дб. Четвертое издание джозеф Джарратано Университет Хьюстон клиэрЛэйк Гари Райли People5oft, Издательский дом "Вильямс" Москва СанктПетербург Киев 2007 ббк 32. 973. 26 018 75 Д
 Скачать 3.73 Mb.
|
P(X) + P(X') = 1 Каждую массу можно формально представить с помощью функции, которая отображает каждый элемент степенного множества в вещественное число, находящееся в интервале от 0 до 1. Под этим подразумевается, что степень доверия к некоторому подмножеству может принимать любые значения от 0 до 1. Указанное отображение формально представляется с помощью следующей формулы т P(O) — +Чтобы было проще ознакомиться стем, как это делается, вначале рассмотрим пример, в котором применяется частный случай общей формулы комбинирования свидетельств. Предположим, что для распознавания самолетов применен датчик второго типа, который определяет, что рассматриваемый самолет представляет собой бомбардировщик, со степенью доверия к свидетельству, равной 0.9. Теперь массы свидетельств, полученных от обоих датчиков, принимают следующий вид тд((В,Fj) = 0.7 mg((B)) = 0.9 тд(0) = 0.3 m (0) = В этих формулах переменные тд и т относятся к датчикам первого и второго типов. Полученные свидетельства можно скомбинировать с помощью следующей специальной формы правила комбинирования Демпстера для получения такой комбинированной массы т E8 mq(z) = g тп(х)т(У) д =Z В этой формуле операция суммирования распространяется на все элементы, для которых пересечение Х Г У = Z. Знак операции соответствует операции ортогональной суммы, или прямой суммы. Результат этой операции определяется путем суммирования пересечений произведений масс правой части правила. Правило комбинирования Демпстера позволяет комбинировать массы для получения новой массы, представляющей собой консенсус по отношению к оригинальным, возможно конфликтующим свидетельствам. Такую новую массу принято называть консенсусом, поскольку использование ее значения, как правило, способствует достижению соглашения, а не возникновению разногласий, так как в пересечения множеств включаются только массы. Пересечения множеств представляют общие элементы свидетельств. Важно отметить, что это правило должно применяться для комбинирования свидетельств, имеющих взаимно независимые ошибки, а это — не тоже самое, что независимо собранные свидетельства. В табл. 5.4 в виде одной таблицы показаны массы и пересечения произведений для среды с самолетами разных типов. За каждым обозначением пересечения множеств следует соответствующее ему числовое значение произведения масс. Записи в этой таблице были вычислены путем перекрестного умножения произведений масс по строками столбцам, как показано ниже, где Т, обозначает ю. Теория Демпстера- Шефера 423 Таблица Подтверждение свидетельств т((В)) = 0.9 т(О) = 0.1 тд((В, F)) = 0.7 (В тд(О) = 0.3 (В (В, F)0.07 00.03 строку и й столбец таблицы. Тдд((В)) = т1((В, Fj)mg((B)) = (0.7)(0.9) = 0.63 Tqq((B)) = тд(0)т((В)) = (0.3)(0.9) = 0.27 Тд((В, F)) = т1((В, F))mq(O) = (0.7)(0.1) = 0.07 ТО т (0) т (0) = (0.3) (О. 1) = 0.03 Вслед за вычислением отдельных произведений масс в соответствии с описанными формулами выполняется сложение произведений по общим пересечениям множеств, согласно правилу Демпстера, следующим образом тз((ВИ = т 63 mq((B)) = 0.63 + 0.27 = 0.90 тз((В,F)) = тд 83 т2((В,F)) = бомбардировщик бомбардировщик или истребитель тз(0) = тд т) = 0.03 отсутствие доверия Значение тз((В)) выражает доверие к тому, что рассматриваемый самолет представляет собой бомбардировщики только бомбардировщик. Но под значениями тз((В, F)) и тз(0) подразумевается дополнительная информация. Соответствующие множества включают бомбардировщик, поэтому правдоподобно допущение, что их ортогональные суммы могут внести свой вклад в определение степени доверия к тому, что рассматриваемый самолет является бомбардировщиком. Поэтому значение суммы 0.07+ 0.03 = для этих множеств может быть добавлено к степени доверия„касающейся подмножества бомбардировщика, для получения максимальной степени доверия к гипотезе, что самолет может быть бомбардировщиком — к степени 0,90, т.