дб. Четвертое издание джозеф Джарратано Университет Хьюстон клиэрЛэйк Гари Райли People5oft, Издательский дом "Вильямс" Москва СанктПетербург Киев 2007 ббк 32. 973. 26 018 75 Д
 Скачать 3.73 Mb.
|
MEDIUM
More Or Less |
Very SHORT ТО Very TALL А Little TALL ТО Very SHORT More Or
Less MEDIUM ТО TALL Впервые концепция лингвистической переменной была применена в автомобиле, управляемом на основе теории нечетких множеств, который был разработан
Сугено (Sugeno) в Токийском технологическом институте. В
автомобиле Сугено используется система управления,
основанная на нечеткой логике, которая обеспечивает автономное передвижение автомобиля на площадке прямоугольной формы. Автомобиль обладает способностью парковаться в указанном пространстве, а также обучаться на основе примеров. Лингвистические переменные использовались в правилах, на основе которых осуществлялось управление движением автомобиля. Кроме того, было создано большое количество систем управления на основе нечеткой логики других типов, предназначенных для управления устройствами и производственными установками, такими как цементные печи,
применяемые для производства цемента 5.5. Приближенные рассуждения 465 Принцип расширениях то согласно принципу расширения определяется образ нечеткого множества F, полученный с помощью функции отображениях, как показано ниже. f (F) = рр(х)/f (õ) Например,
предположим, что функция f(x) определена как четкая функция,
которая возводит в квадрат значение своего параметра f(x) = х
В таком случае принцип расширения позволяет определить способ реализации функции возведения в квадрат элементов нечетких множеств f (F) =,ир(х)//(х) = рр(х)/х Например,
определим универсумы Хи У как закрытый интервал действительных чисел О, 1000] и нечеткое множество следующим образом F = .3/15 + .8/20 + 1/30 В таком случае согласно принципу расширения определим отображение f (таким образом f (F) =,ир(х) / f (x) = х = .3/ f (15) + .8// (20) + 1/ f
(30) = = .3/225 + .8/400 + 1/900 Принцип расширения — очень важное понятие в теории нечетких множеств. Этот принцип
определяет способ расширения области определения данной конкретной четкой функции для включения в нее нечетких множеств. С помощью принципа расширения можно расширить любую обычную, или четкую функцию из области математики,
науки, инженерии, экономики и т.д. для работы в нечеткой области определения с нечеткими множествами. Благодаря использованию этого принципа нечеткие множества становятся применимыми во всех сферах человеческой деятельности.
Предположим, что f — обычная функция, которая создает отображение из универсума Х в универсум У. Если F — нечеткое подмножество универсума Х, такое, что справедливо следующее выражение:
Глава 5. Нестрогие рассуждения 466 Нечеткая логика
Классическая логика лежит в основе обычных экспертных система нечеткая логика формирует основу нечетких экспертных систем. Нечеткие экспертные системы позволяют не только справиться с неопределенностью, но и дают возможность моделировать рассуждения на основе здравого смысла, а эта задача с большим трудом поддается решению с помощью обычных систем. Но важной проблемой при моделировании рассуждений на основе здравого смысла является то, что при этом приходится воссоздавать колоссальную онтологию информации, которую люди используют в своих рассуждениях,
даже не задумываясь об этом. Дополнительные сведения по этой теме можно найти по адресу Существенным ограничением классической логики является то,
что она сводится к двум истинностным значениям — истина и ложь. Как было описано в главах 2 и 3, такое ограничение имеет свои преимущества и недостатки. Основным преимуществом является то, что системы, основанные на двухзначной логике,
можно легко моделировать с помощью дедуктивных правил,
поэтому легко обеспечивается возможность получения точных логических выводов. А основной недостаток состоит в том, что лишь очень небольшая часть реального мира действительно
науки, инженерии, экономики и т.д. для работы в нечеткой области определения с нечеткими множествами. Благодаря использованию этого принципа нечеткие множества становятся применимыми во всех сферах человеческой деятельности.
Предположим, что f — обычная функция, которая создает отображение из универсума Х в универсум У. Если F — нечеткое подмножество универсума Х, такое, что справедливо следующее выражение:
Глава 5. Нестрогие рассуждения 466 Нечеткая логика
Классическая логика лежит в основе обычных экспертных система нечеткая логика формирует основу нечетких экспертных систем. Нечеткие экспертные системы позволяют не только справиться с неопределенностью, но и дают возможность моделировать рассуждения на основе здравого смысла, а эта задача с большим трудом поддается решению с помощью обычных систем. Но важной проблемой при моделировании рассуждений на основе здравого смысла является то, что при этом приходится воссоздавать колоссальную онтологию информации, которую люди используют в своих рассуждениях,
даже не задумываясь об этом. Дополнительные сведения по этой теме можно найти по адресу Существенным ограничением классической логики является то,
что она сводится к двум истинностным значениям — истина и ложь. Как было описано в главах 2 и 3, такое ограничение имеет свои преимущества и недостатки. Основным преимуществом является то, что системы, основанные на двухзначной логике,
можно легко моделировать с помощью дедуктивных правил,
поэтому легко обеспечивается возможность получения точных логических выводов. А основной недостаток состоит в том, что лишь очень небольшая часть реального мира действительно
является двухзначной. Реальный мир — это аналоговый мира не цифровой (иначе могут думать только те, кто верит происходящему в фильме "Матрица" ). Ограничения двухзначной логики были известны еще со времен Аристотеля.
Безусловно, Аристотель впервые сформулировал силлогистические правила вывода и закон исключенного третьего, но он признавал, что высказывания, касающиеся будущих событий, фактически нельзя считать ни истинными, ни ложными до тех пор, пока не произошли сами события. В
дальнейшем был сформулирован целый ряд различных логических теорий, которые были основаны на множественных значениях истинности в их число входят теории Лукашевича
(Lukasiewicz), Бочвара (Bochvar), Клина (Kleene), Хейтинга
(Heyting) и Рейхенбаха (Reichenbach). Широко применяются такие логические теории, которые основаны на трех значениях истинности, представляющих истину (TRUE), ложь (FALSE) и неизвестное (UNKNOWN). Такая трехзначная логика обычно представляет три истинностных значения, соответственно, FALSE и UNKNOWN, или 1, 0 и 1/2. Кроме того,
разработаны некоторые обобщенные логики с N истинностными значениями, где N — произвольное целое число, большее или равное двум. Впервые N-значную логику разработал Лукашевич в х годах. В N-значной логике предполагается, что множество Т истинностных значений распределено. Приближенные рассуждения 467 равномерно по замкнутому интервалу О, Ц i Т дляО<г'<Х N — 1 В качестве примера можно привести следующие определения ТО, Ц Тз = (О, ЦВ табл. 5.14 даны определения некоторых операций логики Лукашевича для N-значной логики, где N > 2. Как показано в задаче 5.13, эти операции при N = 2 сводятся к стандартным логическим операциям. Обратите внимание на то,
что операции минус ( — ), min и max являются такими же, как в нечеткой логике. Таблица 5.14. Примитивные N-значные логические операции Лукашевича Операция Определение
Безусловно, Аристотель впервые сформулировал силлогистические правила вывода и закон исключенного третьего, но он признавал, что высказывания, касающиеся будущих событий, фактически нельзя считать ни истинными, ни ложными до тех пор, пока не произошли сами события. В
дальнейшем был сформулирован целый ряд различных логических теорий, которые были основаны на множественных значениях истинности в их число входят теории Лукашевича
(Lukasiewicz), Бочвара (Bochvar), Клина (Kleene), Хейтинга
(Heyting) и Рейхенбаха (Reichenbach). Широко применяются такие логические теории, которые основаны на трех значениях истинности, представляющих истину (TRUE), ложь (FALSE) и неизвестное (UNKNOWN). Такая трехзначная логика обычно представляет три истинностных значения, соответственно, FALSE и UNKNOWN, или 1, 0 и 1/2. Кроме того,
разработаны некоторые обобщенные логики с N истинностными значениями, где N — произвольное целое число, большее или равное двум. Впервые N-значную логику разработал Лукашевич в х годах. В N-значной логике предполагается, что множество Т истинностных значений распределено. Приближенные рассуждения 467 равномерно по замкнутому интервалу О, Ц i Т дляО<г'<Х N — 1 В качестве примера можно привести следующие определения ТО, Ц Тз = (О, ЦВ табл. 5.14 даны определения некоторых операций логики Лукашевича для N-значной логики, где N > 2. Как показано в задаче 5.13, эти операции при N = 2 сводятся к стандартным логическим операциям. Обратите внимание на то,
что операции минус ( — ), min и max являются такими же, как в нечеткой логике. Таблица 5.14. Примитивные N-значные логические операции Лукашевича Операция Определение
операции х' 1 — х пип(х, у) max(x, ух) хЛу Обозначение каждой N-значной логики Лукашевича, или Х- логики, записывается как I, где N — количество истинностных значений. Таким образом, Lp — это классическая двухзначная логика, которая является одним из предельных проявлений логики Лукашевича, а другим предельным проявлением является N = oo, где L определяет бесконечнозначную логику с истинностными значениями в множестве Т. Множество Т
определено на рациональных числах, а альтернативная бесконечнозначная логика может быть определена на континууме, который представляет собой множество всех вещественных чисел. Термин "бесконечнозначная логика"
обычно применяется к этой альтернативной логике, в которой истинностными значениями являются вещественные числа в интервале О, Ц эта логика носит название Lq. Но логику Lq не следует путать с унарной логикой, в которой N = 1. Унарная логика — это вообще не логика Лукашевича, поскольку Х-логики определены только для N > 2. Цифра 1 в обозначении фактически является сокращением для И (читается "алеф 1"),
кардинальности вещественных чисел. Число 8 является не конечным, а трансфинитным числом. Эта теория была впервые разработана Кантором (Cantor) как способ проведения вычислений с бесконечными числами. Вместо одного бесконечного числа Кантор определил различные порядки бесконечности. Например, наименьшим трансфинитным числом является Hp, которое представляет собой кардинальность натуральных чисел. Число И соответствует бесконечности более высокого порядка, чем Hp, поскольку каждому Глава 5. Нестрогие рассуждения натуральному числу соответствует бесконечно большое количество вещественных чисел. Нечеткая логика может рассматриваться как расширение многозначной логики. Но назначение и область применения нечеткой логики являются другими, поскольку нечеткая логика это логика приближенных рассуждений, а неточных многозначных рассуждений. По существу, приближенные, или нечеткие, рассуждения представляют собой способ логического вывода заключений, которые могут оказаться неточными, из множества посылок, которые также могут быть неточными. Люди очень хорошо знакомы с приближенными рассуждениями,
поскольку таковые представляют собой наиболее распространенный тип рассуждений, осуществляемый в реальном мире, и служат основой для многих эвристических правил. Ниже приведены некоторые примеры эвристических правил, применяемых в приближенных рассуждениях. IF
стереозапись звучит слишком тихо THEN немного увеличьте громкость звука IF стереозапись звучит так громко, что в стену стучат соседи THEN увеличьте громкость звука еще больше ?Р
автомобильное движение становится более интенсивным автомобили, движущиеся водном направлении, начинают чаще переходить с одной полосы на другую IF вы слишком растолстели, потому что часто едите банановые сплиты, торты,
мороженые и пирожные THEN сократите потребление бананов Входе проведения приближенных рассуждений приходится иметь дело с такими рассуждениями, которые не являются ниточными, ни полностью неточными (такими как чистая догадка).
