическая, теоретическая, математическая, симметричная, равновозможная, равноправдоподобная) где f(Å) — частота f, с которой событие Е наблюдалось в общем количестве результатов Повторяющиеся события равновероятные результаты известна точная математическая форма. Не основана на опыте известны всевозможные события и результаты Повторяющиеся события, изучение которых осуществляется на основе опыта. Приближенное вычисление по результатам конечного количества экспериментов точная математическая форма неизвестна Неповторяющиеся события точная математическая форма неизвестна применение метода определения относительной частоты 319 4.7. Сложные вероятности Рис. 4.5. Сложная вероятность броска одной игральной кости, который приводит к получению четного количества очков, делимого натри События, никоим образом не влияющие друг на друга, называются независимыми событиями. Для двух независимых событий Аи В вероятность представляет собой произведение отдельных вероятностей. Такие события Аи В называются попарно независимыми P(A П В) = P(A)P(B) Два события называются стохастически независимыми событиями тогда и только тогда, когда для них верна приведенная выше формула. Термин стохастический происходит от греческого слова, означающего "предположение". Этот термин обычно используется как синоним термина вероятностный. Таким образом, стохастический эксперимент имеет вероятностный результат, в отличие от результата детерминированного эксперимента, не являющегося случайным. В качестве стохастического эксперимента можно попытаться последовательно вступить в браки развестись с 10 людьми, оказываясь при этом либо в счастливом, либо в несчастливом браке. С другой стороны, попытка вступить в брак одновременно с 10 людьми приводит в детерминированное состояние тюремного заключения. Можно было бы предположить, что для трех независимых событий формула вычисления вероятности должна быть такой P(A п В п С) = P(A)P(B)P(C) Но, к сожалению, законы жизни и вероятности не столь просты Формула вычисления вероятностей N взаимно независимых событий требует решения 2 уравнений. Это требование подытоживается в следующем уравнении, звездочки в котором означают, что должна быть учтена каждая комбинация из всех событий и их дополнений P(A] ПА. Г АЦ = P(A*)P(A*)... Р(А) 320 Глава 4. Рассуждения в условиях неопределенности При наличии трех событий приведенное выше уравнение для вероятности взаимно независимых событий требует решения всех следующих уравнений Как показано в условиях задачи 4.б, недостаточно обеспечить попарную независимость каждого из двух событий, чтобы гарантировать взаимную независимость всех событий. Возвращаясь к примеру с игральной костью, отметим, что события, связанные с выпадением четного количества очков и количества очков, делимого на три, определенно влияют друг на друга, поэтому данный эксперимент не является стохастическим. С другой стороны, как показано ниже, вероятность выпадения четного количества очков на одной игральной кости и количества очков, делимого натри, на другой, является стохастической. P(Au В) = P(A)P(B) =— 3 2 1 Теперь рассмотрим случай с объединением событий, Р(А ИВ. Определим и как функцию, возвращающую количество элементов в множестве. Если мы сложим количество элементов в множестве Ас количеством элементов в множестве В и разделим на общее количество элементов в выборочном пространстве, n(S), то полученный результат, если множества пересекаются, будет слишком большим. P(AuB) = ( ) ( ) =P(A)+P(B) n(S) Как показано на рис. 4.5, применение этой формулы приводит к получению следующего результата P(AuB) = 6 6 Тем не менее можно легко убедиться в том, что в объединении содержатся только четыре элемента, поскольку имеет место такое выражение А U В = (2,3,4,6) Р(АпВп С) Р(А п В ГС) Р(А п В'п С) Р(А и В' п С) Р(А'п В п С) Р(А' п В п С) Р(А' п В' п С) Р(А' п В' п С) = Р(А)Р(В)Р(С) = Р(А)Р(В)Р(С') = Р(А) Р(В') Р(С) = Р(А) Р(В') Р(С') = P(A') P(B) Р(С) = Р(А')Р(В)Р(С') = Р(А') Р(В') Р(С) = Р(А') Р(В') Р(С') 321 4.8. Условные вероятности Проблема состоит в том, что при сложении чисел п(А) и п(В) количество элементов в пересечении множеств (6 засчитывается дважды, поскольку это пересечение принадлежит и к Аи кВ. Для получения правильной формулы достаточно вычесть лишнее значение, определяющее вероятность пересечения множеств P(A и В) = P(A) + P(B) — P(A п В) (2) Эта формула применительно к рассматриваемому примеру с игральной костью сводится к следующему выражению 3 2 1 4 2 P(AuB) = — + — — — = — =— 6 6 6 6 Формула (1) является правильной, если множества не пересекаются, поэтому не имеют общих элементов. Таким образом, формула (1) представляет собой частный случай формулы (2), называемой аддитивным законом. Аддитивный закон можно также вывести как теорему с использованием трех аксиом вероятностей, описанных выше в данной главе. Аддитивный закон для трех событий принимает следующий вид u B u С) = P(A) + P(B) + P(C) — Р(А п В) — Р(А п С) — P(B п С) +Р(АпвпС) 4.8 Условные вероятности События, не являющиеся взаимоисключающими, влияют друг на друга. Узнав о том, что произошло одно событие, мы можем оказаться вынужденными пересмотреть оценку вероятности возникновения другого события. Мультипликативный закон Вероятность возникновения события А, определяемая с учетом того, что произошло событие В, называется условной вероятностью и обозначается P(A В. Из указанных аксиом можно также вывести другие законы для таких случаев, в которых к событиям Аи В применяется операция NEITHER НЕ ИЛИ) или ХОВ. (исключительное ИЛИ. Значения вероятностей, которые могут быть определены с помощью этих законов, соответствуют сложным вероятностям, |