дб. Четвертое издание джозеф Джарратано Университет Хьюстон клиэрЛэйк Гари Райли People5oft, Издательский дом "Вильямс" Москва СанктПетербург Киев 2007 ббк 32. 973. 26 018 75 Д
 Скачать 3.73 Mb.
|
больше. А в интервале между 5 и 7 футами процентная доля людей„согласных с определением понятия "высокий рост, будет примерно такой, как показывает кривая функции принадлежности, приведенная на рис. 5.8. По мере того как значение роста будет увеличиваться от 5 до 6 футов, все больше и больше людей будут соглашаться стем, что некоторое лицо с таким ростом является высоким. Для данной конкретной функции принадлежности точка пересечения для понятия "высокий" равна 6 футам. Точкой пересечения называется такая точка, в которой р = 0.5. В терминах применяемой здесь аналогии с опросом общественного мнения можно считать, что опрошенных согласятся с утверждением, будто человек,определяющими функцию принадлежности, и компактно представить все данные с помощью одной формулы. В приведенном выше определении символы од и у представляют собой параметры, которые могут быть откорректированы для достижения соответствия сданными, описывающими принадлежность к множеству. В зависимости от имеющихся данных о принадлежности может существовать возможность достичь точного соответствия при некоторых значениях а, Риу или добиться лишь приближенного соответствия. Безусловно, функция принадлежности может быть определена исключительно как функция, без ссылки на какие-либо табличные данные. В зависимости от приложения могут быть также определены другие функции, например, имеющие график треугольной формы. График функции становится плоским, принимая значение 0 при ха и значение 1 — при х = y. В интервале ото до у та же функция принимает вид квадратичной функции от х. Как показано на рис. 5.9, параметр,д соответствует точке пересечения 0.5 и имеет значение (а + Применительно к функции принадлежности нечеткого множества, показанной на рис. 5.8, функция Глава 5. Нестрогие рассуждения 442 представляет собой следующее длях<5; х — 5 2 (х — 5)2 х — 7 2 (х — 7)2 1 — 2 для 6 < х < 7; 7 — 5 2 S(x;5,6,7) = для х > 7. На рис. показана функция принадлежности для нечеткого утверждения "Х приближается к ". Например, эта функция принадлежности позволяет представить все числа, приближающиеся к указанному значению у, что выражается, например, с помощью такой формулировки, как "Х примерно равно 6", где универсальное множество Х может быть определено как (5.9, 6, 6.1). В таком случае функцию принадлежности можно выразить следующим образом рс?.ояЕ{х) = с такими точками пересечения Рис. 5.10. Функция принадлежности для нечеткого утверждениях приближается ку" Параметр,З называют полушириной кривой в точке пересечения, как показано на рис. Большие значения,З соответствуют более широкой кривой, а меньшие значения соответствуют более узкой кривой. Увеличение значения,З говорит о том, что числа должны быть более близкими к , чтобы приобрести значительно более высокое значение функции принадлежности. Обратите внимание на то, что при таком определении функции принадлежности нулевое значение достигается только на бесконечно большом удалении 5.5. Приближенные рассуждения 443 Ниже приведена функция, которая также позволяет получить подобную кривую, но достигает нуля в указанных точках. х > — P > — ф, >) ддя х ( > 1 — Я(х; у, +@2,--]-,3) для х > График такой П-функции приведен на рис. 5.11. Следует отметить, что теперь параметр Р в точках пересечения определяет ширину интервала, или общую ширину. П-функция достигает нуля в следующих точках х у:Е/3 В этом случае координаты точек пересечения определяются таким выражением х у- р 2 Рис. 5.11. График П-функции Функция принадлежности не только может выражаться непрерывной функцией, но и представлять собой конечное множество элементов. Например, предположим, что универсум значений роста определен следующим образом U = (5, 5.5, 6, 6.5, 7, 7.5, 8 j В таком случае нечеткое подмножество можно определить как конечное множество элементов множества следующим образом ТАЛ = (О, 0.125/5.5, 0.5/6, 0.875/6.5, 1/7, 1/7.5, 1/8) В этом нечетком множестве символ / отделяет степени принадлежности от чисел, соответствующих значениям роста. Следует отметить, что в общепринятой системе обозначений нечетких множеств символ / не означает деление. Элементы нечеткого множества, для которых р(х) ) О, формируют обоснование нечеткого 444 Глава 5. Нестрогие рассуждения множества. Для множества TALL обоснованием являются все элементы, кроме О/5. Конечное нечеткое подмножество из N элементов может быть представлено в стандартной