е. правдоподобной степени доверия. Таким образом, степень доверия не ограничивается одним значением, а выражается в виде ряда степеней доверия к свидетельству. В данном случае ряд степеней доверия начинается с минимального значения согласно которому известно, что рассматриваемый самолет — бомбардировщик, до максимального правдоподобного значения степени доверия, равного 0.90+ 0.1 = 1, что этот самолет может представлять собой бомбардировщик. При этом предполагается, что истинная степень доверия находится где-то в диапазоне от до 1. В таких рассуждениях на основании свидетельств считается, что свидетельство вводит интервал проявления свидетельства (evidential interval). При этом Глава 5. Нестрогие рассуждения в рассуждениях на основе свидетельств нижняя граница интервала называется обоснованием (support — Spt), а в теории Демпстера — Шефера обозначается как Bel (belief). С другой стороны, верхнюю границу принято называть правдоподобием (plausibility — Для данного примера интервал свидетельств равен [0.90, 1], т.е. нижняя граница равна 0.90, а верхняя граница — Обоснование представляет собой минимальную степень доверия, основанную на свидетельстве, а правдоподобие максимальную степень доверия, которую желательно достичь. Вообще говоря, диапазоны, в которых изменяются Bel и выражаются соотношением 0 < Bel < Pls < 1. В теории Демпстера — Шефера нижнюю и верхнюю границы иногда называют нижней и верхней вероятностями, согласно оригинальной статье Демпстера. В табл. 5.5 показаны некоторые широко применяемые интервалы проявления свидетельств. Таблица 5.5. Некоторые широко применяемые интервалы проявления свидетельств Интервал проявления Область свидетельства определения переменной Значение Полностью истинный Полностью ложный Полностью неизвестный Как правило, обосновывающий Как правило, опровергающий Как правило, и обосновывающий, и опровергающий О<Ве1<1 О или доверительная функция, Bel, представляет собой общую степень доверия к множеству и всем его подмножествам. Таким образом, Bel— это вся масса, которая обосновывает множество и определяется в терминах массы вех) = ) m(Y) УСХ Например, в данной среде с типами самолетов для первого датчика справедливо следующее соотношение Функцию Be l иногда называют мерой доверия, или просто доверием. Но следует отметить, что доверительная функция весьма отличается от массы, которая представляет собой степень доверия к свидетельству, присвоенную единственному множеству. Например, предположим, что вы владеете автомобилем марки Ford [1,1] О, 0] О, 1] [Ве1, 1] О, Pls] [Bel, Pls] Ве1((В, F)) = m((B,F)) + т((В)) + т1(Щ) = = 0.7+ 0 + 0 = 0.7 425 5.4. Теория Демпстера — Шефера и услышали, что полиция разыскивает какой-то Ford, на котором преступники убежали от погони после ограбления банка. Но сообщение о том, что полиция разыскивает какой-то Ford, весьма отличается от сообщения, согласно которому ведется розыск именно вашего автомобиля Ford. Масса — это степень доверия к множеству, а не к какому-либо из его подмножества доверительная функция применяется к множеству и ко всем его подмножествам. Значение Bel представляет собой суммарную степень доверия и поэтому является более глобальной, чем локальная степень доверия, выражаемая массой. В связи стем, что в теории Демпстера — Шефера определены такие взаимосвязи между значениями массы и функции Bel, ее также называют теорией доверительных функций. Таким образом, правило Демпстера в определенном смысле можно интерпретировать как способ комбинирования доверительных функций. Масса и доверительная функция связаны следующим соотношением: т(Х) = ( — 1) I» IBel(Y) В этой формуле Х — У представляет собой кардинальность множества Х — Ух х Хи х ф У Ве11 9 Ве1((В)) = т 9 mg((B)) + т 9 т(Я) = = 0.90 + О = 0.90 В обычном случае масса пустого множества не записывается, поскольку, вообще говоря, она определяется как равная нулю. Суммарная степень доверия к подмножеству (В, F3, состоящему из бомбардировщика и истребителя, включает больше подмножеств, чем приведенное выше множество Ве1163 Ве1 ВО В это выражение включены термы для множеств (В) и (F}, поскольку они представляют собой подмножества множества (В. В том, что множество (В, F) имеет подмножества (В) и (F), можно убедиться на основании рис. Подмножеству (F) масса не присвоена, поэтому т(Щ) = О, и это подмножество не вносит никакого вклада в сумму. В действительности m((F)) и другие Таким образом, Х — Y] — это количество элементов в множестве Х — У. Итак, доверительные функции определяются в терминах масс, поэтому комбинация двух доверительных функций также может быть выражена в терминах ортогональных сумм масс множества и всех его подмножеств, например, как показано ниже Глава 5. Нестрогие рассуждения Ве1163Belg(O) = m т) + т 9 т2({В,Fj) + т 