Приближенные рассуждения наиболее тесно связаны с рассуждениями, касающимися предложений естественного языка и логических выводов, которые следуют из этих предложений. Нечеткая логика также относится к приближенным рассуждениям, как двухзначная логика относится к точным рассуждениям. Как описано в главе 3, примерами применения точных, или строгих, рассуждений являются дедукция и доказательство теорем. Существует возможность создания многих разновидностей теорий нечетких множеств,
нечеткой логики и приближенных рассуждений. В настоящей главе в дальнейшем будет рассматриваться только разновидность нечеткой логики, основанная на теории приближенных рассуждений Задев которой используется нечеткая логика сосновой в виде логики Lq Лукашевича. В этой нечеткой логи
5.5. Приближенные рассуждения 469 ке истинностными значениями являются лингвистические переменные, которые в конечном итоге представлены с помощью нечетких множеств. В
табл. 5.15 даны определения операций нечеткой логики,
которые основаны на операциях логики Лукашевича,
приведенных в табл. 5.14. В табл. 5.15 принято обозначение х(А)
как числового истинностного значения в интервале О, представляющего истинность высказываниях есть А, которое может интерпретироваться как степень принадлежности рА(х).
Таблица 5.15. Некоторые операции нечеткой логики Операция
Определение 1 Определение 2 В качестве примера применения операций нечеткой логики предположим, что имеется нечеткое множество TRUE, определенное следующим образом TRUE =
.1/.1+ .3/.5+ 1/.8 Использование операций из табл. позволяет получить следующее FALSE = 1 — TRUE = (1 —
.1)/.1+ (1 — .3)/.5+ (1 — 1)/.8 = .9/.1 + .7/.5 А применяя операцию для постановки барьера Very (Очень, получаем такие выражения Very TRUE = .01/.1+ .09/.5+ 1/.8 Very FALSE = .81/.1 +
.49/.5 Нечеткие правила В качестве простого примера использования операций с нечеткими множествами рассмотрим задачу распознавания образов. Образами могут считаться такие объекты, исследуемые в целях проверки качества, как изготовленные детали или свежесобранные фрукты [44]. К числу других важных задач распознавания образов относятся диагностика по медицинским снимкам, анализ сейсмических данных, полученных при проведении разведки запасов минерального сырья и нефти, а также распознавание лиц. х(А' )
x(NOT А) х(А) Л х(В) х(А AND В) х(А) v х(В) х(А OR В) х(А) - x(B)
х(А В) 1 — рА(х) mm(pQ (х, pg3 (>)) мах(р, (x),,ид (x) ) х- А В) = п1ьх[(1 —,ид(х)), д(х)]
470 Глава 5. Нестрогие рассуждения В табл. 5.16 приведены некоторые гипотетические данные, представляющие степень
определено на рациональных числах, а альтернативная бесконечнозначная логика может быть определена на континууме, который представляет собой множество всех вещественных чисел. Термин "бесконечнозначная логика"
обычно применяется к этой альтернативной логике, в которой истинностными значениями являются вещественные числа в интервале О, Ц эта логика носит название Lq. Но логику Lq не следует путать с унарной логикой, в которой N = 1. Унарная логика — это вообще не логика Лукашевича, поскольку Х-логики определены только для N > 2. Цифра 1 в обозначении фактически является сокращением для И (читается "алеф 1"),
кардинальности вещественных чисел. Число 8 является не конечным, а трансфинитным числом. Эта теория была впервые разработана Кантором (Cantor) как способ проведения вычислений с бесконечными числами. Вместо одного бесконечного числа Кантор определил различные порядки бесконечности. Например, наименьшим трансфинитным числом является Hp, которое представляет собой кардинальность натуральных чисел. Число И соответствует бесконечности более высокого порядка, чем Hp, поскольку каждому Глава 5. Нестрогие рассуждения натуральному числу соответствует бесконечно большое количество вещественных чисел. Нечеткая логика может рассматриваться как расширение многозначной логики. Но назначение и область применения нечеткой логики являются другими, поскольку нечеткая логика это логика приближенных рассуждений, а неточных многозначных рассуждений. По существу, приближенные, или нечеткие, рассуждения представляют собой способ логического вывода заключений, которые могут оказаться неточными, из множества посылок, которые также могут быть неточными. Люди очень хорошо знакомы с приближенными рассуждениями,
поскольку таковые представляют собой наиболее распространенный тип рассуждений, осуществляемый в реальном мире, и служат основой для многих эвристических правил. Ниже приведены некоторые примеры эвристических правил, применяемых в приближенных рассуждениях. IF
стереозапись звучит слишком тихо THEN немного увеличьте громкость звука IF стереозапись звучит так громко, что в стену стучат соседи THEN увеличьте громкость звука еще больше ?Р
автомобильное движение становится более интенсивным автомобили, движущиеся водном направлении, начинают чаще переходить с одной полосы на другую IF вы слишком растолстели, потому что часто едите банановые сплиты, торты,
мороженые и пирожные THEN сократите потребление бананов Входе проведения приближенных рассуждений приходится иметь дело с такими рассуждениями, которые не являются ниточными, ни полностью неточными (такими как чистая догадка).
Приближенные рассуждения наиболее тесно связаны с рассуждениями, касающимися предложений естественного языка и логических выводов, которые следуют из этих предложений. Нечеткая логика также относится к приближенным рассуждениям, как двухзначная логика относится к точным рассуждениям. Как описано в главе 3, примерами применения точных, или строгих, рассуждений являются дедукция и доказательство теорем. Существует возможность создания многих разновидностей теорий нечетких множеств,
нечеткой логики и приближенных рассуждений. В настоящей главе в дальнейшем будет рассматриваться только разновидность нечеткой логики, основанная на теории приближенных рассуждений Задев которой используется нечеткая логика сосновой в виде логики Lq Лукашевича. В этой нечеткой логи
5.5. Приближенные рассуждения 469 ке истинностными значениями являются лингвистические переменные, которые в конечном итоге представлены с помощью нечетких множеств. В
табл. 5.15 даны определения операций нечеткой логики,
которые основаны на операциях логики Лукашевича,
приведенных в табл. 5.14. В табл. 5.15 принято обозначение х(А)
как числового истинностного значения в интервале О, представляющего истинность высказываниях есть А, которое может интерпретироваться как степень принадлежности рА(х).
Таблица 5.15. Некоторые операции нечеткой логики Операция
Определение 1 Определение 2 В качестве примера применения операций нечеткой логики предположим, что имеется нечеткое множество TRUE, определенное следующим образом TRUE =
.1/.1+ .3/.5+ 1/.8 Использование операций из табл. позволяет получить следующее FALSE = 1 — TRUE = (1 —
.1)/.1+ (1 — .3)/.5+ (1 — 1)/.8 = .9/.1 + .7/.5 А применяя операцию для постановки барьера Very (Очень, получаем такие выражения Very TRUE = .01/.1+ .09/.5+ 1/.8 Very FALSE = .81/.1 +
.49/.5 Нечеткие правила В качестве простого примера использования операций с нечеткими множествами рассмотрим задачу распознавания образов. Образами могут считаться такие объекты, исследуемые в целях проверки качества, как изготовленные детали или свежесобранные фрукты [44]. К числу других важных задач распознавания образов относятся диагностика по медицинским снимкам, анализ сейсмических данных, полученных при проведении разведки запасов минерального сырья и нефти, а также распознавание лиц. х(А' )
x(NOT А) х(А) Л х(В) х(А AND В) х(А) v х(В) х(А OR В) х(А) - x(B)
х(А В) 1 — рА(х) mm(pQ (х, pg3 (>)) мах(р, (x),,ид (x) ) х- А В) = п1ьх[(1 —,ид(х)), д(х)]
470 Глава 5. Нестрогие рассуждения В табл. 5.16 приведены некоторые гипотетические данные, представляющие степень
принадлежности к нечетким множествам ракеты, истребителя и авиалайнера, которые представлены на некоторых изображениях. Эти изображения могут быть получены от систем дальнего действия, а трактовка данных изображений связана с неопределенностью, касающейся движения и ориентации объекта, обусловленной наличием шума, и т.д. Таблица Данные о степени принадлежности для изображений Степень принадлежности Изображение Ракета Истребитель Авиалайнер
Объединение нечетких множеств, относящихся к каждому изображению, может служить мерилом общей неопределенности в идентификации объекта. На рис. показаны объединения нечетких множеств для десяти изображений объектов, приведенных в табл. 5.16. Безусловно, в реальной ситуации обнаруживаются многие другие возможные изображения, отличные от этих десяти, в зависимости от разрешающей способности системы и расстояния до объекта.
Неопределенность вносят не только аппаратные средства системы, но и примитивные нечеткие множества, относящиеся к ракете, истребителю и авиалайнеру, поскольку данные о степенях принадлежности назначаются субъективно, на основе знаний о физических конфигурациях типичной ракеты,
истребителя и авиалайнера. В реальной ситуации может обнаруживаться много типов для каждого из таких примитивных множеств, в зависимости от различных рассматриваемых типов объектов в воздушном пространстве. Объединения нечетких множеств, показанные на рис. 5.17, могут рассматриваться как способы представления примерно таких правил, в которых Е—
наблюдаемое изображение, а Н — объединение нечетких множеств IF Е THEN Н 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1.0 0.9 0.4 0.2 0.1 0.1 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.3 0.3 0.2 0.6 0.7 0.0 0.8 1.0 0.0 0.1 0.2 0.5 0.7 0.4 0.2 1.0 0.2 0.0 5.5. Приближенные рассуждения 471 Рис. 5.17. Нечеткие множества, применяемые для распознавания объектов в воздушном пространстве Например, может быть дано
Объединение нечетких множеств, относящихся к каждому изображению, может служить мерилом общей неопределенности в идентификации объекта. На рис. показаны объединения нечетких множеств для десяти изображений объектов, приведенных в табл. 5.16. Безусловно, в реальной ситуации обнаруживаются многие другие возможные изображения, отличные от этих десяти, в зависимости от разрешающей способности системы и расстояния до объекта.
Неопределенность вносят не только аппаратные средства системы, но и примитивные нечеткие множества, относящиеся к ракете, истребителю и авиалайнеру, поскольку данные о степенях принадлежности назначаются субъективно, на основе знаний о физических конфигурациях типичной ракеты,
истребителя и авиалайнера. В реальной ситуации может обнаруживаться много типов для каждого из таких примитивных множеств, в зависимости от различных рассматриваемых типов объектов в воздушном пространстве. Объединения нечетких множеств, показанные на рис. 5.17, могут рассматриваться как способы представления примерно таких правил, в которых Е—
наблюдаемое изображение, а Н — объединение нечетких множеств IF Е THEN Н 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1.0 0.9 0.4 0.2 0.1 0.1 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.3 0.3 0.2 0.6 0.7 0.0 0.8 1.0 0.0 0.1 0.2 0.5 0.7 0.4 0.2 1.0 0.2 0.0 5.5. Приближенные рассуждения 471 Рис. 5.17. Нечеткие множества, применяемые для распознавания объектов в воздушном пространстве Например, может быть дано
следующее правило, в котором выражение в круглых скобках представляет собой объединение нечетких множеств,
соответствующих объекту IF IMAGE4 THEN TARGET (МА) Еще один вариант состоит в том, что правило может быть выражено таким образом IF IMAGE4 THEN TARGET4 В этом выражении используется такое обозначение TARGET4 = МА Предположим, что имеется дополнительное время для получения данных еще одного наблюдения за объектом и наблюдается изображение IMAGE6. Такое предположение соответствует следующему правилу IF IMAGE6 THEN В этом правиле применяется обозначение TARGET6 = МА Глава 5. Нестрогие рассуждения Общее количество элементов, для которых получены результаты измерения,
относящиеся к объекту, определяется с помощью следующей формулы, в которой знак + обозначает объединение множеств = TARGET4+ TARGET6 Таким образом, получаем следующее определение нечеткого множества TARGET, в котором сохранены только максимальные значения степени принадлежности для каждого элемента TARGET = МАМАМ+ А IF E THEN
H ПЕ П" Еу THEN Н Таким образом, справедлива следующая формула pH = пах(рн„рн„рн„) Обратите внимание на то, что этот теоретический результат отличается от результатов. полученных на основании теории коэффициентов достоверности и теории Демпстера — Шефера. Значение ру гипотезы Н называется истинностным значением гипотезы Н.
