|
дб. Четвертое издание джозеф Джарратано Университет Хьюстон клиэрЛэйк Гари Райли People5oft, Издательский дом "Вильямс" Москва СанктПетербург Киев 2007 ббк 32. 973. 26 018 75 Д
С) А это приводит к получению Р осЫя odds= и Р 1 — Р 1+ойЬ В терминах шансов выигрыша в азартной игре можно интерпретировать Р как выигрыша Р как проигрыш losses, поэтому имеет место следующее выражение wins ойЬ = losses Если известны шансы, ойдя, могут быть вычислены вероятность, или правдоподобие, и наоборот. Таким образом, правдоподобие,
определяемое значением Р = 95ro, эквивалентно такой степени уверенности в том, что двигатель автомобиля запустится .95
odds= к 1 — .95 Р even) Р
even) Р
even) Это означает, что вы должны быть безразличны к ставке с шансами на то, что двигатель автомобиля запустится. Если кто-то вам предложит ставку в 1 доллар на то, что двигатель автомобиля не запустится, то вы готовы будете заплатить долларов, если он действительно не запустится. Применение приведенной выше формулы позволяет при наличии степени доверия, выраженной как вероятность, интерпретировать ее в терминах ставки с эквивалентными шансами. Иными словами вы всегда сможете узнать в реальной ситуации, какая степень доверия или ставка с эквивалентными шансами должна быть для вас безразлична. Вероятности, как правило, используются при решении дедуктивных задач, в которых дана некоторая гипотеза и может произойти целый ряд различных событий, Е,. Например, предположим, что рассматриваются броски игральной кости, в которых выпадает четное количество очков (событие even); в таком случае количество возможных событий равно трем Глава 4. Рассуждения в условиях неопределенности Достаточность и необходимость Теорема Байеса имеет следующую формулировку P(E H)P(H) P(E) а выражение для отрицания гипотезы Н имеет вид P(E I Н) РЕ) (2) Разделив уравнение (1) на уравнение (2), получим следующее P(H ЕЕ Н) Введем такое определение априорных шансов для гипотезы НОН Р(Н') а определение апостериорных шансов определим так P(H Е) Р(Н' Е) В тех задачах, в которых используются вероятности, обычно представляет интерес выражение РЕ, Н, где Е, — возможные события, соответствующие общей гипотезе. А в задачах статистики ив задачах с индуктивными рассуждениями обычно известно, что произошло некоторое событие и требуется найти правдоподобие гипотезы, в соответствии с которой могло произойти событие Е, что определяется выражением P(E Н,). Понятие вероятности естественным образом подходит для осуществления прямого логического вывода, или дедуктивного вывода, а понятие правдоподобия — для обратного логического вывода, или индуктивного вывода. Безусловно, для вероятности и правдоподобия используется одно и тоже обозначение, P(X У, но области применения этих понятий различны. Обычно в задаче речь идет либо о правдоподобии гипотезы, либо о вероятности события. Одной из теорий, которая была разработана на основе понятия степени доверия, является теория индивидуальной вероятности. В теории индивидуальной вероятности как возможные гипотезы рассматриваются состояния, а как результаты действий, выполненных на основе убеждений, — последствия. 4Л2. Достаточность и необходимость 345 Наконец, получим следующее определение коэффициента правдоподобия РЕ Н) P(E Н) (4) В таком случае уравнение (3) принимает следующий вид 0(H i Е) = LS 0(H) (5) Р(Н j ЕЕ) Р(Н' Е) 0(Н) Р(Н) Р(Н') Отметив, что Р(Н)(Р(Н') представляет собой некоторую константу, С, преобразуем уравнение (6) следующим образом 1 о СВ данном случае уравнение (4) также показывает, что гипотеза Н является достаточной для свидетельства Е. В табл. 4.10 приведены итоговые сведения о том, какой смысл имеют другие компоненты формулы вычисления коэффициента. Правдоподобие необходимости, LN, определяется по такому же принципу, как и правдоподобие достаточности, LS: