Основная курсовая (Восстановлен). Организация принятия решений в условиях неопределённости
 Скачать 282.53 Kb.
|
  МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ КП.881. Федеральное агентство связи Уральский технический институт связи и информатики (филиал) ФГБОУ ВО «Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики» в г. Екатеринбурге (УрТИСИ СибГУТИ)  КУРСОВОЙ ПРОЕКТпо междисциплинарному курсу: «Математические методы» на тему: «Организация принятия решений в условиях неопределённости» Вариант № 13 Выполнил: Студент группы 881 Гусев В.И. Руководитель: Тюпина О.М. г. Екатеринбург, 2019 г.  Отзыв руководителяФедеральное агентство связи Уральский технический институт связи и информатики (филиал) ФГБОУ ВО «Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики» в г. Екатеринбурге (УрТИСИ СибГУТИ) Цикловая комиссия ИТ и АСУ кафедры ИСТ ЗАДАНИЕ ДЛЯ КУРСОВОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ По междисциплинарному курсу Математические методы Студента 2 курса 881 группы Гусева Василия Игоревича ТЕМА ЗАДАНИЯОрганизация принятия решений в условиях неопределённости ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ ВАРИАНТ 13 Рассмотреть теоретические вопросы, связанные с организацией принятия решений в условиях неопределённости. Составить программу, принимающую решения в условиях неопределённости, используя критерии Гурвица и Сэвиджа. При выполнении курсового проекта на указанную тему должны быть представлены: Пояснительная записка Введение; принятие решений в условиях неопределённости; элементы теории игр; критерий решения Вальда; критерий решения Гурвица;критерий решений Сэвиджа;критерий решений Лапласа;программная реализация задач; разработка алгоритма программы; выбор инструментальных средств программы; руководство пользователя; заключение; библиография; приложение A 2.Графическая часть Дата выдачи Срок окончания Председатель ЦК ИТиАСУ кафедры ИСТ Преподаватель – руководитель Тюпина О.М. ________________________ Студент Гусев В.И. Содержание Введение 6 1 Принятие решений в условиях неопределённости 6 1.1 Общие сведения 7 1.2 Элементы теории игр 8 1.3 Критерий решения Вальда 10 1.4 Критерий Гурвица 12 1.5 Критерий Сэвиджа 13 1.6 Критерий решений Лапласа 14 2 Програмная релизация задачи 14 2.1 Обоснование выбора языка программирования 14 2.2 Алгоритм работы программы 15 2.3 Инструкция по работе с программой 16 На рисунке 2.4 представлено окно для критерия Сэвиджа. 16 На рисунке 2.6 При вводе некоректных размеров матрицы всплывает ошибка. 17 Заключение 19 Библиография 20      Тюпина О.М.  Тюпина О.М. Тюпина О.М. Гусев В.И. Н.Контр. Реценз. Пров. Разраб. УрТИСИ СибГУТИ Лит. Задача о сортировке массивов Пояснительная записка    Тюпина О.М. Тюпина О.М. Тюпина О.М. Принятие решений в условиях неопределённости Пояснительная записка 09.02.03.000018 П.876 ПЗ Лит. УрТИСИ СибГУТИ Гусев В.И. Разраб. Пров. Реценз. Н.Контр. Введение Принятие решений - это особый вид деятельности человека, направленный на выбор путей достижения цели. Принятие решений является основной частью работы руководителей на любом звене практически любого предприятия. Следовательно, понимание всех тонкостей процесса принятия решений в различных условиях, знание и применение различных методов и моделей принятия решений играет важную роль в повышении эффективности работы организации. Актуальность темы курсовой работы обусловлена особой значимостью проблемы исследования. В современных условиях, чтобы быть конкурентоспособными, получать прибыль и сокращать потери, предпринимательские структуры должны принимать стратегические и тактические решения в условиях нестабильности. Принятие управленческого решения - это выбор того, как и что планировать, организовывать, мотивировать и контролировать. Руководители предприятий должны разобраться в многочисленных комбинациях потенциальных действий, чтобы найти наиболее правильные действия для организации в данное время и в определенном месте. Фактически, чтобы организация стабильно работала, лидер должен сделать ряд правильных выборов из нескольких альтернативных. Неопределенность также характерна для тех решений, где необходимо принять решение в быстро меняющихся обстоятельствах. На практике не все управленческие решения принимаются в условиях полной неопределенности. Чаще всего лицо, принимающее решение, имеет некоторую информацию, которая помогает ему, но ее количество или качество