Кроме того, является вполне приемлемым (за исключением политической логики) такое допущение, что истинностное значение гипотезы не может быть больше истинностного значения свидетельств. В терминах правил это предположение
Если в качестве наиболее вероятного объекта рассматривается элемент с максимальной степенью принадлежности, то, скорее всего, объект представляет собой истребитель, поскольку
@Egg),... ппп(рЕу„рЕ,)' Приведенное выше уравнение для гипотезы Н представляет собой правило композиции max-min операций логического вывода, применяемого в нечеткой логике.
В простейшем случае, как в следующих примерах, имеются по два элемента свидетельств в расчете на каждое правило:
Глава 5. Нестрогие рассуждения 474 Аналогичные расширения могут быть предусмотрены для дополнительных свидетельств ЕЕ и т.д. В качестве еще одного примера применения правила композиции операций логического вывода рассмотрим, как оно используется к отношениям. Определим нечеткое отношение
В(х, y) = APPROXIMATELY EQUAL (Приблизительно равный) на бинарном отношении, в котором сравнивается масса тела людей в диапазоне от 120 до 160 фунтов (табл. 5.17). Таблица Отношение APPROXIMATELY EQUAL, применяемое для сравнения массы тела людей 160 120 140 150 130 0.4 0.6 1.0 0.8 0.5 0.2 0.5 0.8 1.0 0.8 0.0 0.2 0.5 0.8 1.0 1.0 0.7 0.4 0.2 0.0 0.7 1.0 0.6 0.5 0.2 120 130 140 150 160 При подготовке этой таблицы значения степеней принадлежности были определены таким образом, чтобы отклонение от среднего между двумя значениями соответствовало уменьшению на О, Например, если значениях и у равны 150 и 130, то среднее составляет 140. Абсолютное отклонение значений 150 и 130 от среднего составляет 10/140 = 7, 1%. Это значение умножается на постоянный коэффициент, равный — О, 075%, что приводит к получению значения — О, 5. Таким образом, окончательное значение степени принадлежности для 150 и 130 составляет 1
— О, 5 = О, 5, и таковым становится значение в элементе таблицы. Альтернативными более простым сточки зрения проведения вычислений было бы определение, в котором любое изменение, равное 10, рассматривалось бы как фиксированное уменьшение значение степени принадлежности, такое как О, Но это альтернативное определение не позволяет получать приемлемые результаты для таких малых значений массы тела,
как 10 и 20, которые соответствовали бы отношению
APPROXIMATELY EQUAL в степени О, 7. Обратите внимание на то, как действует отношение В(х, y) в качестве нечеткого ограничения на любые два значениях и у, которые имеют ненулевое значение степени принадлежности В(х, д. Нечеткое отношение действует подобно эластичному ограничению,
поскольку допускает использование ряда значений степеней принадлежности, ноне требует применения такого же жесткого ограничения, как в четких отношениях. В действительности терм EQUAL даже невозможно определить в логике, отличной от нечеткой. Жесткое ограничение, заданное в виде четких отношений, потребовало бы, чтобы значения. Приближенные рассуждения 475 были либо точно равны,
либо точно неравны. Иными словами, либо элемент х точно равен у, либо эти элементы неравны. В качестве примера нечеткого ограничения рассмотрим следующее высказывание р,
в котором F — некоторое нечеткое множество, действующее в качестве нечеткого ограничения на лингвистическую переменную Х p=XisF Ниже приведены некоторые примеры нечетких утверждений, заданных в указанной форме. John is tall
Sue is over 21 The concrete mix is too thick Target is friendly ха В последнем примере нечеткое множество могло бы быть определено следующим образом для указания на то, какого рода компоненты торта рассматриваются как фрукты FRUIT =
1/apples + 1/oranges В (x) = HEAVY = .6/140 + .8/150 + Правило композиции операций логического вывода определяет нечеткое ограничение назначения у в таком виде В3(Д) = Во В, д) В этом выражении операция композиции о представляет собой операцию maxmin: max ппп(,и(х), р2(х, у))
Еще один способ, позволяющий представить значение Вз(у),
состоит в том, что это значение можно рассматривать как решение следующих реляционных уравнений относительно
Вз(у): В (х) В 9) Обратите внимание на то, что теория нечетких множеств позволяет определить даже осмысленный
соответствующих объекту IF IMAGE4 THEN TARGET (МА) Еще один вариант состоит в том, что правило может быть выражено таким образом IF IMAGE4 THEN TARGET4 В этом выражении используется такое обозначение TARGET4 = МА Предположим, что имеется дополнительное время для получения данных еще одного наблюдения за объектом и наблюдается изображение IMAGE6. Такое предположение соответствует следующему правилу IF IMAGE6 THEN В этом правиле применяется обозначение TARGET6 = МА Глава 5. Нестрогие рассуждения Общее количество элементов, для которых получены результаты измерения,
относящиеся к объекту, определяется с помощью следующей формулы, в которой знак + обозначает объединение множеств = TARGET4+ TARGET6 Таким образом, получаем следующее определение нечеткого множества TARGET, в котором сохранены только максимальные значения степени принадлежности для каждого элемента TARGET = МАМАМ+ А IF E THEN
H ПЕ П" Еу THEN Н Таким образом, справедлива следующая формула pH = пах(рн„рн„рн„) Обратите внимание на то, что этот теоретический результат отличается от результатов. полученных на основании теории коэффициентов достоверности и теории Демпстера — Шефера. Значение ру гипотезы Н называется истинностным значением гипотезы Н.
Кроме того, является вполне приемлемым (за исключением политической логики) такое допущение, что истинностное значение гипотезы не может быть больше истинностного значения свидетельств. В терминах правил это предположение
Если в качестве наиболее вероятного объекта рассматривается элемент с максимальной степенью принадлежности, то, скорее всего, объект представляет собой истребитель, поскольку
именно истребитель имеет самое высокое значение степени принадлежности, равное 0.6. Но если бы степень принадлежности для авиалайнера также была равна 0.6, то все,
чего мы могли бы добиться, — это утверждать, что объект с равной вероятностью может быть истребителем или авиалайнером. Вообще говоря, если даны N наблюдений и правил, как в следующем множестве правил, где все частные гипотезы Н, опираются на некоторую общую гипотезу Н, то степень принадлежности для гипотезы Н определяется объединением гипотез. Приближенные рассуждения 473 соответствует тому, что истинность консеквента не может быть больше истинности его антецедентов. Таким образом, справедливо следующее соотношение, в котором каждое значение Е, может представлять собой некоторое нечеткое выражение, ппп(рЕ,),... min(p)] Например,
свидетельство Е может быть определено следующим образом,
а для вычисления этого выражения могут использоваться операции нечеткой логики Е — — Ед AND (Еу OR NOT Ес)
Поэтому справедливо следующее выражение р ЕЕ) Такое комбинированное значение степени принадлежности антецедента называется истинностным значением антецедента. Это значение аналогично частичным свидетельствам, определяемым антецедентами, в правилах системы PROSPECTOR. И действительно, напомним, что свидетельства в антецедентах системы комбинировались с использованием нечеткой логики на произвольной основе. А теперь мы можем убедиться в том, что применение такого способа комбинирования обосновано правилом композиции операции логического вывода теории нечетких множеств. Композиция max-min ЦЕПЕ Еу, AND Е, THEN Н поэтому правило композиции max-min операций логического вывода принимает такой вид рц = max[min(@Egg, рЕ), min(@Egg,
чего мы могли бы добиться, — это утверждать, что объект с равной вероятностью может быть истребителем или авиалайнером. Вообще говоря, если даны N наблюдений и правил, как в следующем множестве правил, где все частные гипотезы Н, опираются на некоторую общую гипотезу Н, то степень принадлежности для гипотезы Н определяется объединением гипотез. Приближенные рассуждения 473 соответствует тому, что истинность консеквента не может быть больше истинности его антецедентов. Таким образом, справедливо следующее соотношение, в котором каждое значение Е, может представлять собой некоторое нечеткое выражение, ппп(рЕ,),... min(p)] Например,
свидетельство Е может быть определено следующим образом,
а для вычисления этого выражения могут использоваться операции нечеткой логики Е — — Ед AND (Еу OR NOT Ес)
Поэтому справедливо следующее выражение р ЕЕ) Такое комбинированное значение степени принадлежности антецедента называется истинностным значением антецедента. Это значение аналогично частичным свидетельствам, определяемым антецедентами, в правилах системы PROSPECTOR. И действительно, напомним, что свидетельства в антецедентах системы комбинировались с использованием нечеткой логики на произвольной основе. А теперь мы можем убедиться в том, что применение такого способа комбинирования обосновано правилом композиции операции логического вывода теории нечетких множеств. Композиция max-min ЦЕПЕ Еу, AND Е, THEN Н поэтому правило композиции max-min операций логического вывода принимает такой вид рц = max[min(@Egg, рЕ), min(@Egg,
@Egg),... ппп(рЕу„рЕ,)' Приведенное выше уравнение для гипотезы Н представляет собой правило композиции max-min операций логического вывода, применяемого в нечеткой логике.