системе обозначений нечетких множеств как объединение нечетких одноэлементных множеств р, где знаки + представляют собой знаки операции булева объединения = Pl /1 + 2/2 + РИ/Н N — Vi/>i i=1 pi /xi (2) В некоторых статьях символ / не записывается, и поэтому подмножество F определяется в виде следующих формул (3) F = р1х1+ p2x2+... pNxN N F = р Оба этих уравнения, (2) и (представляют конечные нечеткие подмножества из N элементов. Уравнение (3) является удобным для записи нечетких множеств в компактной символической форме. Но если применяются только числа, то формы, предусмотренные в уравнении (становятся сложными для чтения людьми, как в следующем примере F = .127+ .385 Без разделителя / невозможно понять, имеют ли степени принадлежности значения .1 и .3, или .12 и, или какие-то другие значения. Именно поэтому для работы с числами удобнее система обозначений с разделителями, как показано ниже. F = .1/27+ .38/5 Более формально, обоснование нечеткого множества F можно определить как подмножество универсального множества Х следующим образом support(F) = (x х 6 Хи. Приближенные рассуждения 445 Для обозначения обосновывающего множества обычно для краткости используется сокращение от слова support, supp, как в следующем примере supp(F) Применение обоснования имеет преимущество в том, что нечеткое множество F может быть записано таким образом F = (х х C supp(F)) TALL = (0.125/5.5, 0.5/6, 0.875/6.5, 1/7, 1/7.5, 1/8) Безусловно, в данном случае достигается лишь незначительное сокращение, соответствующее одному элементу, но применительно к нечетким множествам с большим количеством элементов, имеющих нулевую степень принадлежности, сокращение количества элементов может оказаться весьма значительным. С другой стороны, при решении какой-то другой задачи может представлять интерес и информация о том, какие элементы имеют нулевую степень принадлежности. С понятием обоснования связано понятие а-отсечения; а-отсечением множества называется множество, отличное от нечеткого подмножества универсального множества, элементы которого имеют значение функции принадлежности, большее или равное некоторому значению а Е = (ха) для 0 ( а = 1 Ниже приведены некоторые примеры о-отсечений для множества. TALLî.g = {5 5 6 6.5 7 7 5 8] TALLo g —— (6, 6. 5, 7, 7.5, 8) TALLo g — — (6.5, 7, 7.5, 8) ТАЛ — — (7, 7.5, 8) Обратите внимание на то, что все а-отсечения некоторого множества являются подмножествами обоснования. Значения а могут выбираться произвольно, но, как правило, их подбор осуществляется для выделения желаемых подмножеств универсума. Это выражение означает, что свой вклад в формирование множества F вносят только те нечеткие элементы, для которых функция принадлежности больше нуля. Таким образом, множество TALL может быть записано без элемента О следующим образом, поскольку этот элемент не принадлежит к обосновывающему множеству Глава 5. Нестрогие рассуждения 446 Еще одним термином, часто применяемым с нечеткими множествами, является высота это понятие определяет максимальную степень принадлежности элемента. Для рассматриваемого множества максимальная степень принадлежности равна 1. Если в нечетком множестве имеется хотя бы один элемент, приобретающий максимально возможную степень, такое множество называется нормализованным. Обычно степени принадлежности определяются в замкнутом интервале О, 1], и поэтому максимально возможная степень принадлежности равна 1. Но степени могут определяться в других интервалах, и поэтому степень принадлежности необязательно должна быть равна 1. Произвольное нечеткое подмножество универсума, заданного как континуум, записывается в форме интеграла. Термином "континуум" обозначается множество вещественных чисел. Интеграл представляет собой объединение нечетких одноэлементных множеств, р(х)/х. Например, можно определить следующее соотношение, используя для множества TALL такую S-функцию: TALL = х = STALL(>)/> = /+ 1 /+ 1/ pF . õ -О, 1] Иными словами, нечеткое подмножество первого типа определяется путем присваивания числовых значений его функции принадлежности в замкнутом интервале вещественных чисел от О до 1. Например, следующее множество является множеством первого типа, поскольку областью определения его степеней принадлежности являются все вещественные числа в интервале О, 1]. TALL = .125/5.5 + .5/6 + .875/6.5 + +1/7 + 1/7.5 + 1/8 Аналогичным образом, согласно уравнению (1), следующее множество является нечетким подмножеством первого типа: ,иTALL(>) = Я(х; 5,6,7) В этой формуле знаки +, разделяющие интегралы, представляют собой знаки операции объединения (как при