определяют степень неопределенности. Таким образом, проблема экологической неопределенности в процессе принятия управленческих решений является чрезвычайно актуальной. Целью данной работы является рассмотреть теоретические вопросы, связанные с организацией принятия решений в условиях неопределённости. Составит программу, принимающую решения в условиях неопределённости, используя критерии Гурвица и Сэвиджа. Для достижения поставленной цели, ставятся следующие задачи: - изучить различные критерии принятия решений в условиях неопределённости; - разработать алгоритм работы программы; - произвести анализ инструментальных средств разработки; - реализовать алгоритм на языке программирования. - оформить пояснительную записку. 1 Принятие решений в условиях неопределённости 1.1 Общие сведения Принятие решений в условиях неопределенности основано на том , что вероятности различных сценариев неизвестны. В этом случае субъект руководствуется, с одной стороны, своим предпочтением риска, а с другой - критерием выбора из всех альтернатив согласно скомпилированной «матрице решений». Принятие решения в отношении риска основывается на том, что в каждой ситуации может быть дана вероятность ее реализации. Это позволяет взвесить каждое из значений эффективности и выбрать нужный вариант с самым низким уровнем риска. Обоснование и выбор конкретных управленческих решений, связанных с финансовыми рисками, основаны на концепции и методологии теории принятия решений. Эта теория предполагает, что решения, связанные с риском, всегда имеют элементы неизвестного специфического поведения начальных параметров, которые не позволяют четко определить значения конечных результатов этих решений. В зависимости от степени неизвестности предстоящего поведения исходных параметров принятия решений различают условия риска, при которых вероятность возникновения отдельных событий, влияющих на конечный результат, может быть установлена с той или иной степенью точности, а также условия неопределенности , в котором из-за отсутствия необходимой информации вероятность не может быть установлена. Теория принятия решений в условиях неопределенности основана на следующих отправных точках: - Объект принятия решения четко определен и из него известны основные возможные факторы риска. В управлении финансами такими объектами являются отдельная финансовая сделка, определенный тип ценных бумаг, группа взаимоисключающих реальных инвестиционных проектов и т. д. - Для объекта принятия решения был выбран показатель, который наилучшим образом описывает эффективность этого решения. Для краткосрочных финансовых операций этот индикатор обычно выбирает сумму или уровень чистой прибыли, а для долгосрочных финансовых операций - чистую приведенную стоимость или внутреннюю норму прибыли. - Для объекта принятия решений был выбран показатель, характеризующий уровень его риска. Финансовые риски обычно характеризуются степенью возможного отклонения ожидаемого показателя эффективности (чистой прибыли, чистой приведенной стоимости и т. д.) От его среднего или ожидаемого значения. - Существует конечное число альтернатив принятия решений (конечное число альтернативных реальных инвестиционных проектов, конкретных ценных бумаг, методов проведения определенной операции и т. д.). - Существует конечное число ситуаций, в которых событие развивается под влиянием изменений факторов риска. В финансовом управлении каждая из этих ситуаций характеризует одно из возможных будущих условий внешней финансовой среды под влиянием изменений отдельных факторов риска. Количество таких ситуаций в процессе принятия решений должно определяться в диапазоне от крайне благоприятного (наиболее оптимистичная ситуация) до крайне неблагоприятного (наиболее пессимистичная ситуация). Для каждой комбинации альтернатив принятия решений и ситуаций развития событий может быть определен окончательный показатель эффективности решения (конкретное значение суммы чистой прибыли, чистой приведенной стоимости и т. Д., Соответствующее этой комбинации ). Для каждой из рассматриваемых ситуаций можно или невозможно оценить вероятность ее реализации. Возможность оценки вероятности делит всю систему решений о рисках на ранее рассмотренные условия их обоснования. Решение принимается в соответствии с лучшими из рассмотренных альтернатив. 