В простейшем случае, как в следующих примерах, имеются по два элемента свидетельств в расчете на каждое правило:
Глава 5. Нестрогие рассуждения 474 Аналогичные расширения могут быть предусмотрены для дополнительных свидетельств ЕЕ и т.д. В качестве еще одного примера применения правила композиции операций логического вывода рассмотрим, как оно используется к отношениям. Определим нечеткое отношение
В(х, y) = APPROXIMATELY EQUAL (Приблизительно равный) на бинарном отношении, в котором сравнивается масса тела людей в диапазоне от 120 до 160 фунтов (табл. 5.17). Таблица Отношение APPROXIMATELY EQUAL, применяемое для сравнения массы тела людей 160 120 140 150 130 0.4 0.6 1.0 0.8 0.5 0.2 0.5 0.8 1.0 0.8 0.0 0.2 0.5 0.8 1.0 1.0 0.7 0.4 0.2 0.0 0.7 1.0 0.6 0.5 0.2 120 130 140 150 160 При подготовке этой таблицы значения степеней принадлежности были определены таким образом, чтобы отклонение от среднего между двумя значениями соответствовало уменьшению на О, Например, если значениях и у равны 150 и 130, то среднее составляет 140. Абсолютное отклонение значений 150 и 130 от среднего составляет 10/140 = 7, 1%. Это значение умножается на постоянный коэффициент, равный — О, 075%, что приводит к получению значения — О, 5. Таким образом, окончательное значение степени принадлежности для 150 и 130 составляет 1
— О, 5 = О, 5, и таковым становится значение в элементе таблицы. Альтернативными более простым сточки зрения проведения вычислений было бы определение, в котором любое изменение, равное 10, рассматривалось бы как фиксированное уменьшение значение степени принадлежности, такое как О, Но это альтернативное определение не позволяет получать приемлемые результаты для таких малых значений массы тела,
как 10 и 20, которые соответствовали бы отношению
APPROXIMATELY EQUAL в степени О, 7. Обратите внимание на то, как действует отношение В(х, y) в качестве нечеткого ограничения на любые два значениях и у, которые имеют ненулевое значение степени принадлежности В(х, д. Нечеткое отношение действует подобно эластичному ограничению,
поскольку допускает использование ряда значений степеней принадлежности, ноне требует применения такого же жесткого ограничения, как в четких отношениях. В действительности терм EQUAL даже невозможно определить в логике, отличной от нечеткой. Жесткое ограничение, заданное в виде четких отношений, потребовало бы, чтобы значения. Приближенные рассуждения 475 были либо точно равны,
либо точно неравны. Иными словами, либо элемент х точно равен у, либо эти элементы неравны. В качестве примера нечеткого ограничения рассмотрим следующее высказывание р,
в котором F — некоторое нечеткое множество, действующее в качестве нечеткого ограничения на лингвистическую переменную Х p=XisF Ниже приведены некоторые примеры нечетких утверждений, заданных в указанной форме. John is tall
Sue is over 21 The concrete mix is too thick Target is friendly ха В последнем примере нечеткое множество могло бы быть определено следующим образом для указания на то, какого рода компоненты торта рассматриваются как фрукты FRUIT =
1/apples + 1/oranges В (x) = HEAVY = .6/140 + .8/150 + Правило композиции операций логического вывода определяет нечеткое ограничение назначения у в таком виде В3(Д) = Во В, д) В этом выражении операция композиции о представляет собой операцию maxmin: max ппп(,и(х), р2(х, у))
Еще один способ, позволяющий представить значение Вз(у),
состоит в том, что это значение можно рассматривать как решение следующих реляционных уравнений относительно
Вз(у): В (х) В 9) Обратите внимание на то, что теория нечетких множеств позволяет определить даже осмысленный
способ описания фруктового торта, состоящего из яблоки апельсин. Теперь определим нечеткое ограничение В(х).
Например, нечеткое множество HEAVY может быть определено следующим образом:
Глава 5. Нестрогие рассуждения 476 R3(y) = R(x) о R2(x, y) 1.0 0.7 0.4 0.2 0.0 0.7 1.0 0.6 0.5 0.2 з(у) = [0.0 0.0 0.6 О 8 1.0] о 0.4 0.6 1.0 0.8 0.5 0.2 0.5 0.8 1.0 0.8 0.0 0.2 0.5 0.8 1.0 В этом выражении отношение В1(х) представлено как вектор строк.
Ненулевые элементы отношения В3(у), отличные от нуля,
вычисляются таким образом R3(120) = maxmin[(.6, .4), (.8,.2)] =
max(.4,.2) = .4 В) = maxmin[(.6,.6), (.8,.5), (1,.2)] =
max(.6,.5,.2) = .6 Вз(140) = maxmin[(.6, 1), (.8,.8), (1,.5)] =
max(.6,.8,.5) = .8 R3(150) = maxmin[(.6,.8), (.8, 1), (1,.8)] =
max(.6,.8,.8) = .8 В) = maxmin[(.6,.5), (.8,.8), (1, 1)] =
max(.5,.8, 1) = 1 Поэтому если отношение Rq(x) представляет собой отношение HEAVY (Имеющий большую массу тела, то становится справедливым следующее соотношение Вз(у) =
.4/120+ .6/130+ .8/140+ .8/150+ 1/160 Это отношение имеет такую грубую лингвистическую аппроксимацию В3(у)— MORE OR
LESS HEAVY (Имеет более или менее значительную массу тела. Отношение В3(у) представляет собой грубую лингвистическую аппроксимацию, поскольку операция DIL со значением ро, действующая на отношение HEAVY. фактически приводит к получению следующего значения, а термы,
соответствующие значениям массы тела 120 и 130 фунтов,
отсутствуют: DIL(HEAVY) = .8/140 + .9/150 + 1/160 Но элементы с большими значениями степеней принадлежности, которые соответствуют условию р > .8, представлены хорошо, и поэтому утверждение, что Это означает, что если дано нечеткое ограничение, распространяющееся назначение хи нечеткое ограничение на хи у, то можно определить значение нечеткого ограничения на у дедуктивным методом. Дедукции, подобные этой, могут осуществляться в рамках исчисления нечетких ограничений, которое является основой приближенных
Например, нечеткое множество HEAVY может быть определено следующим образом:
Глава 5. Нестрогие рассуждения 476 R3(y) = R(x) о R2(x, y) 1.0 0.7 0.4 0.2 0.0 0.7 1.0 0.6 0.5 0.2 з(у) = [0.0 0.0 0.6 О 8 1.0] о 0.4 0.6 1.0 0.8 0.5 0.2 0.5 0.8 1.0 0.8 0.0 0.2 0.5 0.8 1.0 В этом выражении отношение В1(х) представлено как вектор строк.
Ненулевые элементы отношения В3(у), отличные от нуля,
вычисляются таким образом R3(120) = maxmin[(.6, .4), (.8,.2)] =
max(.4,.2) = .4 В) = maxmin[(.6,.6), (.8,.5), (1,.2)] =
max(.6,.5,.2) = .6 Вз(140) = maxmin[(.6, 1), (.8,.8), (1,.5)] =
max(.6,.8,.5) = .8 R3(150) = maxmin[(.6,.8), (.8, 1), (1,.8)] =
max(.6,.8,.8) = .8 В) = maxmin[(.6,.5), (.8,.8), (1, 1)] =
max(.5,.8, 1) = 1 Поэтому если отношение Rq(x) представляет собой отношение HEAVY (Имеющий большую массу тела, то становится справедливым следующее соотношение Вз(у) =
.4/120+ .6/130+ .8/140+ .8/150+ 1/160 Это отношение имеет такую грубую лингвистическую аппроксимацию В3(у)— MORE OR
LESS HEAVY (Имеет более или менее значительную массу тела. Отношение В3(у) представляет собой грубую лингвистическую аппроксимацию, поскольку операция DIL со значением ро, действующая на отношение HEAVY. фактически приводит к получению следующего значения, а термы,
соответствующие значениям массы тела 120 и 130 фунтов,
отсутствуют: DIL(HEAVY) = .8/140 + .9/150 + 1/160 Но элементы с большими значениями степеней принадлежности, которые соответствуют условию р > .8, представлены хорошо, и поэтому утверждение, что Это означает, что если дано нечеткое ограничение, распространяющееся назначение хи нечеткое ограничение на хи у, то можно определить значение нечеткого ограничения на у дедуктивным методом. Дедукции, подобные этой, могут осуществляться в рамках исчисления нечетких ограничений, которое является основой приближенных
рассуждений. Использование данных определений позволяет вычислить значение R3(y) следующим образом. Приближенные рассуждения 477 MORE OR LESS HEAVY грубая аппроксимация, вполне оправдывается. Иными словами, композиционный логический вывод с помощью операций max и min показал, что является действительным следующее нечеткое лингвистическое отношение о APPROXIMATELY EQUAL Метод максимума и метод моментов Метод, в котором для определения истинности консеквентов правила осуществляется выбор элемента с максимальной степенью принадлежности,
называется методом максимума. В альтернативном методе,
который называется методом моментов, значения истинности консеквентам правил присваиваются с применением способа,
аналогичного способу вычисления первого момента инерции материального объекта в физике. Основная идея метода моментов состоит в том, что в нем рассматриваются консеквенты всех правил, применяемых для принятия решения,
а не лишь один максимальный элемент. Как уже упоминалось ранее, даже метод максимума может привести к неоднозначности, если консеквенты нескольких правил имеют одно и тоже максимальное значение. В качестве простого примера применения метода моментов вначале рассмотрим следующее множество нечетких продукционных правил изготовления бетона Л . IF MIX IS ТОО WET THEN ADD SAND
AND COARSE AGGREGATE Rg . П. MIX IS WORKABLE THEN
LEAVE ALONE Вз . IF MIX IS ТОО STIFF THEN DECREASE SAND
AND COARSE AGGREGATE Бетон состоит из цемента, воды,
песка и крупного заполнителя, такого как гравий. Все эти компоненты смешиваются в нужных пропорциях. Пробное ко-
Следует отметить, что эти отношения зависят от определений нечетких множеств и от толкования лингвистических меток,
присвоенных множествам. Это означает, что приведенное выше отношение не является истинным в абсолютном смысле
называется методом максимума. В альтернативном методе,
который называется методом моментов, значения истинности консеквентам правил присваиваются с применением способа,
аналогичного способу вычисления первого момента инерции материального объекта в физике. Основная идея метода моментов состоит в том, что в нем рассматриваются консеквенты всех правил, применяемых для принятия решения,
а не лишь один максимальный элемент. Как уже упоминалось ранее, даже метод максимума может привести к неоднозначности, если консеквенты нескольких правил имеют одно и тоже максимальное значение. В качестве простого примера применения метода моментов вначале рассмотрим следующее множество нечетких продукционных правил изготовления бетона Л . IF MIX IS ТОО WET THEN ADD SAND
AND COARSE AGGREGATE Rg . П. MIX IS WORKABLE THEN
LEAVE ALONE Вз . IF MIX IS ТОО STIFF THEN DECREASE SAND
AND COARSE AGGREGATE Бетон состоит из цемента, воды,
песка и крупного заполнителя, такого как гравий. Все эти компоненты смешиваются в нужных пропорциях. Пробное ко-
Следует отметить, что эти отношения зависят от определений нечетких множеств и от толкования лингвистических меток,
присвоенных множествам. Это означает, что приведенное выше отношение не является истинным в абсолютном смысле
поскольку зависит от определений нечетких множеств,
отношений и меток. Но после того как приняты эти основные определения, теория нечетких множеств предоставляет механизм для манипулирования этими выражениями с помощью формального и единообразного способа. Это очень важно,
поскольку таким образом лингвистические манипуляции и толкования смысла ложатся на надежный теоретический фундамент и больше не зависят от произвольных или интуитивных представлений какого-то отдельного человека 478 Глава 5. Нестрогие рассуждения Рис. 5.18. Антецеденты нечетких продукционных правил, применяемых в управлении процессом изготовления бетонной смеси Нечеткие множества,
используемые для определения консеквентов нечетких правил,
показаны на рис. 5.19. Как ив случае антецедентов,
обнаруживаются пересечения множеств, соответствующих действиям нечетких консеквентов, с помощью которых создаются замесы, применимые на практике. Следует отметить,
личество бетонной смеси, которое изготавливается для определения пропорций, оптимальных сточки зрения намеченного назначения бетонной смеси, называется замесом.
Разработаны общие рекомендации по определению пропорций в смеси с учетом требуемой прочности застывшего бетона. Нона практике наблюдается изменчивость результирующих характеристик из-за особенностей используемых местных материалов, отклонений в размерах частей крупного заполнителя, условий окружающей среды и других факторов.