использовании системы обозначений в булевой логике), а не знаки арифметического сложения. Нечеткие множества подразделяются на несколько типов. Элементарное нечеткое подмножество первого типа, F, универсума Х определяется следующим образом. Приближенные рассуждения 447 Вообще говоря, нечеткое подмножество типа N определяется путем создания для отображения универсума на множество нечетких подмножеств типа N — 1. Например, нечеткое подмножество второго типа определяется в терминах подмножества первого типа. Что касается данных о росте, то нечетким множеством второго типа может быть следующее множество, в котором все элементы THAN AVERAGE, AVERAGE и GREATER THAN представляют собой нечеткие подмножества первого типа @TALL(5) = LESS THAN AVERAGE ртАы (6) = AVERAGE иуда) = GREATER THAN AVERAGE Эти множества могут быть определены как такие нечеткие подмножества @LESS THAN AVERAGE (x) = 1 — S(x j 4.5, 5, 5.5) рлчкклак() П(х; 1, 5.5) pGREATER THAN AVERAGE(x) — ( 5 5> 6> 6 5) Операции с нечеткими множествами А=В р,(х) =,ид(х) для всех x C Х. Дополнение множества А' pp(x) = 1 — рд(х) для всех x E Х. Обычное четкое множество представляет собой частный случай нечеткого множества с функцией принадлежности (О, ЦВ пределе к четким множествам должны быть применимыми все определения, доказательства и теоремы нечетких множеств, после того как нечеткость приближается к нулю и нечеткое множество становится четким множеством. Таким образом, теория нечетких множеств имеет более широкий спектр приложений, чем теория четких множеств, в частности, позволяет справляться с ситуациями, в которых должны учитываться субъективные мнения. Основной замысел, лежащий в основе теории нечетких множеств, состоит в том, что эта теория позволяет определять такие нечеткие концепции реального мира, как рост, с помощью множества нечетких элементов (TALL), не требуя определения резкой бинарной границы. Ниже приведены общие сведения о некоторых операциях с нечеткими множествами в универсуме Х. Равенство множеств 448 Глава 5. Нестрогие рассуждения На рис. 5.12 показано нечеткое дополнение множества. Это определение дополнения обосновано Беллманом (Bellman) и Гирцем (Giertz). Рис. Нечеткое дополнение ° Включение множества А<В рд(х) < рд(х) для всех х Е Х Нечеткое множество А является строгим подмножеством множества В, если А — подмножество В и эти два множества неравны, как показано ниже. рд(х) < p(x) и р, (х) < рд(х) по меньшей мере для одного хе Х ° Объединение множеств АО В рд Их Ч(р,(х), рд(х)) для всех х с Х. В этой формуле операция соединения, V, обозначает операцию определения максимального параметра. ° Пересечение множеств A AB рд(х) = Л(,ид(х), р(х)) для всех х Е Х. В этой формуле операция соприкосновения, Л, обозначает операцию определения минимального параметра. Нечеткое множество А содержится в множестве Вили является подмножеством множества В тогда и только тогда, когда выполняется следующее соотношение. Приближенные рассуждения 449 Аи А' ф И и А п Ау е Поскольку нечеткие множества могут не иметь резкой границы, то при условии определения р(х) в замкнутой области определения [0,1] и р(х) = 1— — pp(x) единственным ограничением, налагаемым на пересечение, становится следующее А п Арх Аналогичным образом, единственное ограничение на объединение таково А А' = max(p(x), р'д(х)) = 0.5 Нечеткие множества Аи А' могут пересекаться, поэтому может оказаться, что эти два множества не охватывают универсум полностью. Если будут определены закон исключенного третьего и закон противоречия, которые соблюдались бы для нечетких множеств, то может оказаться, что не соблюдаются закон идемпотентности и распределительный закон. Формулировка закона идемпотентности для нечетких множеств состоит в следующем AnAA А поскольку в данном случае множества имеют нечеткий характер, кажется более обоснованным принятие предположения, что для нечетких множеств не соблюдаются закон исключенного третьего и закон противоречия, чтобы для них оставался справедливым закон идемпотентности. Описание полезных свойств нечетких множеств приведено в приложении В. ° Произведение множеств АВ х Д (х) = ЦА (х) ЦВ (х) . В подразделе "Комбинирование свидетельств с использованием нечеткой логики" раздела 4.14 уже упоминались операции соединения (join) и соприкосновения (meet) при обсуждении способов использования нечеткой логики для комбинирования антецедентов в системе PROSPECTOR. А обоснование возможности применения функций max и min вместо операций соединения и соприкосновения было предложено Беллманом. Использование этих определений позволяет распространить на нечеткие множества основные законы четких множеств, такие как коммутативность, ассоциативность и т.