Р(Н Е') 0(Н ЕРЕ НЕ) РЕ' Х) Р(Н) Р(Х') (7) НЕ) Если LN = Ото Р(Н Е) = О. Это означает, что если значение Е' является истинным, то значение Н должно быть ложным. Таким образом, если событие Е Уравнение (5) известно как форма с шансами и правдоподобием теоремы Байеса. Это уравнение представляет собой форму теоремы Байеса, более удобную для работы по сравнению с уравнением (Коэффициент LS называется также правдоподобием достаточности. Это связано стем, что если LS = oo, то свидетельство Е становится логически достаточным для принятия заключения об истинности гипотезы НА если свидетельство Е логически достаточно для принятия заключения об истинности гипотезы Н, то Р(Н Е) = 1 и Р(Н ] Е О. Уравнение (5) может использоваться для вычисления значения LS следующим образом Глава 4. Рассуждения в условиях неопределенности Таблица 4 10. Отношения между коэффициентом правдоподобия, гипотезой и свидетельством Коэффициент Влияние на гипотезу 0 Гипотеза Н ложна, если свидетельство Е истинно, иными словами, для принятия гипотезы Н необходимо, чтобы было истинным Е' Малые значения (О < LS « Свидетельство Е не способствует принятию гипотезы Н Свидетельство Е не влияет на степень доверия к гипотезе Н Большие значения (1 « LS) Свидетельство Е способствует принятию гипотезы Х Свидетельство Е логически достаточно для принятия гипотезы Н, или из наблюдения свидетельства Е следует, что гипотеза Х должна быть истинной Таблица Отношения между правдоподобием необходимости, гипотезой и свидетельством Коэффициент LN Влияние на гипотезу Гипотеза Х ложна, если свидетельство Е отсутствует, иными словами, свидетельство Е необходимо для принятия гипотезыН Малые значения (О < LS « 1) Отсутствие свидетельства Е не способствует принятию гипотезы Н 1 Отсутствие свидетельства Е не влияет на степень доверия к гипотезе Н Большие значения « LS) Отсутствие свидетельства Е способствует принятию гипотезы НОС Отсутствие свидетельства Е логически достаточно для принятия гипотезы Х Значения правдоподобия и LN, необходимые для вычисления апостериорных шансов, должны быть предоставлены экспертом-человеком. Уравнения) и (8) имеют простую форму, доступную для понимания людей. Коэффициент отсутствует, то гипотеза Н ложна иными словами, событие Е является необходимым для принятия гипотезы Н. Отношения между LN, Е и Н показаны в табл. Обратите внимание на то, что описания, приведенные в табл, совпадают с описаниями в табл. 4.10, в которых термин "свидетельство" заменен термином "отсутствие свидетельства. Применение неопределенности при формировании цепей LS показывает, насколько изменяются априорные шансы, если обнаруживается, что свидетельство имеется, а коэффициент LN показывает, насколько изменяются априорные шансы, если обнаруживается, что свидетельство отсутствует Эти формы позволяют затем эксперту-человеку проще задавать значения коэффициентов LS и LN. В качестве примера укажем, что в экспертной системе PROSPECTOR имеется правило, определяющее, как с помощью свидетельства о наличии некоторого минерала обосновывается гипотеза обнаруживаются кварцево-сульфидные прожилки THEN имеет место изменение пород по сложению и составу, перспективное сточки зрения обнаружения калиевых пород LS = 300 LN = Это означает, что обнаружение кварцево-сульфидных прожилок является довольно обнадеживающим, а отсутствие наблюдений таких прожилок свидетельствует не в пользу гипотезы, но это влияние не так уж неблагоприятно. А если бы значение коэффициента LN было намного меньше 1, то отсутствие прожилок сульфида кварца строго свидетельствовало бы в пользу того, что гипотеза ложна. В качестве подобного примера можно привести следующее правило IF обнаруживаются стекловидные включения бурого железняка THEN имеют место наилучшие перспективы минерализации для которого приняты такие коэффициенты LS = 1000000 