9 т2({В)) = = 0.03 + 0.07+ 0.90 = Фактически Bel(O) = 1 во всех случаях, поскольку сумма масс всегда должна быть равна 1. При комбинировании свидетельств просто происходит перераспределение масс по разным подмножествам. Интервал проявления свидетельства множества S, EI(S), может быть определен в терминах степени доверия следующим образом Е = [Bel(S), 1 — Bel(S )] Если S = {B), то S' = Аи имеет место следующая формула, поскольку имеются элементы, отличные от фокальных, то масса нефокальных элементов равна нулю Bel({A, Fj) = m> 9 m>({A, F)) + m> � m>({A)) + т 9 m>({F)) = =0+0+0=0 Таким образом, интервал проявления свидетельств для В) представляет собой следующее EI({B].) = [0.90, 1 — 0] = = [0.90, 1] Аналогичным образом, если S = В, F), то S' = Аи имеет место следующее, поскольку А) — нефокальный элемент Ве1({А)) = О Кроме того, справедливы приведенные ниже соотношения, в которых интервал проявления свидетельств [0, 1] отражает суммарную степень незнания применительно к подмножеству А. Ве1({В,F)) = Bell � Ве12({В,Fj) = 0.97 EI({B, F) = [0.97, 1 — О = [0.97, 1] ЕХ({А)) = [0,1] массы, равные нулю, вообще не вводились в табл 5.4, поскольку результат любого перекрестного произведения между ними будет равен нулю. Если бы массы были присвоены каждому подмножеству множества А, В, F), кроме пустого множества (имеющего нулевую массу, то табл. представляла бы собой таблицу из 49 ячеек, согласно расчету (2З — З — 1) = 7 7 = 49. Комбинированная доверительная функция для О, основанная на всех свидетельствах, представляет собой следующее. Теория 4емпстера — Шефера 427 Таким образом, интервал проявления свидетельств суммарная степень доверия,правдоподобие] может быть выражен таким образом: [обосновывающее свидетельство, обосновывающее свидетельство + незнание В соответствии с теорией вероятностей этот интервал сводится к следующей единственной точке, поскольку в теории вероятностей наличие незнания не допускается обосновывающее свидетельство, обосновывающее свидетельство Это означает, что в теории вероятностей свидетельство, которое не обосновывает гипотезу, должно ее опровергать, например, по такому принципу "Если данные перчатки вам не подходят, то вы должны ходить вообще без перчаток. Правдоподобие определяется как степень, в которой свидетельство не в состоянии опровергнуть гипотезу Х) = 1 — Ве!(Х') = 1 — ) m(X') УСХ Dbt(X) = Веl(Х ) = 1 — Pls(X) Igr(X) = Р1ь(Х) — Веl(Х) А правдоподобная степень доверия, Pls, расширяет степень доверия до абсолютного максимума, в рамках которого неприсвоенная степень доверия т, возможно, окажется способной внести свой вклад в эту степень доверия. Безусловно, масса т) может включать бомбардировщик, истребитель или авиалайнер, но согласно предположению о правдоподобии подразумевается, что эта масса вносит дополнительную степень доверия только водно из подмножеств множества О. А поскольку В) — подмножество множества Ото правдоподобно, что степень доверия соответствующая массе ш, может быть присвоена бомбардировщику. Как было отмечено в разделе 4.15, понятие правдоподобной степени доверия немного строже, чем понятие возможной степени доверия, ноне обязательно соответствует степени доверия, поддерживаемой строгим свидетельством. Еще одно важное замечание состоит в том, что О — это не единственный тип множества, которое распространяет степень доверия на какое-либо подмножество Х. Такое же действие выполняет любое множество, которое пересекается с Хи сего дополнением. Сомнительность (dubiety — Dbt), или сомнение, представляет собой степень, в которой выражается недоверие к гипотезе Х или эта гипотеза опровергается. С другой стороны, незнанием (ignorance — Igr) называется степень, в которой масса обосновывает гипотезы Хи Х. Эти значения определяются следующим образом Глава 5. Нестрогие рассуждения Нормализация степени доверия Предположим, что теперь поступает конфликтующее свидетельство от третьего датчика, согласно которому рассматриваемый самолет представляет собой авиалайнер: тз((А)) = т) = 0.05 В табл. 5.6 показано, как в данном случае вычисляются перекрестные произведения. Таблица Комбинирование свидетельств с учетом дополнительного свидетельства тд т � mq((B)) тд � т2(В, E)) тд � т2(О) 0.90 0.07 0.03 тз((А].) = 0.95 тз(0) = 0.05 (А 00.0015 00 (В 00 Вт т � тз((А)) = 0.0285 m> e m> e тз ЯВ)) = 0.045 т � ш � тз((В, F)) = 0.0035 m> e m> e тз(0) = 0.0015 т 9 т 9 тз(0) = 0 (согласно определению пустого