д., за исключением закона исключенного третьего и закона противоречия. Таким образом, для нечеткого множества А можно сформулировать следующие утверждение, в которых о обозначает пустое множество, а И — универсум Глава 5. Нестрогие рассуждения ° Возведение множества в степень А РАЖ(х) = (ЦА()) ° Вероятностная сумма А+В ух /хА(х) + [яя(х) — /х.4(х)[йв(х) = 1 — (1 — /хА(х))(1 — pB(>)) В последней формуле знаки + и — обозначают обычные арифметические операции. ° Ограниченная сумма или резко выраженное объединение АВ дух) = Л, (цА(х) + pB(>))) A 0B рлов(4 = v((j, (рл(4 + рв(4 — 1)) В последней формуле знак обозначает функцию определения максимума, а знак +соответствует обычной арифметической операции. Операции ограниченной суммы и произведения не удовлетворяют законам идемпотентности, дистрибутивности и поглощения, но удовлетворяют законам коммутативности, ассоциативности, де Моргана, соотношениям АИ И, АИ И, закону исключенного третьего и закону противоречия (общие сведения см. в приложении В. ° Ограниченная разность А) — В ЦА! — / Д (Х) = V (O> (/хА (У) — » (*) ) ) В последней формуле знак разделяющий рд и рд, представляет собой знак арифметической операции вычитания. Выражение А — В представляет те элементы, которые в большей степени содержатся в А, чем в В. Отметим, что в терминах универсального множества, И, и ограниченной разности операцию дополнения можно определить следующим образом АИ ( — А В последней формуле знак Л обозначает функцию определения минимума, а знак + соответствует обычной арифметической операции. ° Ограниченное произведение или резко выраженное пересечение 5.5. Приближенные рассуждения 451 ° Концентрация CON(A) Рсоа(А) (х) = (/хА (х) ) Операция CON "концентрирует" элементы нечеткого множества, уменьшая значения степени принадлежности элементов тем больше, чем меньше эти значения. Пример применения операции CON приведен на рис. Эта операция и описанные ниже операции DIL, NORM и не имеют аналогов среди обычных операций с множествами. Операция CON может использоваться для грубой аппроксимации результата применения лингвистического модификатора Very (Очень. Таким образом, для некоторого нечеткого множества F справедлива такая формула VeryF = Рис. 5.13. Пример применения операции концентрации к нечеткому множеству Рассмотрим в качестве примера следующее множество TALL: TALL = .125/5+ .5/6+ .875/6.5+ 1/7+ 1/7.5+ 1/8 В таком случае при использовании двух значащих цифр получаем Very TALL = .016/5 + .25/6 + .76/6.5 + 1/7 + 1/7.5 + 1/8 Обратите внимание на то, как уменьшились значения степени принадлежности для всех элементов, кроме тех, что имеют степень принадлежности 1. Общий эффект состоит в том, что нечеткое множество Very TALL включает меньше элементов с малыми значениями степени принадлежности 452 Глава 5. Нестрогие рассуждения ° Растворение ШЬ(А) рыб(А(х) = (рл(х)) А = DIL(CON(A)) = CON(DIL(A)) Рис. Пример применения операции растворения к нечеткому множеству Операция растворения грубо аппроксимируется лингвистическим модификатором (Более или менее. Таким образом, для любого нечеткого множества соблюдаются следующие зависимости More Or Less F = Fo 5 = DIL(F) ° Интенсификация ПЧТ(А) 2(рА(х)) для 0 "х) 05 от(л) (х) = 1 — 2(1 —,иА(х)) для 0.5 < рА(х) < 1 Операция INT напоминает операцию интенсификации (повышения контрастности) изображения. Как показано на рис. 5.15, в результате интенсификации повышается степень принадлежности элементов, находящихся между точками пересечения, и снижается степень принадлежности элементов, находящихся за пределами точек пересечения. Рассматривая в качестве Операция DIL "растворяет" нечеткие элементы, увеличивая значения степени принадлежности элементов тем больше, чем меньше эти значения. Пример применения операции DIL показан на рис. 5.14. Обратите внимание на то, что операция растворения противоположна операции концентрации в том, что первой соответствует показатель степени, равный 0.5, а второй равный 2: 5.5. Приближенные рассуждения 453 аналогии электронный усилитель, можно представить себе точки пересечения как определяющие полосу частот сигнала. В результате интенсификации сигнал в пределах полосы частот усиливается, а "шум, выходящий за пределы полосы частот, ослабляется. Таким образом, интенсификация увеличивает различие между степенями принадлежности элементов, находящихся между точками пересечения, по сравнению с элементами, выходящими за пределы точек пересечения. Рис. 5.15. Пример применения операции интенсификации