Поэтому рекомендуется проводить испытание путем изготовления замеса, прежде чем приступать к строительству здания стоимостью 10 миллионов долларов. Одним из распространенных методов определения того, является ли замес составленным правильно, те. практически применимым,
является проверка на растекание. Пробная порция бетона помещается в конусообразную форму, после чего эта форма удаляется. Площадь, на которой растекается замес после
480 Глава 5. Нестрогие рассуждения Теперь предположим, что диаметр растекания равен 4,8 дюйма. Согласно данным,
приведенным на рис. 5.18, получаем следующее ртоо syiFF(4.8)
= 05 @WORKABLE(4 8) = .2 ртоо вЕт(4.8) = 0 рВЕСЮМЕ SAyp
ЛМВ COARSE ЛааИЖЛТЕ = max[min(@ZOO SZ>FF (4.8)] = .05
рылч= ломЕ = гпах[ппп(ржокклвы(4.8)] = .2 Вполне очевидно,
что в случае использования термов с одним антецедентом функции max и min не требуются. Таким образом, на данном этапе обнаружены два правила с ненулевыми консеквентами,
поэтому необходимо выбрать одно из управляющих воздействий. В методе максимума предусматривается просто выбор правила с максимальной степенью принадлежности. В
данном случае выбирается действие LEAVE ALONE, поскольку для него степень равна 0.2, в отличие от значения соответствующего другому правилу. С другой стороны, в методе моментов по существу определяется центр масс правил с нечеткими консеквентами. Термин "центр масс" взят из физики.
Центром масс в физике называется такая точка, что если бы в ней была сосредоточена Правила Ли имеют антецеденты,
выполняемые частично. Эта ситуация аналогична частичному выполнению свидетельств в антецедентах вероятностных правил системы PROSPECTOR. С гипотезами, согласно которым замес является слишком густым (ТОО STIFF) или практически применимым (WORKABLE), связаны некоторые ненулевые истинностные значения, поэтому происходит активизация и запуск обоих правил, Ли Л. Следует отметить,
что в системе, основанной на использовании нечетких продукционных правил, запускается каждое правило с ненулевым истинностным значением антецедента, если не установлена пороговая величина истинностного значения антецедента. Установка пороговой величины может потребоваться для предотвращения неэффективных действий,
связанных стем, что становятся активизированными и запускаются слишком многие правила с низкими истинностными значениями. Напомним, что в системе MYCIN в целях повышения эффективности работы экспертной системы предусмотрено, что минимальный уровень достоверности
отношений и меток. Но после того как приняты эти основные определения, теория нечетких множеств предоставляет механизм для манипулирования этими выражениями с помощью формального и единообразного способа. Это очень важно,
поскольку таким образом лингвистические манипуляции и толкования смысла ложатся на надежный теоретический фундамент и больше не зависят от произвольных или интуитивных представлений какого-то отдельного человека 478 Глава 5. Нестрогие рассуждения Рис. 5.18. Антецеденты нечетких продукционных правил, применяемых в управлении процессом изготовления бетонной смеси Нечеткие множества,
используемые для определения консеквентов нечетких правил,
показаны на рис. 5.19. Как ив случае антецедентов,
обнаруживаются пересечения множеств, соответствующих действиям нечетких консеквентов, с помощью которых создаются замесы, применимые на практике. Следует отметить,
личество бетонной смеси, которое изготавливается для определения пропорций, оптимальных сточки зрения намеченного назначения бетонной смеси, называется замесом.
Разработаны общие рекомендации по определению пропорций в смеси с учетом требуемой прочности застывшего бетона. Нона практике наблюдается изменчивость результирующих характеристик из-за особенностей используемых местных материалов, отклонений в размерах частей крупного заполнителя, условий окружающей среды и других факторов.
Поэтому рекомендуется проводить испытание путем изготовления замеса, прежде чем приступать к строительству здания стоимостью 10 миллионов долларов. Одним из распространенных методов определения того, является ли замес составленным правильно, те. практически применимым,
является проверка на растекание. Пробная порция бетона помещается в конусообразную форму, после чего эта форма удаляется. Площадь, на которой растекается замес после
удаления формы, позволяет судить о состоянии материала.
Бетон, предназначенный для изготовления обычных горизонтальных и вертикальных балок, должен иметь минимальный и максимальный диаметры растекания,
соответственно 4 и 8 дюймов. На рис. 5.18 показаны нечеткие множества, которые иллюстрируют возможные определения для антецедентов нечетких продукционных правил изготовления бетонных замесов. Такие нечеткие множества могут быть также определены с помощью таблицы или заданы в виде S- и Д- функций 5.5. Приближенные рассуждения 479 что пределы изменений,
равные — 20 и 20'4, для песка и крупного заполнителя определены произвольным образом. Как и антецеденты в нечетком множестве, эти консеквенты также могут быть определены с помощью S- и П-функций. Рис. 5.19. Консеквенты нечетких продукционных правил, применяемых в управлении процессом изготовления бетонной смеси В качестве примера применения этого множества нечетких продукционных правил рассмотрим вариант, в котором бетонный замес после растекания образовал круг диаметром 6 дюймов. Согласно рис, степень принадлежности, или истинностное значение антецедента для каждого правила, определяется следующим образом PTOO STIFF(6) = 0 PWORKABLE (6) PTOO WET(6) = Это означает, что единственным правилом, антецедент которого выполняется, является правило В. Это правило активизируется и запускается с получением нечеткого консеквента LEAVE
ALONE (Не вносить изменения. Применение правила композиции операций логического вывода приводит к получению такого результата pLEAVE ALONE = m@<[m>>(pWORKABLE(6)]
= пах[ппп(1)) = 1- Согласно данным, приведенным на рис. этот результат соответствует внесению изменений в долю песка и крупного заполнителя, равных Оо.
Бетон, предназначенный для изготовления обычных горизонтальных и вертикальных балок, должен иметь минимальный и максимальный диаметры растекания,
соответственно 4 и 8 дюймов. На рис. 5.18 показаны нечеткие множества, которые иллюстрируют возможные определения для антецедентов нечетких продукционных правил изготовления бетонных замесов. Такие нечеткие множества могут быть также определены с помощью таблицы или заданы в виде S- и Д- функций 5.5. Приближенные рассуждения 479 что пределы изменений,
равные — 20 и 20'4, для песка и крупного заполнителя определены произвольным образом. Как и антецеденты в нечетком множестве, эти консеквенты также могут быть определены с помощью S- и П-функций. Рис. 5.19. Консеквенты нечетких продукционных правил, применяемых в управлении процессом изготовления бетонной смеси В качестве примера применения этого множества нечетких продукционных правил рассмотрим вариант, в котором бетонный замес после растекания образовал круг диаметром 6 дюймов. Согласно рис, степень принадлежности, или истинностное значение антецедента для каждого правила, определяется следующим образом PTOO STIFF(6) = 0 PWORKABLE (6) PTOO WET(6) = Это означает, что единственным правилом, антецедент которого выполняется, является правило В. Это правило активизируется и запускается с получением нечеткого консеквента LEAVE
ALONE (Не вносить изменения. Применение правила композиции операций логического вывода приводит к получению такого результата pLEAVE ALONE = m@<[m>>(pWORKABLE(6)]
= пах[ппп(1)) = 1- Согласно данным, приведенным на рис. этот результат соответствует внесению изменений в долю песка и крупного заполнителя, равных Оо.
480 Глава 5. Нестрогие рассуждения Теперь предположим, что диаметр растекания равен 4,8 дюйма. Согласно данным,
приведенным на рис. 5.18, получаем следующее ртоо syiFF(4.8)
= 05 @WORKABLE(4 8) = .2 ртоо вЕт(4.8) = 0 рВЕСЮМЕ SAyp
ЛМВ COARSE ЛааИЖЛТЕ = max[min(@ZOO SZ>FF (4.8)] = .05
рылч= ломЕ = гпах[ппп(ржокклвы(4.8)] = .2 Вполне очевидно,
что в случае использования термов с одним антецедентом функции max и min не требуются. Таким образом, на данном этапе обнаружены два правила с ненулевыми консеквентами,
поэтому необходимо выбрать одно из управляющих воздействий. В методе максимума предусматривается просто выбор правила с максимальной степенью принадлежности. В
данном случае выбирается действие LEAVE ALONE, поскольку для него степень равна 0.2, в отличие от значения соответствующего другому правилу. С другой стороны, в методе моментов по существу определяется центр масс правил с нечеткими консеквентами. Термин "центр масс" взят из физики.
Центром масс в физике называется такая точка, что если бы в ней была сосредоточена Правила Ли имеют антецеденты,
выполняемые частично. Эта ситуация аналогична частичному выполнению свидетельств в антецедентах вероятностных правил системы PROSPECTOR. С гипотезами, согласно которым замес является слишком густым (ТОО STIFF) или практически применимым (WORKABLE), связаны некоторые ненулевые истинностные значения, поэтому происходит активизация и запуск обоих правил, Ли Л. Следует отметить,
что в системе, основанной на использовании нечетких продукционных правил, запускается каждое правило с ненулевым истинностным значением антецедента, если не установлена пороговая величина истинностного значения антецедента. Установка пороговой величины может потребоваться для предотвращения неэффективных действий,
связанных стем, что становятся активизированными и запускаются слишком многие правила с низкими истинностными значениями. Напомним, что в системе MYCIN в целях повышения эффективности работы экспертной системы предусмотрено, что минимальный уровень достоверности
правила, подлежащего запуску, должен быть больше Аналогичная пороговая величина может применяться к истинностным значениям антецедентов нечеткого множества.
Итак, если диаметр растекания равен 4,8 дюйма,
активизируются два правила. Применяя к правилам операцию композиции max-min, получаем следующее 5.5. Приближенные рассуждения 481 вся масса объекта, то полученная точечная масса вела бы себя под воздействием внешних сил также, как сам исходный объект. Для определения центра масс применяется следующая формула, называемая также определением первого момента инерции, I: J m(z)x d(z) ]
m(z) d(z) ответствующих им антецедентов. Рис. 5.20. Примеры применения метода максимума и метода моментов к нечетким правилам управления процессом изготовления бетона
Значения моментов для консеквентов вычисляются следующим образом и при использовании данных, приведенных на рис. составляют приблизительНо — 10. т(х)х d(z) ] т(х) d(z) для непрерывных элементов или для дискретных элементов
Безусловно, эти значения довольно близки к значению 0'Ъ,
полученному с помощью метода максимума, но подобные различия могут стать более существенными В этой формуле знак интеграла обозначает обычную операцию интегрирования.
На рис. 5.20 показаны нечеткие множества для двух правил, Ли Вз. Следует отметить, что значения степеней принадлежности нечетких множеств ограничиваются (усекаются) в зависимости от истинностных значений антецедентов правил, определяющих эти множества. Это соответствует правилу композиции операций логического вывода. Усечение выполняется в связи стем, что даже интуитивные соображения подтверждают необходимость соблюдения требования, чтобы истинностные значения консеквентов не превышали истинностные значения со
482 Глава 5. Нестрогие рассуждения Возможность и вероятность В теории нечетких множеств термин возможность имеет особый смысл. По существу, когда речь идет о возможности, подразумеваются допустимые значения.