1.2 Элементы теории игр Классическими задачами системного анализа являются игровые задачи принятия решений в условиях риска и неопределенности. Неопределенными могут быть как цели операции, условия выполнения операции, так и сознательные действия противников или других лиц, от которых зависит успех операции. Разработаны специальные математические методы, предназначенные для обоснования решений в условиях риска и неопределенности. В некоторых, наиболее простых случаях эти методы дают возможность фактически найти и выбрать оптимальное решение. В более сложных случаях эти методы доставляют вспомогательный материал, позволяющий глубже разобраться в сложной ситуации и оценить каждое из возможных решений с различных точек зрения, и принять решений с учетом его возможных последствий. Одним из важных условий принятия решений в этом случае является минимизация риска. При решении ряда практических задач исследования операций (в области экологии, обеспечения безопасности жизнедеятельности и т. д.) приходится анализировать ситуации, в которых сталкиваются две (или более) враждующие стороны, преследующие различные цели, причем результат любого мероприятия каждой из сторон зависит от того, какой образ действий выберет противник. Теория игр является математической теорией конфликтных ситуаций, при помощи которой можно выработать рекомендации по рациональному образу действий участников конфликта. Чтобы сделать возможным математический анализ ситуации без учета второстепенных факторов, строят упрощенную, схематизированную модель ситуации, которая называется игрой. Игра ведется по вполне определенным правилам, под которыми понимается система условий, регламентирующая возможные варианты действий игроков; объем информации каждой стороны о поведении другой; результат игры, к которому приводит каждая данная совокупность ходов. Результат игры (выигрыш или проигрыш) вообще не всегда имеет количественное выражение, но обычно можно, хотя бы условно, выразить его числовым значением. Ход - выбор одного из предусмотренных правилами игры действий и его осуществление. Ходы делятся на личные и случайные. Личным ходом называется сознательный выбор игроком одного из возможных вариантов действий и его осуществление. Случайным ходом называется выбор из ряда возможностей, осуществляемый не решением игрока, а каким-либомеханизмом случайного выбора (бросание монеты, выбор карты из перетасованной колоды и т. п.). Для каждого случайного хода правила игры определяют распределение вероятностей возможных исходов. Игра может состоять только их личных или только из случайных ходов, или из их комбинации. Следующим основным понятием теории игр является понятие стратегии. Стратегия - это априори принятая игроком система решений (вида «если - то»), которых он придерживается во время ведения игры, которая может быть представлена в виде алгоритма и выполняться автоматически. Целью теории игр является выработка рекомендаций для разумного поведения игроков в конфликтной ситуации, т.е. определение «оптимальной стратегии» для каждого из них. Стратегия, оптимальная по одному показателю, необязательно будет оптимальной по другим. Сознавая эти ограничения и по этому, не придерживаясь слепо рекомендаций, полученных игровыми методами, можно все же разумно использовать математический аппарат теории игр для выработки, если не в точности оптимальной, то, во всяком случае «приемлемой» стратегии. Игры можно классифицировать: по количеству игроков, количеству стратегий, характеру взаимодействия игроков, характеру выигрыша, количеству ходов, состоянию информации и т.д. В зависимости от количества игроков различают игры двух и n игроков. Первые из них наиболее изучены. Игры трех и более игроков менее исследованы из-за возникающих принципиальных трудностей и технических возможностей получения решения. В зависимости от числа возможных стратегий игры делятся на «конечные» и «бесконечные». Игра называется конечной, если у каждого игрока имеется только конечное число стратегий, и бесконечной, если хотя бы у одного из игроков имеется бесконечное число стратегий. По характеру взаимодействия игры делятся на бескоалиционные: игроки не имеют права вступать в соглашения, образовывать коалиции; коалиционные (кооперативные) - могут вступать в коалиции. В кооперативных играх коалиции заранее определены. По характеру выигрышей игры делятся на: игры с нулевой суммой (общий капитал всех игроков не меняется, а перераспределяется между игроками; сумма выигрышей всех игроков равна нулю) и игры с ненулевой