к нечеткому множеству Нормализация ХОКМ(А) РЩ)РМ(А) () = ЯА�I п@хРА()) В последней формуле функция max возвращает максимальное значение степени принадлежности для всех элементов х. Если максимальная степень принадлежности меньше 1, то повышаются все значения степени принадлежности. Если максимальная степень принадлежности равна 1, то значения степени принадлежности остаются неизменными. Нечеткие отношения Нечеткие множества позволяют моделировать еще одну важную концепцию отношение. Интуитивное представление об отношении состоит в том, что отношение это определенная ассоциация между элементами. Ниже приведены некоторые примеры отношений, в которых слова, выделенные курсивом, обозначают нечеткие понятия. Боб и Эллис — друзья Лос-Анджелес и Нью-Йорк — очень далехо друг от друга 1, 2, 3 и 4 — гораздо меньше чем 100 1, 2 и 3 — малые числа яблоки и апельсины — фрукты хруглой формы Глава 5. Нестрогие рассуждения 454 Декартово произведение четких множеств определено как четкое множество, элементами которого являются элементные кортежи (xq, xq, x3,... x), где каждый элемент х, является элементом своего четкого множества Х. Для двух множеств Аи В АхВ=(а,b) абАиЬЕВ) Рассмотрим следующее определение множества А = (chocolate, strawberry) В = (pie, milk, candy) В таком случае декартово произведение принимает вид Ах В = ((chocolate, pie), (chocolate, milk), (chocolate, candy), (strawberry, pie), (strawberry, milk), (strawberry, candy) ) Обратите внимание на то, что в общем произведение В х Ане равно произведению Ах В, если множества Аи В содержат разные элементы. Это означает, что в общем (а, о) фа. Говорят, что произведение Ах В определяет бинарную переменную (а, 6). Отношение В представляет собой подмножество декартового произведения. Например, отношение В = LIKES PIE (Любит торты) может быть определено как подмножество произведения Ах В следующим образом В = ((chocolate, pie), (strawberry, pie) ) А отношение В = LIKES SWEETS (Любит сладости) может быть определено так В ((chocolate, pie), (chocolate, candy), (strawberry, pie), (strawberry, candy) ) Отношение иногда называют также отображением, поскольку оно связывает элементы из одной области определения с элементами из другой области определения. Если дано произведение Ах В, то отношение — это отображение из А — В, где - в данном контексте обозначает операцию отображения. Элемент chocolate (шоколад, который определен в множестве А, отображается, или ассоциируется с элементами pie (торт) и candy (конфета) в множестве В, и аналогичная ситуация создается для элемента земляника 5.5. Приближенные рассуждения 455 Если Хи У универсальные множества, то следующее выражение определяет нечеткое отношение на Х х У В = (рд(х, р)/(х, у) (х, р) С Х х У По существу, нечеткое отношение представляет собой нечеткое подмножество в универсуме декартова произведения. Другое определение нечетких множеств в большей степени подходит для работы с нечеткими графами. Нечеткое отношение для N множеств определяется как расширение четкого отношения, которое включает обозначения степеней принадлежности. Таким образом, имеет место следующее соотношение, которое определяет ассоциацию со степенью принадлежности каждого элементного кортежа В = (pR(+1) +2> х)/(х1, х. ху) х. Е Х, г = 1, N} Для бинарного отношения, применяемого в примере с тортом, в качестве нечеткого отношения можно использовать другое определение, позволяющее показать, что некоторое лицо гораздо больше любит шоколадный торт, чем земляничный В = (.9/(chocolate, pie), .2/(strawberry, pie) } Удобный способ представления отношения состоит в использовании матрицы. Например, для отношения LIKES SWEETS может быть определено следующее соотношение, в котором MR обозначает матричное представление нечеткого отношения pie cand chocolate 0.9 В = йгажЬепу 0.2 0.1 Следует отметить, что для четких множеств матрица MR состояла бы только из нулей и единиц, поэтому позволяла бы лишь представить такую ситуацию, в которой человек либо очень любит, либо совсем не любит определенное сочетание начинки и кондитерского изделия, которое представлено в виде упорядоченной пары (йачог, sweet). (По-видимому, этот пример является лучшим доказательством того, что наши представления о мире фактически легче выразить с помощью нечетких, а нечетких формулировок) Композиция отношений представляет собой чистый результат применения одного отношения после другого. Для случая двух бинарных отношений Р и Q композиция отношений представляет собой следующее бинарное отношение В ВАС, Во, СВ этой формуле применяются следующие обозначения, а знак