LN =001 4.13 Применение неопределенности при формировании цепей логического вывода Неопределенность может присутствовать в правилах, в свидетельствах, используемых в правилах, или в тех ив других. В данном разделе рассматриваются некоторые практические задачи, связанные с неопределенностью, и показано, как найти решение этих задач с помощью вероятностей. Данная конкретная промежуточная гипотеза служит обоснованием для других гипотез, ведущих к формированию гипотезы верхнего уровня, говорящей о наличии месторождения меди. Значения коэффициентов LS и LN для этого правила являются следующими Глава 4. Рассуждения в условиях неопределенности Несовместимость коэффициентов, заданных экспертом Согласно уравнению (4), приведенному в предыдущем разделе LS ) 1 then P(E f Н) < P(E ! Н) Вычитая выражение в каждой части этого уравнения из 1, получим обратное неравенство 1 РЕИ Г(К Н) Поскольку имеют место соотношения' Н) = 1 — P(E Ни' Н) = 1 — P(E / Н, уравнение (можно преобразовать в такой вид 1 — P(E I Н) 1 — P(E Н) Назначения коэффициентов LS и LN распространяются определенные ограничения, общие сведения о которых приведены ниже. LS) 1HLN <1 Случай 1. Согласно уравнениями, другими случаями являются ЛЯ < 1 и ЬЮ ) 1 Случай 2. Случай 3. Безусловно, в этих трех случаях рассматриваются математически строгие ограничения, которые распространяются назначения коэффициентов LS и LN, нов реальном мире такие ограничения не всегда оправданы. Практика применения экспертной системы PROSPECTOR для разведки полезных ископаемых показала, что эксперты нередко задают значения LS ) 1 и LN = 1, которые не соответствуют трем рассматриваемым случаям. Иными словами, эксперт, задавая такие значения, указывает, что важно наличие свидетельства, но отсутствие свидетельства не является важным. Этот последний случай показывает, что теория правдоподобия, основанная на байесовской теории вероятностей, является неполной сточки зрения задачи разведки полезных ископаемых. Это означает, что байесовская теория правдоподобия представляет собой всего лишь приближение для той теории, которая позволяла бы также справляться стем случаем, когда LS ) 1 и LN = 1. С другой стороны, для тех проблемных областей, в которых мнения экспертов всегда соответствуют одному из первых трех случаев, байесовская теория правдоподобия остается удовлетворительной 4.13. Применение неопределенности при формировании цепей. Неопределенное свидетельство В реальном мире почти нив чем нельзя быть абсолютно уверенным, кроме наступления смерти и взыскания налогов, а после изобретения клонирования и крионики нельзя даже быть уверенным в неизбежном наступлении смерти. Безусловно, до сих пор речь шла в основном о неопределенных гипотезах, но более общей и реалистичной является такая ситуация, в которой неопределенными являются и гипотезы, и свидетельства. В качестве общего случая предположим, что степень доверия к полному свидетельству, Е, зависит от частичного свидетельства, е, которое определяется следующим выражением РЕ I е) Полное свидетельство — это суммарное свидетельство, представляющее всевозможные свидетельства и гипотезы, из которых состоит Е. Частичное свидетельство, е, представляет собой известную нам часть Е. А если известно все свидетельство, то Ее и справедливо следующее выражение, в котором РЕ априорное правдоподобие свидетельства ЕРЕ е) = РЕ) Правдоподобие РЕ I е) представляет собой степень доверия к свидетельству Е, с учетом неполноты знаний, е, о полном свидетельстве Е. Например, предположим, что люди, живущие по соседству, которые пробурили нефтяные скважины в своих кухнях, разбогатели. Рассмотрим следующие гипотезу и свидетельство H = я разбогатею Е = под моей кухней находится месторождение нефти выраженные в виде такого правила Вокруг кухонной печи всегда просачивается какое-то черное вещество (которое ваша вторая половина всегда считала результатом вашей деятельности по приготовлению пищи и до последнего времени просто вытирала. IF под моей кухней находится месторождение нефти THEN я разбогатею P(H Е) = 1 На этом начальном этапе вы еще не знаете с полной уверенностью, находится ли месторождение нефти и под вашей кухней. Окончательным свидетельством стало бы бурение контрольной скважины, но такой эксперимент обойдется достаточно дорого. Поэтому вы рассматриваете описанное ниже частичное свидетельство, е, которое могло бы служить обоснованием полного свидетельства Е. ° Другие люди, живущие по соседству, смогли разбогатеть Глава 4. Рассуждения в условиях неопределенности 350 ° К вашей двери подходил незнакомец и предлагал купить ваш дом за 20 миллионов долларов, объяснив такое невероятное предложение тем, что ему нравится, как этот дом красиво расположен. На основании этого частичного свидетельства можно определить, что правдоподобие полного свидетельства о наличии месторождения нефти под вашей кухней является довольно высоким, те. РЕ е) = 0.98. При формировании цепи логического вывода, основанной на использовании вероятности или правдоподобия, принято считать, что если гипотеза Х зависит от полного свидетельства Е, а Е основано на некотором частичном свидетельстве, е, то Р(Н е) — правдоподобие того, что Н зависит от е. Согласно правилу для условной вероятности: Р(Н få)= Ре) На рис. 4.15 показано, как выражается идея, состоящая в том, что гипотеза Н обосновывается свидетельствами Е и е. Таким образом, приведенное выше уравнение принимает вид Р(Н п Е Г е) + Р(Н n E' n e) Ре) Рис. Пересечение множеств, соответствующих гипотезе Ни частичному свидетельству е Используя правило условной вероятности, получим следующее Р(Н ПЕ е) Ре) + Р(Н ПЕ' е) Ре) Р) Р(Н ! е) = Р(Н ПЕ е) + Р(Н Г Ее. Применение неопределенности при формировании цепей Из этого следует еще один способ представления уравнения, поскольку справедливо следующее уравнение Р(НПЕ ) Р(НПЕПе) Р) Р(Н Е Пе) РЕ Г е) Ре) (2) а также, поскольку имеет место следующее P(Z I е) = () Таким образом, уравнение) принимает вид Р(Н ПЕ е) = Р(Н Е П е)Р(Е е) Аналогичным образом, справедливо следующее уравнение Ее Р(Н Е' П е)Р(Е' е) и уравнение (1) принимает вид Р(Н I е) = Р(Н I Е п е)Р(Е е) + Р(Н Е' п е)Р(Е' е) Как правило, вероятности Р(Н Е пе) и Р(Н Е' Пе) неизвестны. Но если принять предположение, что эти вероятности могут быть приближенно представлены с помощью выражений Р(Н I Е) и Р(Н I Е, то уравнение (3) упрощается до следующего уравнения (4) Р(Н I е) = Р(Н I ЕРЕ е) + Р(Н I ЕРЕ е) Уравнение (4) по существу представляет собой линейную интерполяцию Р(Н е) по отношению к РЕ е. Конечными точками этой интерполяции являются следующие (Свидетельство Е истинно, поэтому Р(Н е) = Р(Н Е. (Свидетельство Е ложно, поэтому Р(Н I е) = Р(Н I Е. Р(Н е) = Р(Н ЕРЕ) + Р(Н ЕРЕ) Р(Н е) = Р(Н) (5) (6) Но если значение РЕ е) равно априорной вероятности РЕ, то при использовании уравнения (4) возникает проблема. С другой стороны, если система подчиняется чисто байесовской вероятности, то имеют место следующие уравнения, которые являются правильными: Глава 4. Рассуждения в условиях неопределенности 352 ОН Е) = кО(Н) = ОН) поэтому Р 1 — Р В таком случае становится справедливой зависимость Р(Н Е) = Р(Н) (7) Подстановка уравнения (7) в уравнение (5) позволяет получить следующее уравнение Р(Н I е) = Р(Н l ЕРЕ) + Р(Н)Р(Е') = = Р(Н I ЕРЕ) + Р(Н) (1 — РЕ) ) Р(Н l е) = P(H) + Р(Н I ЕРЕ) — P(H)P(E) (Теперь отметим, что O(H i Е) = гЮ(Н) Если LS = 1, то НЕ) Н) Р(Н Е) = Р(Н) Эксперт-человек задал значение LS ) Таким образом, Р(Н Е) ) Р(Н), поэтому следующий терм в уравнении (8) будет иметь значение больше О, где О нижняя граница, если LS = 1: Р(Н ЕРЕ) — Р(Н)Р(Е) Поэтому из уравнения (8) при LS ) 1 и LN = 1 следует