Например, предположим, что определено следующее высказывание, касающееся результатов броска двух игральных костей в универсуме И событий получения суммы очков на этих костях р = Х — целое число в И И = (2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12) В
терминологии нечетких множеств для любого целого числа i справедливы следующие соотношения Poss(X =i j = 1 Poss(X = ij
= 0 для 2 < г < 12 в противном случае В этих формулах терм (Х = i j является сокращением для выражения "возможность того, что Х может принять значение Возможность того, что сумма очков на игральных костях составит значение от 2 до 12, весьма отличается от вероятности любого значения i. Иными словами, распределение возможностейэто не тоже самое, что распределение вероятностей. Распределение вероятностей выпадения определенной суммы на игральных костях характеризуется частотой ожидаемого появления случайной переменной Х,
которая обозначает сумму очков. Например, сумма очков,
равная 7, может появиться в результате сложения при использовании нечетких множеств, которые определены со значительной долей пересечения. Водном из контроллеров,
действующих на основе нечеткой логики, который предназначен для распознавания типов воздушных судов, были реализованы и метод максимума, и метод моментов. В частности, в этом контроллере метод максимума применялся для расчета арифметического среднего всех максимумов для нечетких консеквентов. Таким образом, даже при наличии нескольких элементов с одними тем же значением максимума все еще обеспечивалась возможность вычислить одно четкое управляющее значение. Для решения такой задачи перехода от нечеткого представления к четкому (defuzzification кроме метода максимума и метода моментов, применяются другие подходы, которые сводятся к преобразованию значения степени принадлежности в четкое управляющее значение, или к
Итак, если диаметр растекания равен 4,8 дюйма,
активизируются два правила. Применяя к правилам операцию композиции max-min, получаем следующее 5.5. Приближенные рассуждения 481 вся масса объекта, то полученная точечная масса вела бы себя под воздействием внешних сил также, как сам исходный объект. Для определения центра масс применяется следующая формула, называемая также определением первого момента инерции, I: J m(z)x d(z) ]
m(z) d(z) ответствующих им антецедентов. Рис. 5.20. Примеры применения метода максимума и метода моментов к нечетким правилам управления процессом изготовления бетона
Значения моментов для консеквентов вычисляются следующим образом и при использовании данных, приведенных на рис. составляют приблизительНо — 10. т(х)х d(z) ] т(х) d(z) для непрерывных элементов или для дискретных элементов
Безусловно, эти значения довольно близки к значению 0'Ъ,
полученному с помощью метода максимума, но подобные различия могут стать более существенными В этой формуле знак интеграла обозначает обычную операцию интегрирования.
На рис. 5.20 показаны нечеткие множества для двух правил, Ли Вз. Следует отметить, что значения степеней принадлежности нечетких множеств ограничиваются (усекаются) в зависимости от истинностных значений антецедентов правил, определяющих эти множества. Это соответствует правилу композиции операций логического вывода. Усечение выполняется в связи стем, что даже интуитивные соображения подтверждают необходимость соблюдения требования, чтобы истинностные значения консеквентов не превышали истинностные значения со
482 Глава 5. Нестрогие рассуждения Возможность и вероятность В теории нечетких множеств термин возможность имеет особый смысл. По существу, когда речь идет о возможности, подразумеваются допустимые значения.
Например, предположим, что определено следующее высказывание, касающееся результатов броска двух игральных костей в универсуме И событий получения суммы очков на этих костях р = Х — целое число в И И = (2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12) В
терминологии нечетких множеств для любого целого числа i справедливы следующие соотношения Poss(X =i j = 1 Poss(X = ij
= 0 для 2 < г < 12 в противном случае В этих формулах терм (Х = i j является сокращением для выражения "возможность того, что Х может принять значение Возможность того, что сумма очков на игральных костях составит значение от 2 до 12, весьма отличается от вероятности любого значения i. Иными словами, распределение возможностейэто не тоже самое, что распределение вероятностей. Распределение вероятностей выпадения определенной суммы на игральных костях характеризуется частотой ожидаемого появления случайной переменной Х,
которая обозначает сумму очков. Например, сумма очков,
равная 7, может появиться в результате сложения при использовании нечетких множеств, которые определены со значительной долей пересечения. Водном из контроллеров,
действующих на основе нечеткой логики, который предназначен для распознавания типов воздушных судов, были реализованы и метод максимума, и метод моментов. В частности, в этом контроллере метод максимума применялся для расчета арифметического среднего всех максимумов для нечетких консеквентов. Таким образом, даже при наличии нескольких элементов с одними тем же значением максимума все еще обеспечивалась возможность вычислить одно четкое управляющее значение. Для решения такой задачи перехода от нечеткого представления к четкому (defuzzification кроме метода максимума и метода моментов, применяются другие подходы, которые сводятся к преобразованию значения степени принадлежности в четкое управляющее значение, или к
осуществлению лингвистической аппроксимации описания управляющей переменной. Но задача описания множества значений (нечеткого множества) с помощью одного числа или одного словесного выражения (кроме тех случаев, когда ваш автомобиль кто-то резко подрезает вовремя движения)
является довольно сложной 5.5. Приближенные рассуждения 483 количества очков 1+ 6,
2+ 5 и 3+ 4. Поэтому вероятность выпадения суммы 7 равна 2 3 1 36 6 а вероятность выпадения суммы 2 является таковой В
отличие от этого, распределение возможностей представляет собой постоянное значение, равное 1, для правильных игральных костей применительно ко всем целым числам от 2 до. Принято применять такую формулировку, что из высказывания р логически следует распределение возможностей П. Таким образом, если дано нечеткое утверждение р, основанное на нечетком множестве F и лингвистической переменной Х, то имеет место следующее высказывание р=ХisF Если рассматриваемое высказывание выражено таким образом, его называют высказыванием в канонической форме под термином "канонический"
подразумевается "стандартный. Нечеткое множество F, в отличие от предикатов обычной логики, определяет нечеткий предикат. Множество F может также представлять собой нечеткое отношение. Распределение возможностей, логически выведенное на основании высказывания р, равно F и определяется с помощью следующего уравнения присваивания значения возможности Под этим подразумевается, что для всех значений х в универсуме И справедливо такое соотношение = х) = p(x) х 6 И Например, если дано следующее высказывание р = John is tall тона его основе можно определить лингвистическую переменную Height со значением. Следующая каноническая форма Х is F может быть представлена в терминах переменной Height следующим образом Height(John) is TALL
является довольно сложной 5.5. Приближенные рассуждения 483 количества очков 1+ 6,
2+ 5 и 3+ 4. Поэтому вероятность выпадения суммы 7 равна 2 3 1 36 6 а вероятность выпадения суммы 2 является таковой В
отличие от этого, распределение возможностей представляет собой постоянное значение, равное 1, для правильных игральных костей применительно ко всем целым числам от 2 до. Принято применять такую формулировку, что из высказывания р логически следует распределение возможностей П. Таким образом, если дано нечеткое утверждение р, основанное на нечетком множестве F и лингвистической переменной Х, то имеет место следующее высказывание р=ХisF Если рассматриваемое высказывание выражено таким образом, его называют высказыванием в канонической форме под термином "канонический"
подразумевается "стандартный. Нечеткое множество F, в отличие от предикатов обычной логики, определяет нечеткий предикат. Множество F может также представлять собой нечеткое отношение. Распределение возможностей, логически выведенное на основании высказывания р, равно F и определяется с помощью следующего уравнения присваивания значения возможности Под этим подразумевается, что для всех значений х в универсуме И справедливо такое соотношение = х) = p(x) х 6 И Например, если дано следующее высказывание р = John is tall тона его основе можно определить лингвистическую переменную Height со значением. Следующая каноническая форма Х is F может быть представлена в терминах переменной Height следующим образом Height(John) is TALL
Глава 5. Нестрогие рассуждения 484 а также с помощью формулы Роы{НецЫ(Уонип) = x) = руд..(х) Высказывание р может быть записано как распределение возможностей следующим образом Jo hn а а — П = TALL Height(John)
ROLL(1) = 1/3+ 1/4 Это множество определено как описание результата конкретного броска игральных костей, Roll 1, в котором на одной игральной кости выпало 3, а на другой — очка. В отличие от этого, следующее распределение возможностей означает, что бросок привел к получению количества очков 3 или 4, а само слово "или" в последнем выражении фактически равнозначно операции "исключительное
ИЛИ", представляющей неопределенность наших знаний о результатах броска П (1) Д+ 14 ROLL Существует единичная возможность, что результатом стали 3 очка, и единичная возможность, что было получено 4 очка. В этом нечетком множестве достоверно лишь то, что сумма очков на игральных костях может составить и 3, и 4. Это распределение возможностей означает, что игральные кости допустимо считать правильными сточки зрения того, может ли на них выпасть значение 3 или 4. Нечеткое множество сообщает, какие значения обнаруживаются после броска. В качестве еще одного примера рассмотрим такое высказывание, что "Ганс съел на завтрак Х
яиц", где Х — любое значение в универсуме Х = (1, 2,... 8), как показано в табл. 5.18. Таблица 5.18. Определение условий анализа утверждения ' Ганс съел на завтрак Х яиц" Х ПАТЕ(н х) 1'0 P(X) 0.1 1.0 1.0 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.8 0.1 0.0 0.0 0.0 0.0 В этой формуле символ стрелки означает "преобразуется в",
обозначение Height представляет собой лингвистическую переменную, а TALL обозначает нечеткое множество. Обратите внимание на то, что John — не лингвистическая переменная.
Безусловно, любому распределению возможностей можно присвоить нечеткое множество, как в формуле Q> — — F, но фактически эти два понятия не совпадают. В качестве примера,
позволяющего проиллюстрировать различия между ними
ROLL(1) = 1/3+ 1/4 Это множество определено как описание результата конкретного броска игральных костей, Roll 1, в котором на одной игральной кости выпало 3, а на другой — очка. В отличие от этого, следующее распределение возможностей означает, что бросок привел к получению количества очков 3 или 4, а само слово "или" в последнем выражении фактически равнозначно операции "исключительное
ИЛИ", представляющей неопределенность наших знаний о результатах броска П (1) Д+ 14 ROLL Существует единичная возможность, что результатом стали 3 очка, и единичная возможность, что было получено 4 очка. В этом нечетком множестве достоверно лишь то, что сумма очков на игральных костях может составить и 3, и 4. Это распределение возможностей означает, что игральные кости допустимо считать правильными сточки зрения того, может ли на них выпасть значение 3 или 4. Нечеткое множество сообщает, какие значения обнаруживаются после броска. В качестве еще одного примера рассмотрим такое высказывание, что "Ганс съел на завтрак Х
яиц", где Х — любое значение в универсуме Х = (1, 2,... 8), как показано в табл. 5.18. Таблица 5.18. Определение условий анализа утверждения ' Ганс съел на завтрак Х яиц" Х ПАТЕ(н х) 1'0 P(X) 0.1 1.0 1.0 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.8 0.1 0.0 0.0 0.0 0.0 В этой формуле символ стрелки означает "преобразуется в",
обозначение Height представляет собой лингвистическую переменную, а TALL обозначает нечеткое множество. Обратите внимание на то, что John — не лингвистическая переменная.