о служит для обозначения операции композиции Глава 5. Нестрогие рассуждения 456 ВАС отношение между Аи СВ отношение между Аи В P(B, С) отношение между В и С А, В и С — множества. Отношение В выражает результат, полученный после применения вначале отношения Р, а затем Q. В терминах степеней принадлежности эту мысль можно выразить следующим образом В = ,ид(а, с)/(а, с) а Е Ас Е СВ этой формуле значение pR определено так рд(А, С) = v [рд(А, В) Л рр(В, СВ, рр(В, C))] bEB Указанную композицию принято называть матричным произведением maxmin, или просто мах. При выполнении операций с матрицами функции max и min могут использоваться вместо операций сложения и умножения. В качестве примера определим следующие отношения 0.1 0.2 0.1 0.3 0.5 0.3 0.4 0.2 0.0 0.4 В таком случае композиция R этих отношений будет выражаться таким образом 0.1 0.2 0.1 0.3 0.5 о 0.3 0.4 0.2 0.0 0.4 В = QoP= max(0.1, 0.2) max(0.1, 0.0) max(0.1, 0.2) max(0.1, 0.2) max(0.3, 0.0) max(0.3, 0.4) B— = QîÐ= 0.2 0.1 0.2 0.2 0.3 0.4 К числу других широко применяемых определений реляционных операций относятся произведение и реляционное соединение. Как будет показано ниже, нечеткие отношения имеют важные приложения в области приближенных рассуждений. Еще одним важным понятием теории нечетких множеств является проекция отношения. По существу, проекция позволяет удалить указанные элементы. Прежде чем перейти к рассмотрению формальных определений, ознакомимся с простым примером, приведенным в табл. 5.10. 5.5. Приближенные рассуждения 457 Таблица 5.10. Отношение и его проекции у у уз Первая проекция Xg 0.2 0.1 0.2 Жя 0.2 0.3 0.4 Вторая проекция 0.2 0.3 0.4 0.2 0.4 0.4 Общая проекция В х, yy + .1/xy, yg + .2/ху, уз + х, уху, уз Первая проекция обозначается как В, эта проекция может быть получена путем удаления всех элементов, кроме первой точки х, декартовой пары х, у, в которой крайний левый элемент определен как первый В = х + х + .2/x> + .2/xp + х +х После получения этой проекции уравнение для В еще больше сокращается, поскольку знак + соответствует знаку операции объединения и поэтому сохраняется только максимальный нечеткий элемент В — — .2/xy + Аналогичным образом, во второй проекции сохраняется только вторая точка каждой декартовой пары, у В — — у + у узу+ у + уз Это соотношение в результате применения операции объединения сводится к следующему В — у + .3/yg + уз В общем случае, когда в отношении участвуют N декартовых точек, необходимо удалить все компоненты элементного кортежа, кроме тех, по которым В табл. 5.10 показаны проекции приведенного выше отношения для В. В этой таблице для удобства строками столбцам были присвоены идентификаторы хи у. Обратите внимание на то, что столбец, обозначенный как первая проекция, содержит значение максимальной степени принадлежности для данной строки. Аналогичным образом, строка, обозначенная как вторая проекция, содержит значение максимальной степени принадлежности для каждого столбца. Ячейка со значением в нижнем правом углу, обозначенная как общая проекция, представляет собой максимальную степень принадлежности для всего отношения. Отношение для В может быть записано в терминах хи у, следующим образом: Глава 5. Нестрогие рассуждения 458 В = (,ид(х,у)/(х,y)j для всех (х,y) C Х х У первая проекция определяется последующей формуле рго(В;Х) = В в которой В = (max х (хе Х х У) У и значение max определяется по всем точкам у. Аналогичным образом, имеет место формула proj(R; Y) = R2 в которой В = (мах,ид(х, у)/у (х, y) E Х х У) и значение max определяется по всем значениям х для отношения Цилиндрическое расширение отношения проекции определено как наибольшее нечеткое отношение, совместимое с проекцией. Цилиндрическая проекция в определенной мере аналогична обычной проекции, поскольку распространяет проектируемое значение (которое является максимальным) на все другие элементы, например, как показано ниже. proj(R;X) = Rl = .2/xl +.4/ õ2 Поэтому имеет место следующее В = .2/xl, д + х, ух, уз+ + х, yl + х, д + х, уз В = .2/yl х + .2/yl x2 +у, x1+ + З х + З/У2 х+ + д, xl + уз, х Это означает, что происходит замена второй переменной, х, все переменные) + .4/x2, (все переменные. Операция проекции позволяет получить значение max р, поэтому цилиндрическое расширение представляет собой наибольшее отношение, совместимое с проекцией. должна быть выполнена проекция. Например, если отношение определено на N точках, то операция В1з удаляет все точки, кроме первой, третьей и шестой. Для отношения, заданного на универсальном множестве Х х У 5.5. Приближенные рассуждения 459 На основании предыдущего