суммой. По виду функций выигрыша игры делятся на: матричные, биматричные, непрерывные, выпуклые и др. Матричная игра - это конечная игра двух игроков с нулевой суммой, в которой задается выигрыш игрока 1 в виде матрицы (строка матрицы соответствует номеру применяемой стратегии игрока 1, столбец - номеру применяемой стратегии игрока на пересечении строки и столбца матрицы находится выигрыш игрока 1, соответствующий применяемым стратегиям). Для матричных игр доказано, что любая из них имеет решение, и оно может быть легко найдено путем сведения игры к задаче линейного программирования. Биматричная игра - это конечная игра двух игроков с ненулевой суммой, в которой выигрыши каждого игрока задаются матрицами отдельно для соответствующего игрока (в каждой матрице строка соответствует стратегии игрока 1, столбец - стратегии игрока 2, на пересечении строки и столбца в первой матрице находится выигрыш игрока 1, во второй матрице - выигрыш игрока ) Непрерывной считается игра, в которой функция выигрышей каждого игрока является непрерывной. Доказано, что игры этого класса имеют решения, однако не разработано практически приемлемых методов их нахождения. Если функция выигрышей является выпуклой, то такая игра называется выпуклой. Для них разработаны приемлемые методы решения, состоящие в отыскании чистой оптимальной стратегии (определенного числа) для одного игрока и вероятностей применения чистых оптимальных стратегий другого игрока. Такая задача решается сравнительно легко. 1.3 Критерий решения Вальда Критерий Вальда является самым «осторожным». Согласно ему, оптимальной альтернативой будет та, которая обеспечивает наилучший исход среди всех возможных альтернатив при самом плохом стечении обстоятельств. Если исходы отражают подлежащие минимизации показатели (убытки, расходы, потери и т.д.), то критерий Вальда ориентируется на «минимакс» (минимум среди максимальных значений потерь всех альтернатив). Если в качестве исходов альтернатив фигурируют показатели прибыли, дохода и других показателей, которые надо максимизировать (по принципу «чем больше, тем лучше»), то ищется «максимин» выигрыша (максимум среди минимальных выигрышей). Здесь и далее для всех критериев в тексте мы будем рассматривать именно такой случай, когда исход показывает некий выигрыш. По критерию Вальда оценкой i-й альтернативы является ее наименьший выигрыш (формула 1.1): Wi = min(xij), j = 1..M (1.1) Оптимальной признается альтернатива с максимальным наихудшим выигрышем (формула 1.2): Х* = Хk, Wk = max(Wi), i = 1..N (1.2) Выбрав оптимальную альтернативу по критерию Вальда, лицо принимающее решение гарантирует себе, что при самом худшем стечении обстоятельств он не получит меньше, чем значение критерия. Поэтому данный показатель еще называют критерием гарантированного результата. Основной проблемой критерия Вальда является его излишняя пессимистичность, и, как следствие, не всегда логичный результат. Так, например, при выборе по данному критерию между альтернативами А{100; 500} и В{90; 1000} следует остановиться на варианте А. Однако в жизни логичнее было бы выбрать В, так как в худшем случае В лишь немного хуже А, тогда как при хорошем стечении обстоятельств В обеспечивает гораздо больший выигрыш. Пример применения критерия Вальда. Есть два проекта Х1 и Х2, которые при трех возможных сценариях развития региона (j=1..3) обеспечивают разную прибыль. Значения прибыли приведены в таблице на рисунке - 1.1. Необходимо выбрать проект для реализации.  Рисунок – 1.1 – Исходные данные Среди возможных проектов нет доминирующих ни абсолютно, ни по состояниям. Поэтому решение придется принимать по критериям. Если выбор оптимального проекта осуществляется по критерию Вальда, то лицо принимающее решение должен выполнить следующие действия: 1) Найти минимальные исходы для каждой альтернативы. Это и будут значения критерия Вальда: W1 = min( x1j ), j = 1..3 => W1 = min(45, 25, 50) = 25 W2 = min( x2j ), j = 1..3 => W2 = min(20, 60, 25) = 20 2) Сравнить значения критерия Вальда и найти наибольшую величину. Альтернатива с максимальным значением критерия будет считаться оптимальной: 25 > 20 => W1 > W2 => X* = X1 Если бы решение принималось только по критерию Вальда, то лицо принимающее решние выбрал для реализации проект Х1, поскольку прибыль, которую обеспечит данный проект при самом плохом развитии ситуации, выше. 1.4 Критерий Гурвица Этот критерий рекомендует при