Безусловно, любому распределению возможностей можно присвоить нечеткое множество, как в формуле Q> — — F, но фактически эти два понятия не совпадают. В качестве примера,
позволяющего проиллюстрировать различия между ними
рассмотрим следующее нечеткое множество, определяющее результаты броска игральных костей. Приближенные рассуждения 485 the battery is BAD is Very
Likely Правила преобразования Определение нечеткой вероятности реализовано в нечеткой логике, основанной на логике Lq Лукашевича, которую принято сокращенно обозначать как FL (fuzzy logic). Одним из основных компонентов нечеткой логики FL является группа правил преобразования, которые указывают, как создаются модифицированные или сложные высказывания на основе содержащихся в них элементарных высказываний. Правила преобразования подразделяются на четыре описанных ниже категории. ° Правила типа I — правила модификации. Примеры таких правил приведены ниже. Х is very large John much taller than Mike ° Правила типа II — правила композиции. Примеры таких правил приведены ниже.
Распределение возможностей HATE(Hans) (Х) интерпретируется как характеристика того, насколько легко Ганс может съесть Х
яиц. А распределение вероятностей P(X) можно определить опытным путем, предварительно спросив Ганса, позволит ли он вам присутствовать вовремя его завтрака в течение года для проведения научного исследования. В данном случае важнее всего понять, что определение концепции возможности — не статистическое, а определение концепции вероятности статистическое. Например, безусловно, Ганс способен съесть восемь яиц, но эмпирическое исследование показало, что завесь период наблюдения он ни разу не съел больше трех яиц (и всегда старался в этом сдерживаться. В таком смысле возможность равнозначна способности, или продуктивности. Но высокая степень возможности необязательно означает высокую степень вероятности. Таким образом, корреляция между возможностью и вероятностью может отсутствовать. Например,
возможность наличия оружия массового уничтожения не означает, что при отсутствии конкретного свидетельства можно утверждать о вероятности наличия оружия массового
Likely Правила преобразования Определение нечеткой вероятности реализовано в нечеткой логике, основанной на логике Lq Лукашевича, которую принято сокращенно обозначать как FL (fuzzy logic). Одним из основных компонентов нечеткой логики FL является группа правил преобразования, которые указывают, как создаются модифицированные или сложные высказывания на основе содержащихся в них элементарных высказываний. Правила преобразования подразделяются на четыре описанных ниже категории. ° Правила типа I — правила модификации. Примеры таких правил приведены ниже. Х is very large John much taller than Mike ° Правила типа II — правила композиции. Примеры таких правил приведены ниже.
Распределение возможностей HATE(Hans) (Х) интерпретируется как характеристика того, насколько легко Ганс может съесть Х
яиц. А распределение вероятностей P(X) можно определить опытным путем, предварительно спросив Ганса, позволит ли он вам присутствовать вовремя его завтрака в течение года для проведения научного исследования. В данном случае важнее всего понять, что определение концепции возможности — не статистическое, а определение концепции вероятности статистическое. Например, безусловно, Ганс способен съесть восемь яиц, но эмпирическое исследование показало, что завесь период наблюдения он ни разу не съел больше трех яиц (и всегда старался в этом сдерживаться. В таком смысле возможность равнозначна способности, или продуктивности. Но высокая степень возможности необязательно означает высокую степень вероятности. Таким образом, корреляция между возможностью и вероятностью может отсутствовать. Например,
возможность наличия оружия массового уничтожения не означает, что при отсутствии конкретного свидетельства можно утверждать о вероятности наличия оружия массового
уничтожения. В теории нечетких множеств обычное определение вероятности дополнено и сформулировано понятие нечеткой вероятности, которое описывает вероятности,
известные, но лишь неточно. В качестве некоторых примеров нечетких вероятностей можно назвать нечеткие спецификаторы Likely (Весьма вероятно, Unlikely (Невероятно, Not Very
Likely (Не очень вероятно) и т.д. Пример нечеткого высказывания с нечеткой вероятностью приведен ниже Глава 5. Нестрогие рассуждения условная композиция If Х is
TALL then У is SHORT коньюнктивная композиция Х is TALL У is SHORT дизьюнктивная композиция Х is TALL or У is условная и коньюнктивная композиция If Х is TALL then У is
SHORT else У is Rather SHORT ° Правила типа Ш — правила квантификации. Примеры таких правил приведены ниже. Most desserts are WONDERFUL Тоо Much nutritious food is FATTENING
° Правила типа IV — правила оценки. Примеры таких правил приведены ниже. истинностная оценка chocolate pie is
DELICIOUS is Very True оценка вероятности chocolate pie is served SOON is Very Likely оценка возможности chocolate pie is
BAD for you is Impossible Правилами оценки (qualification называются правила, относящиеся к нечетким вероятностям, а правила квантификации (quantification rule) предназначены для использования с нечеткими кванторами, такими как Большинство, которые не могут быть определены с использованием классических кванторов всеобщности и существования 5.5. Приближенные рассуждения 487 Ниже приведен пример преобразования с использованием правила типа Е X is F — + —
F Х Преобразованное высказывание выглядит следующим образом Х Ï =F+ пх- Таблица 5.19. Значения параметров преобразования для некоторых правил типа I; следует отметить, что все интегралы берутся по универсуму F = f[1 — рр(х)]/х
известные, но лишь неточно. В качестве некоторых примеров нечетких вероятностей можно назвать нечеткие спецификаторы Likely (Весьма вероятно, Unlikely (Невероятно, Not Very
Likely (Не очень вероятно) и т.д. Пример нечеткого высказывания с нечеткой вероятностью приведен ниже Глава 5. Нестрогие рассуждения условная композиция If Х is
TALL then У is SHORT коньюнктивная композиция Х is TALL У is SHORT дизьюнктивная композиция Х is TALL or У is условная и коньюнктивная композиция If Х is TALL then У is
SHORT else У is Rather SHORT ° Правила типа Ш — правила квантификации. Примеры таких правил приведены ниже. Most desserts are WONDERFUL Тоо Much nutritious food is FATTENING
° Правила типа IV — правила оценки. Примеры таких правил приведены ниже. истинностная оценка chocolate pie is
DELICIOUS is Very True оценка вероятности chocolate pie is served SOON is Very Likely оценка возможности chocolate pie is
BAD for you is Impossible Правилами оценки (qualification называются правила, относящиеся к нечетким вероятностям, а правила квантификации (quantification rule) предназначены для использования с нечеткими кванторами, такими как Большинство, которые не могут быть определены с использованием классических кванторов всеобщности и существования 5.5. Приближенные рассуждения 487 Ниже приведен пример преобразования с использованием правила типа Е X is F — + —
F Х Преобразованное высказывание выглядит следующим образом Х Ï =F+ пх- Таблица 5.19. Значения параметров преобразования для некоторых правил типа I; следует отметить, что все интегралы берутся по универсуму F = f[1 — рр(х)]/х
Е — ) /хр'2 (х)/х уТ = I /рДт)/х Not Very More Or Less В качестве примера определим нечеткое множество TALL (Высокий)
следующим образом TALL = .2/5 + .6/6 -+- 1/7 В таком случае могут быть выполнены следующие преобразования John is not tall — .8/5+ .4/6+ О John is very tall - .04/5 + .36/6 + 1/7 John is more or less tall — + .45/5 + .77/6 + 1/7 Переменная Хне обязательно должна быть унарной переменной. Вместо этого в качестве Х может быть, вообще говоря, выбрано бинарное или
N-арное отношение. Например, такое высказывание, как "У и есть F", обобщается высказыванием "Х есть F". Определим как нечеткое бинарное отношение в декартовом произведении двух универсумов, Их ИВ этом выражении т представляет собой модификатор, такой как Not (Нет, Very (Очень, More Or Более или менее) и т.д. Терм F+ представляет собой результат модификации высказывания F с помощью модификатора т. В
табл. 5.5 представлены некоторые применяемые по умолчанию определения длят и F+. Эти термы определяются также, как лингвистические барьеры, которые рассматривались выше.
Могут также использоваться другие определения длят и Е Глава 5. Нестрогие рассуждения В этом случае могут быть выполнены следующие преобразования Х and У are close -+ П =
CLOSE (Х) Х and У are very close - П (х) = СЬОЯЕ2 = 1/(1, 1) +
.25/(1,2) + .25/(2, 1) Ниже приведен пример применения правила типа II. IFXisFthen YisG ПС (Х, Y) В этом выражении термы и G представляют собой следующие расширения множеств F ив их универсумах, а е обозначает ограниченную сумму F FxV
G=UxG и — (х,д) = 1 Л [1 — рр(х) + рд(у)] Это определение совместимо с операцией импликации в логике Lq, тогда как другие определения, возможно, окажутся несовместимыми. В
качестве примера применения правила типа II определим следующее U = V = (4,5,6,7) F = TALL = .2/5+.6/6+ 1/7 G =
SHORT = 1/4 + .2/5 IF Х is tall then Ух) В данных
следующим образом TALL = .2/5 + .6/6 -+- 1/7 В таком случае могут быть выполнены следующие преобразования John is not tall — .8/5+ .4/6+ О John is very tall - .04/5 + .36/6 + 1/7 John is more or less tall — + .45/5 + .77/6 + 1/7 Переменная Хне обязательно должна быть унарной переменной. Вместо этого в качестве Х может быть, вообще говоря, выбрано бинарное или
N-арное отношение. Например, такое высказывание, как "У и есть F", обобщается высказыванием "Х есть F". Определим как нечеткое бинарное отношение в декартовом произведении двух универсумов, Их ИВ этом выражении т представляет собой модификатор, такой как Not (Нет, Very (Очень, More Or Более или менее) и т.д. Терм F+ представляет собой результат модификации высказывания F с помощью модификатора т. В
табл. 5.5 представлены некоторые применяемые по умолчанию определения длят и F+. Эти термы определяются также, как лингвистические барьеры, которые рассматривались выше.