примера может быть получено следующее соотношение, в котором вертикальная черта над проекцией символически обозначает цилиндрическое расширение проекции 0.2 0.2 0.2 0.4 0.4 0.4 0.2 0.3 0.4 0.2 0.3 0.4 R o S = proj (R Г S); (Их Из) Лингвистические переменные Одной из очень важных областей применения нечетких множеств является компьютерная лингвистика. Перед этой наукой поставлена цель обеспечить проведение вычислений над предложениями естественного языка таким же образом, как логика обеспечивает обработку логических высказываний. Для количественной оценки смысла предложений естественного языка применяются нечеткие множества и лингвистические переменные, после чего появляется возможность манипулировать этими предложениями. Лингвистическим переменным присваиваются значения, представляющие собой такие выражения, как слова, фразы или предложения естественного или искусственного языка. В табл. 5.11 показаны некоторые лингвистические переменные и типичные значения, которые могут быть им присвоены. Таблица 5.11. Лингвистические переменные и типичные значения Лингвистическая переменная Типичные значения Карликовый, небольшой, средний, высокий, гигантский Рост Почти отсутствуют, несколько, немного, много Младенец, малыш, ребенок, подросток, взрослый Красный, синий, зеленый, желтый, оранжевый Тусклый, слабый, нормальный, яркий, интенсивный Количество предметов Этапы развития человека Цвет Свет Торт, пирог, мороженое, эклер Десерт Композиция может быть определена в терминах операций проекции и цилиндрического расширения. Для бинарного отношения В, определенного на универсальном множестве Их И, и отношения S, определенного на Их Из, композиция выражается следующей формулой Глава 5. Нестрогие рассуждения Таблица 5.12. Некоторые эвристические правила, в которых применяются лингвистические переменные, полученные путем логического вывода Правило IF звук слишком слаб THEN повернуть регулятор громкости в сторону увеличения IF вода слишком горяча добавить холодной воды IF давление слишком высоко открыть предохранительный клапан IF процентные ставки повышаются THEN покупать облигации IF процентные ставки снижаются THEN покупать акции В этих правилах подразумевается использование таких лингвистических переменных, как "громкость звука, "температура воды" и т.д. Некоторые лингвистические переменные, такие как громкость звука, могут рассматриваться как метки нечетких множеств второго порядка. Например, как разные значения громкости звука могут рассматриваться уровни басового, дискантового и реверберирующего звука, где каждое из этих значений может представлять собой лингвистические переменные, принимающие такие значения, которые сами являются нечеткими множествами. Поэтому лингвистические переменные могут быть упорядочены в иерархию, соответствующую порядку их нечетких множеств. В конечном итоге достигается нечеткое множество первого порядка, такое как TALL (высокий) или басовый, которое определяется как отображение на замкнутый интервал [0, 1], и поэтому лингвистическое значение становится числовой областью определения. Множеством термов Т(А) лингвистической переменной А называется множество значений, которые может принимать эта переменная. В качестве примера можно привести следующее множество, где каждый из термов в) представляет собой метку нечеткого множества T(PIE) = CHOCOLATE+ APPLE + STRAWBERRY+ PECAN Безусловно, возможно определить значения, такие как красный цвет, соответствующие этим лингвистическим значениям, но по своему характеру такие определения являются весьма субъективными. Например, красный цвет соответствует ряду значений цвета, воспринимаемых глазом как красный, а не одному лишь значению. Дополнительные сложности связаны с такими цветами, как аквамариновый. Следует ли рассматривать его как синий или зеленый Лингвистические переменные обычно используются в эвристических правилах. Но значения переменных могут устанавливаться с помощью логического вывода, как показывают первые два правила в табл. 5.12. 