множества) Обратите внимание на то, что в данном примере сумма всех масс меньше 1: g т 83 т 63 т(Х) = 0.0285 + 0.045 + 0.0035 + 0.0015 = 0.0785 В этом выражении операция суммы охватывает все фокальные элементы. Тем не менее сумма должна быть равна 1, поскольку комбинированное свидетельство т 9 т 9 тз имеет действительную массу, а сумма по всем фокальным элементам должна составлять 1. Тот факт, что в данном случае сумма меньше 1, свидетельствует о наличии проблемы Решение этой проблемы состоит в осуществлении нормализации фокальных элементов путем деления каждого фокального элемента наследующее выражение В данной таблице появилось пустое множество, Ив связи стем, что подмножества Аи) не имеют общих элементов и таковых не имеют также подмножества Аи, поэтому их перекрестное произведение равно О, а не 0.855 и 0.0665. Но вскоре будет показано, что такие нулевые значения находят свое применение в нормализации. Перекрестное произведение представляет собой произведение столбцов на строки и выражается следующими формулами 5.4. Теория Демпстера — Шефера В этом выражении значение к (каппа) определено для каждого множества Хи У таким образом к = ) mq(x)mq(Y) хпу=И В данном примере к = 0.855 + 0.0665 = 0.9215 и поэтому рассматриваемое выражение равно 1 — к = 1 — 0.9215 = 0.0785 Деление каждого фокального элемента т (3 т � тз на 1 — к приводит к получению следующих нормализованных значений т � т � тз(А) = т 9 mg � тз(В) = 0.573 т 9 т 63 тз(В, F) = 0.045 т � mg � тз(0) = 0.019 Теперь общее нормализованное значение степени доверия (В) равно следующему Bel((B)) = т 63 mg((B)) = Обратите внимание на то, что теперь лишь одно свидетельство в пользу подмножества (А) существенно уменьшило степень доверия к подмножеству (В, те, как и следовало ожидать, степень доверия уменьшилась с 0.90 доили почти вдвое) = Bel((A, F)) = = т т 63тз((А,F))+ + т Smq %тз((А))+ + m> � m> e m>((F)) = 0 + 0.363 + 0 = 0.363 EI((B)) = [Ве1((В)), 1 — Bel((B)')] = = [0.573, 1 — 0.363] = = [0.573, 0.637] Таким образом, после этого интервал проявления свидетельств принимает следующий вид 430 Глава 5. Нестрогие рассуждения тд (У) тд 63 т2(У) = 1 — кВ этой формуле значение к еще раз определено для удобства. Если кто ортогональная сумма не определяется к mq(x)mq(Y) хпТ=И Значение к показывает величину конфликта свидетельств. Если к = Ото имеет место полная совместимость гипотеза если равно 1, — полное противоречие. Значения О ( к ( 1 показывают частичную совместимость. Движущиеся массы и множества Для лучшего объяснения таких понятий, как обоснование и правдоподобие, полезна аналогия с движущимися массами. Основные применяемые при этом концепции приведены ниже. ° Обоснование — это масса, присвоенная множеству и всем его подмножествам. ° Масса множества может свободно перемещаться на его подмножества Масса множества не может перемещаться на его надмножества. ° Перемещение массы с множества на его подмножество позволяет внести вклад только в повышение правдоподобия подмножества, а не в его обоснование. ° Масса среды, те. множества О, может перемещаться на любое подмножество множества О, поскольку множество О находится вне всех подмножеств. Как показано на рис. 5.7, а, предполагается, что вся масса находится в подмножестве Х, поэтому имеет место следующее m(X) = 1 Это означает, что обоснование Х равно 1. Правдоподобие X также равно поскольку вся масса находится в Хи нет никакого надмножества, которое могло бы внести дополнительную массу. Таким образом, имеем следующее EI(X) = [1, 1] Обратите внимание на то, что обоснование и правдоподобие (В) существенно уменьшились под влиянием конфликтующего свидетельства в пользу подмножества (А. Итак, правило комбинирования Демпстера имеет такую общую форму 5.4. Теория Демпстера — Шефера Рис. 5.7. Множества, применяемые для иллюстрации понятий обоснования и правдоподобия Если т(Х) = 0.5, то EI(X) = [0.5,0.5], и, вообще говоря, если т(Х) = а, где а — любая константа, то EI(X) = а, а А на рис. 5.7, б принято предположение, что ш(Х) = 0.6 и т(У) = 0.4, причем эти значения являются также обоснованиями для соответствующих подмножеств. Правдоподобие Х равно поскольку масса У не может быть перемещена на Х. Но масса Х может быть перемещена внутрь У, поскольку У подмножество Х и поэтому правдоподобие У равно 0.4+0.6 = 1. Таким образом, интервалы проявления свидетельств для Хи У являются таковыми Ы((Х)) = о. в, об EI((Yj) = [0.4,1] Следует отметить, |