Могут также использоваться другие определения длят и Е Глава 5. Нестрогие рассуждения В этом случае могут быть выполнены следующие преобразования Х and У are close -+ П =
CLOSE (Х) Х and У are very close - П (х) = СЬОЯЕ2 = 1/(1, 1) +
.25/(1,2) + .25/(2, 1) Ниже приведен пример применения правила типа II. IFXisFthen YisG ПС (Х, Y) В этом выражении термы и G представляют собой следующие расширения множеств F ив их универсумах, а е обозначает ограниченную сумму F FxV
G=UxG и — (х,д) = 1 Л [1 — рр(х) + рд(у)] Это определение совместимо с операцией импликации в логике Lq, тогда как другие определения, возможно, окажутся несовместимыми. В
качестве примера применения правила типа II определим следующее U = V = (4,5,6,7) F = TALL = .2/5+.6/6+ 1/7 G =
SHORT = 1/4 + .2/5 IF Х is tall then Ух) В данных
выражениях значения степени принадлежности элемента, такие как (5, 4), вычисляются таким образом рр — (5, 4) = 1 Л [1 — .2 +
1] = 1 Л [1.8] = 1 Для этого правила имеет место также следующее соотношение, а функция min выражается как Л. Приближенные рассуждения 489 Неопределенность в нечетких экспертных системах При использовании нечетких вероятностей в экспертных системах приходится учитывать некоторые отличия по сравнению с обычным вероятностным логическим выводом. Рассмотрим такое каноническое нечеткое правило If Х is F then У is С(с вероятностью P) Это правило может быть записано как условная вероятность P(Y is G X is
F) = P В таком случаев обычной экспертной системе,
основанной на использовании классической теории вероятностей, было бы принято следующее предположение P(Y
is not G X is F) = 1 — P Нов теории нечетких множеств, если F
— нечеткое множество, это предположение было бы неправильным. В действительности результат, соответствующий теории нечетких множеств, является более слабым, поскольку он позволяет задавать лишь более низкие пределы значений вероятностей, которые могут быть определены как нечеткие числа P(Y is not G Х is F) + P(Y is G Х is F) = 1 Вообще говоря, для нечетких систем имеет место следующее соотношение P(H F) is not necessarily eqUal to 1 — P(H' F) В
нечетких экспертных системах нечеткость может наблюдаться в трех описанных ниже областях. Во-первых, в антецедентах и
(или) консеквентах правил, подобных следующему Хо В этом правиле обозначает коэффициент достоверности, а о представляет собой числовое значение, такое как 0.5. Во-вторых, в частичном соответствии между антецедентом и фактами, которые согласуются с шаблонами антецедента. В экспертных системах,
отличных от нечетких, правило не становится активизированным, если шаблоны не согласуются точно с фактами. С другой стороны, в нечеткой экспертной системе все
1] = 1 Л [1.8] = 1 Для этого правила имеет место также следующее соотношение, а функция min выражается как Л. Приближенные рассуждения 489 Неопределенность в нечетких экспертных системах При использовании нечетких вероятностей в экспертных системах приходится учитывать некоторые отличия по сравнению с обычным вероятностным логическим выводом. Рассмотрим такое каноническое нечеткое правило If Х is F then У is С(с вероятностью P) Это правило может быть записано как условная вероятность P(Y is G X is
F) = P В таком случаев обычной экспертной системе,
основанной на использовании классической теории вероятностей, было бы принято следующее предположение P(Y
is not G X is F) = 1 — P Нов теории нечетких множеств, если F
— нечеткое множество, это предположение было бы неправильным. В действительности результат, соответствующий теории нечетких множеств, является более слабым, поскольку он позволяет задавать лишь более низкие пределы значений вероятностей, которые могут быть определены как нечеткие числа P(Y is not G Х is F) + P(Y is G Х is F) = 1 Вообще говоря, для нечетких систем имеет место следующее соотношение P(H F) is not necessarily eqUal to 1 — P(H' F) В
нечетких экспертных системах нечеткость может наблюдаться в трех описанных ниже областях. Во-первых, в антецедентах и
(или) консеквентах правил, подобных следующему Хо В этом правиле обозначает коэффициент достоверности, а о представляет собой числовое значение, такое как 0.5. Во-вторых, в частичном соответствии между антецедентом и фактами, которые согласуются с шаблонами антецедента. В экспертных системах,
отличных от нечетких, правило не становится активизированным, если шаблоны не согласуются точно с фактами. С другой стороны, в нечеткой экспертной системе все
события зависят от степени проявления определенных характеристик, поэтому Глава 5. Нестрогие рассуждения d = desserts are
ЖОМЭЕКНЛ Термин "разъяснение" обозначает высказывание,
которое обычно является истинным. Разъяснения имеют следующую каноническую форму, в которой Usually обозначает подразумеваемый нечеткий квантора В представляет собой ограничивающее отношение, воздействующее на ограничиваемую переменную Х, лимитируя значения, которые она может принимать Usually(X is В) Разъяснениями являются по сути многие эвристические правила, которыми пользуются люди. В действительности знания, основанные на здравом смысле, являются в сущности коллекцией разъяснений,
относящихся к реальному миру. Разъяснение может быть преобразовано в другие явные пропозициональные формы р =
Usually desserts are wonderful р = Most desserts are wonderful В
свою очередь, эти формы могут быть выражены как эвристические правила та Ниже приведены некоторые примеры правил вывода,
применяемых в нечетких системах. ° Принцип следования X is F
FcG X is G ° Распорядительное следование ограничивается случаями, в которых квантор Usually (Обычно) становится квантором Always (Всегда) Usually(X is F) FcG Usually(A is С)
всегда существует возможность активизации любых правил,
если не установлено пороговое значение. В-третьих, в нечетких кванторах, таких как Most (Большинство, и нечетких спецификаторах, подобных Very Likely (Весьма вероятно, Quite
True (Полностью истинно, Definitely Possible (Безусловно возможно) и т.д. Высказывания часто содержат неявные и (или)
явные нечеткие кванторы. В качестве примера рассмотрим следующее разъяснение
5.5. Приближенные рассуждения 491 ° Композиционное правило is F (Х) is В y isFGR В этих формулах Л — бинарное отношение по бинарной переменной (Ха выражение F o представляет собой следующее рр,(y) = sup[@() Л рд(х, ух Кроме того, в рассматриваемом композиционном правиле неявно применяется операция определения супремума
(символически обозначаемая как sup), которая представляет собой операцию определения наименьшей верхней грани.
Вообще говоря, операция определения супремума по своему назначению аналогична функции мах. Различие между ними возникает в тех случаях, когда максимальное значение отсутствует, например, рассматривается интервал вещественных чисел меньше О. Поскольку максимальное вещественное число, которое было бы меньше О, не существует, используется операция определения супремума,
позволяющая принять в качестве наименьшей верхней грани значение О. ° Обобщенное правило модус поненс X is F Y is G if
X is H Y is F o (H' � |) В последней формуле Н' обозначает нечеткое отрицание На ограниченная сумма определяется следующим образом pHiEBG(, y) = 1h [1 — pH() + pG(y)] При использовании обобщенного правила модус поненс не требуется, чтобы антецедент "Х есть Н" был идентичен посылке "Х есть F". Обратите внимание на то, что в этом состоит существенное расхождение с классической логикой, которая требует, чтобы подобные термы точно совпадали. Обобщенное правило модус поненс фактически представляет собой частный случай правила композиции операций логического вывода. В
обычных экспертных системах основным правилом логического вывода является модус поненс, нов отличие от них, в нечетких экспертных системах основным правилом служит правило композиции операций логического вывода Глава 5. Нестрогие рассуждения В экспертных системах,
действующих на основе приближенных рассуждений, может использоваться целый ряд различных методов, таких как
ЖОМЭЕКНЛ Термин "разъяснение" обозначает высказывание,
которое обычно является истинным. Разъяснения имеют следующую каноническую форму, в которой Usually обозначает подразумеваемый нечеткий квантора В представляет собой ограничивающее отношение, воздействующее на ограничиваемую переменную Х, лимитируя значения, которые она может принимать Usually(X is В) Разъяснениями являются по сути многие эвристические правила, которыми пользуются люди. В действительности знания, основанные на здравом смысле, являются в сущности коллекцией разъяснений,
относящихся к реальному миру. Разъяснение может быть преобразовано в другие явные пропозициональные формы р =
Usually desserts are wonderful р = Most desserts are wonderful В
свою очередь, эти формы могут быть выражены как эвристические правила та Ниже приведены некоторые примеры правил вывода,
применяемых в нечетких системах. ° Принцип следования X is F
FcG X is G ° Распорядительное следование ограничивается случаями, в которых квантор Usually (Обычно) становится квантором Always (Всегда) Usually(X is F) FcG Usually(A is С)
всегда существует возможность активизации любых правил,
если не установлено пороговое значение. В-третьих, в нечетких кванторах, таких как Most (Большинство, и нечетких спецификаторах, подобных Very Likely (Весьма вероятно, Quite
True (Полностью истинно, Definitely Possible (Безусловно возможно) и т.д. Высказывания часто содержат неявные и (или)
явные нечеткие кванторы. В качестве примера рассмотрим следующее разъяснение
5.5. Приближенные рассуждения 491 ° Композиционное правило is F (Х) is В y isFGR В этих формулах Л — бинарное отношение по бинарной переменной (Ха выражение F o представляет собой следующее рр,(y) = sup[@() Л рд(х, ух Кроме того, в рассматриваемом композиционном правиле неявно применяется операция определения супремума
(символически обозначаемая как sup), которая представляет собой операцию определения наименьшей верхней грани.
Вообще говоря, операция определения супремума по своему назначению аналогична функции мах. Различие между ними возникает в тех случаях, когда максимальное значение отсутствует, например, рассматривается интервал вещественных чисел меньше О. Поскольку максимальное вещественное число, которое было бы меньше О, не существует, используется операция определения супремума,
позволяющая принять в качестве наименьшей верхней грани значение О. ° Обобщенное правило модус поненс X is F Y is G if
X is H Y is F o (H' � |) В последней формуле Н' обозначает нечеткое отрицание На ограниченная сумма определяется следующим образом pHiEBG(, y) = 1h [1 — pH() + pG(y)] При использовании обобщенного правила модус поненс не требуется, чтобы антецедент "Х есть Н" был идентичен посылке "Х есть F". Обратите внимание на то, что в этом состоит существенное расхождение с классической логикой, которая требует, чтобы подобные термы точно совпадали. Обобщенное правило модус поненс фактически представляет собой частный случай правила композиции операций логического вывода. В
обычных экспертных системах основным правилом логического вывода является модус поненс, нов отличие от них, в нечетких экспертных системах основным правилом служит правило композиции операций логического вывода Глава 5. Нестрогие рассуждения В экспертных системах,
действующих на основе приближенных рассуждений, может использоваться целый ряд различных методов, таких как
ограничение истинностных значений и композиционный логический вывод. В обзоре одиннадцати нечетких экспертных систем, подготовленном Вейленом (Whalen), показано, что почти во всех этих системах используется композиционный логический вывод. Обычно трудно предсказать заранее, какой метод окажется наиболее приемлемым, поэтому для определения метода, в наибольшей степени подходящего для обработки имеющихся данных, применяется эмпирическое моделирование.
Это положение не столь безнадежно, каким кажется на первый взгляд, поскольку, например, в статистике в первую очередь предпринимается попытка использовать линейную регрессию,
так как этот метод наиболее проста предположение о гауссовом характере распределения вероятностей в совокупности обычно оправдывается. Если этот метод не подходит, то предпринимается попытка применения более сложной модели,
такой как подбор многочлена, и т.д. Эти попытки осуществляются до тех пор, пока отклонения не станут приемлемыми. 5.6 Состояние неопределенности Боже мой!
Если вы прочитали каждое слово в первых пяти главах, вывели каждое уравнение и проработали каждое задание, то вы либо имеете неутолимую жажду знаний, либо страдаете от бессонницы. Нов любом случае после прочтения оставшейся части данной книги вы сможете решить любую задачу, стоящую перед вами. Нона данном этапе важнее всего понять, сумеем ли мы, блуждая между деревьями в лесу, состоящем из разнообразных и конкурирующих теорий, увидеть возвышающиеся над ним горы Как обрести уверенность в том,
Это положение не столь безнадежно, каким кажется на первый взгляд, поскольку, например, в статистике в первую очередь предпринимается попытка использовать линейную регрессию,
так как этот метод наиболее проста предположение о гауссовом характере распределения вероятностей в совокупности обычно оправдывается. Если этот метод не подходит, то предпринимается попытка применения более сложной модели,
такой как подбор многочлена, и т.д. Эти попытки осуществляются до тех пор, пока отклонения не станут приемлемыми. 5.6 Состояние неопределенности Боже мой!
Если вы прочитали каждое слово в первых пяти главах, вывели каждое уравнение и проработали каждое задание, то вы либо имеете неутолимую жажду знаний, либо страдаете от бессонницы. Нов любом случае после прочтения оставшейся части данной книги вы сможете решить любую задачу, стоящую перед вами. Нона данном этапе важнее всего понять, сумеем ли мы, блуждая между деревьями в лесу, состоящем из разнообразных и конкурирующих теорий, увидеть возвышающиеся над ним горы Как обрести уверенность в том,