5.5. Приближенные рассуждения 461 Такие множества могут быть объединением других множеств, состоящих из подмножеств, например, как показано ниже. CHOCOLATE = SEMI-SWEET CHOCOLATE+ MILK CHOCOLATE + DUTCH CHOCOLATE+ DARK CHOCOLATE+... В других определениях для нечеткого множества CHOCOLATE могут применяться барьеры (hedge), или кванторы, модифицирующие смысл множества. Например, нечеткое множество описывающее шоколадные изделия одного типа, может быть определено следующим образом CHOCOLATE = Very CHOCOLATE+ Very Very CHOCOLATE+ + More Or Less CHOCOLATE+ + Slightly CHOCOLATE+ + Plus CHOCOLATE+ Not Very CHOCOLATE+ .. Как показано в табл. 5.13, стандартные барьеры могут быть определены в терминах некоторых операций с нечеткими множествами и некоторого нечеткого множества F. Таблица 5.13. Некоторые лингвистические барьеры и операции Барьер Определение операции Как показывает барьер "Not Very" (Не очень много, комбинируя операции, можно создавать другие составные барьеры. Обратите внимание на то, что слово "Г в описании барьера "Slightly" (Немного) — это знак операции с нечеткими множествами, соответствующей пересечению, П, которая распространяется на нечеткие множества "Plus" (Больше чем) и "Not (Very F)" (Не очень F). На рис. 5.16 показана иерархия термов лингвистической переменной Appetite (Аппетит). Предполагается, что нечеткие множества ПОНТ (Слабый) и (Сильный) выражаются функциями, а для представления множества МОРЕ- КАТЕ (Умеренный) используется П-функция. Обратите внимание на то, что пересекаются не только такие нечеткие множества, как LIGHT и, но даже LIGHT и HEAVY. В данном случае Very F More or Less F Plus F Not F Not Very F Slightly F CON(F) = F2 РП (F) Р р 1 — F 1 — CON(F) INT [NORM (PLUS F And NOT (VERY F))] 462 Глава 5. Нестрогие рассуждения Рис. Лингвистическая переменная Appetite и ее значения T(Age) = (OLD, Very OLD, Very Very OLD,... ) можно сформировать рекурсивно с использованием такого синтаксического пра- вила: Т'+ = (ОЬР) u (Very Т) между классическими четкими множествами не должно быть пересечения, поскольку все подобные множества являются непересекающимися. Это означает, что при использовании четкого определения аппетит не может иметь ничего общего с аппетитом или HEAVY. С другой стороны, при использовании нечетких множеств резкие границы между множествами обычно отсутствуют (если такие границы не определены явно). Барьерные множества отображаются в виде курсивных кривых внутри границ самих нечетких множеств. Такие барьеры, как (Очень, применяются к лингвистическим переменным в качестве модификаторов для получения нечетких множеств Very LIGHT, Very MODERATE и Very HEAVY. Лингвистическая переменная должна иметь действительные синтаксис и семантику, определяемые нечеткими множествами или правилами. А синтаксические правила служат для определения формально правильных выражений в множестве термов T(1). В частности, следующее множество термов. Приближенные рассуждения 463 Например, это правило позволяет сформировать следующий ряд множеств Т = И (пустое множество) Т = (OLD) Т = jOLD, Very OLD) Т = (OLD, Very OLD, Very Very OLD) Семантическое правило, связанное с множеством термов T(L), определяет смысл терма L, в множестве L на основании нечеткого множества. Например, семантическое правило для терма Very OLD (Очень старый) можно определить таким образом Very OLD = роьв 2 В этом правиле функция принадлежности может быть определена как следующая функция Р,оаэи(Х) = S(x;60,70,80) Первичным термом является такой терм, как YOUNG, OLD, CHOCOLATE, STRAWBERRY и т.д., смысл которого должен быть определен до установки барьера. Барьеры модифицируют смысл первичных термов для получения других термов в множествах термов, таких как Very YOUNG (Очень молодой, Very OLD (Очень старый, Very CHOCOLATE (Имеющий большое содержание шоколада, Slightly CHOCOLATE (Содержащий небольшую добавку шоколада) и т.д. Смысл барьерных нечетких множеств можно определить, применяя соответствующие операции с нечеткими множествами, например, как показано ниже. 2 @Very CHOCOLATE — PCHOCOLATE P1VotCHOCOLATE = i PCHOCOLATE 0.5 Р'МотеОтйе88СНОСО? АТЕ = CHOCOLATE ЯИоЮeryCHOCOLATE = 1- Ю установленным на нечетком множестве man (мужчина. На первый взгляд может показаться, что множество man не должно быть нечетким. Нов том, что это действительно так, можно убедиться, попытавшись ответить на вопрос — когда мальчик становится мужчиной У некоторых народов мальчик становится мужчиной влет или после религиозной церемонии. В законодательствах некоторых стран дано определение мужчины как лица мужского пола, достигшего 18 лет или 21 года. А в США в газетных статьях, по-видимому, принята практика называть лицо мужского пола в возрасте от 17 до 19 лет мужчиной, если его обвиняют в совершении преступления, если же таким же лицом в возрасте от 17 до 19 лет совершен какой-то похвальный поступок, его называют юношей. Лиц мужского пола, которые служат в вооруженных силах, иногда называют парнями, а иногда бойцами, особенно в речах политиков. Нечеткую грамматику можно определить в системе обозначений на основе нормальной формы Бэкуса — Наура, вводя нетерминальные символы, как в следующем примере |