Р(Н ] е) ) Р(Н) Это соотношение противоречит тому факту, что значение Р(Н е) должно равняться Р(Н), если РЕ / е) = РЕ. Начиная с соотношения Р(Н / е) ) P(H), вероятность становится больше, чем должна быть, и может продолжать увеличиваться, поскольку вывод из одного правила используется в другом правиле вцепи логического вывода. Но опыт решения реальных задач показал, что эксперты-люди присваивают такие значения субъективных вероятностей, которые почти наверняка оказываются несовместимыми. Например, если эксперт использует несовместимый случай сито имеет место следующее 4.13. Применение неопределенности при формировании цепей. 353 Исправление недостатков, связанных с неопределенностью Один из способ устранения описанных выше проблем состоит в принятии предположения, что Р(Н е) выражается кусочно-линейной функцией. Этопроизвольное предположение, оправдавшее себя в системе PROSPECTOR, ноне основанное на традиционной теории вероятностей. А линейная функция выбрана для упрощения вычислений. Эта функция согласуется с ограничениями в трех обозначенных зачерненными кружками точках, которые показаны на рис. Формула для Р(Х е) вычисляется с использованием линейной интерполяции следующим образом P(H Ее) РЕ) для О < P(E / ее РЕ) для Р(Е) < РЕ l е) < 1 Рис. б. Функция кусочно-линейной интерполяции для частичного свидетельства в системе С помощью этой формулы можно выполнить требования, соответствующие описанному выше случаю несовместимости, в котором I S ) 1 и I.N = 1. Теперь значение Р(Н I е) остается одинаковым, если РЕ l е) ( РЕ, и возрастает, если P(E е) = P(E). Причина, по которой была выбрана такая кусочно-линейная форма, а непросто одна прямая линия, состоит в том, что нужно обеспечить выполнение соотношения е) = P(H) при P(E е) = P(E). 354 Глава 4. Рассуждения в условиях неопределенности Комбинация свидетельств В простейшем случае правило экспертной системы имеет приведенную ниже форму, в которой Е — единственная часть известного свидетельства, на основание которого можно прийти к заключению, что гипотеза Н истинна. IF Е THEN Н К сожалению, не все правила могут быть такими простыми, поскольку необходимо учитывать наличие неопределенности. Варианты классификации неопределенных свидетельств IF неисправна коробка передач THEN сдайте автомобиль в реыонт А сложное свидетельство состоит из нескольких частей свидетельства, обычно объединяемых с помощью связок AND, как в следующем примере IF неисправна коробка передач AND неисправен двигатель THEN продайте автомобиль или, в более формальном виде IF Ej and E2 then Н Этому правилу можно присвоить вероятность примерно так Р(Н I Е ПЕ) = = 0.80. Это означает, что, согласно данному свидетельству, мы на 80'4 уверены в том, что автомобиль должен быть продан. Дальнейшее уточнение свидетельства состоит в определении его вероятности. Например, вероятность того, что коробка передач неисправна, может зависеть от наличия следующих двух симптомов а) наблюдается утечка трансмиссионного масла б) автомобиль дергается при переключении скоростей. Эти наблюдения помогают проще определить значение вероятности свидетельства, касающегося коробки передач. Например, на основании симптомов Если имеется какая-либо неопределенность в отношении правила, то возникают более сложные ситуации. Неопределенность может быть выражена как вероятность или правдоподобие, в зависимости оттого, рассматриваются ли воспроизводимые события или субъективные вероятности. Но для упрощения мы будем использовать для обозначения неопределенности термин вероятность. Различные ситуации можно классифицировать с учетом того, является ли свидетельство определенным или неопределенным, а также имеет ли место простое свидетельство или сложное свидетельство. Простое свидетельство состоит из единственной части свидетельства,
|
|
|
Скачать 3.73 Mb.