выборе решения в условиях неопределенности не руководствоваться ни крайним пессимизмом (всегда «рассчитывай на худшее», α =0), ни крайним оптимизмом («все будет наилучшим образом», α =1). Рекомендуется некое среднее решение (0≤ α ≤1). Этот критерий имеет вид Н = max [α min e ij + (1 - α ) max e ij], ijj где α - некий коэффициент, выбираемый экспериментально из интервала между 0 и 1. Использование этого коэффициента вносит дополнительный субъективизм в принятие решений с использованием критерия Гурвица. Пример применения критерия Гурвица. Рассмотрим принятие решения по критерию Гурвица для Лица принимающего решение (ЛПР), настроенного оптимистически (λ = 0.8), и Лица принимающего решение -пессимиста (λ = 0.3). Порядок действий таков: 1)Найдем максимальные xi max и минимальные xi min исходы для каждого проекта: x1 max = max(45, 25, 50) = 50 x1 min = min(45, 25, 50) = 25 x2 max = max(20, 60, 25) = 60 x2 min = min(20, 60, 25) = 20 2)Рассчитаем величину критерия Гурвица при заданных значениях коэффициента оптимизма: ЛПР-оптимист (λ=0.8): H1(0.8) = λ x1max + (1 - λ) x1min = 0.8×50 + (1 - 0.8)×25 = 45 H2(0.8) = λ x2max + (1 - λ) x2min = 0.8×60 + (1 - 0.8)×20 = 52 ЛПР-пессимист (λ=0.3): H1(0.3) = λ x1max + (1- λ) x1min = 0.3×50 + (1 - 0.3)×25 = 32.5 H2(0.3) = λ x2max + (1- λ) x2min = 0.3×60 + (1 - 0.3)×20 = 32 3)Сравним полученные величины. Оптимальными для каждого ЛПР будут альтернативы с максимальным значением критерия Гурвица: ЛПР - оптимист (λ = 0.8): 45 < 52 => H1(0.8) < H2(0.8) => X* = X2 ЛПР-пессимист (λ = 0.3): 32.5 < 32 => H1(0.3) > H2(0.3) => X* = X1 Как мы видим, выбор оптимальной альтернативы в одних и тех же условиях существенным образом зависит от отношения ЛПР к риску. Если для пессимиста оба проекта примерно равноценны, то оптимист, который надеется на лучшее, выберет второй проект. Его высокая наилучшая прибыль (60) при больших значениях коэффициента λ значительно повышает ценность данного проекта по критерию Гурвица. 1.5 Критерий Сэвиджа Минимаксный критерий Сэвиджа. В соответствии с этим критерием, если требуется в любых условиях избежать большого риска, то оптимальным будет то решение, для которого риск, максимальный при различных вариантах условий, окажется минимальным. Критерий минимаксного риска Сэвиджа. При его использовании обеспечивается наименьшее значение максимальной величины риска: S = min max r ij, i j где риск rij определяется выражением: r ij = βj - e ij, β - максимально возможный выигрыш. Критерий Сэвиджа, как и критерий Вальда, - это критерий крайнего пессимизма, но только пессимизм здесь проявляется в том, что минимизируется максимальная потеря в выигрыше, по сравнению с тем, чего можно было бы достичь в данных условиях. Пример применения критерия Сэвиджа Применим алгоритм действий для принятия решения в условиях задачи из примера критерия Вальда. 1)Найдем наибольшую возможную величину прибыли для каждого сценария развития региона: y1 = max (x11, x21) = max(45, 20) = 45 y2 = max (x12, x22) = max(25, 60) = 60 y3 = max (x13, x23) = max(50, 25) = 50 2)Рассчитаем значения «сожалений» для каждого проекта при каждом сценарии (т.е. найдем недополученную прибыль по сравнению с максимально возможной при данном сценарии развития). Составим из полученных значений «матрицу сожалений» (1.2). для проекта Х1: r11 = y1 - x11 = 45 - 45 = 0 r12 = y2 - x12 = 60 - 25 = 35 r13 = y3 - x13 = 50 - 50 = 0 для проекта Х2: r21 = y1 - x21 = 45 - 20 = 25 r22 = y2 - x22 = 60 - 60 = 0 r23 = y3 - x23 = 50 - 25 = 25  Рисунок – 1.2 – Матрица сожалений R (для примера) 4)В полученной матрице по каждой строке найдем наибольшую величину «сожаления» для каждого проекта (последний столбец в таблице на рисунке - 1) Это значение соответствует оценке данной альтернативы по критерию Сэвиджа. S1 = max(0, 35, 0) = 35 S2 = max(25, 0, 25) = 25 5)Сравним полученные величины и найдем проект с минимальным (!) значением критерия. Он и будет оптимальным: 35 > 25 => S1 > S2 => X* = X2 Лицо принимающее решение, руководствующийся при принятии решений критерием Сэвиджа, выберет проект Х2. 1.6 Критерий решений Лапласа Критерий Лапласа, или Байесов критерий гласит, что если вероятности состояния среды неизвестны, то они должны приниматься как равные. В этом случае выбирается стратегия, характеризующаяся самой предполагаемой стоимостью при условии равных вероятностей. Критерий Лапласа позволяет условие неопределенности сводить к условиям риска. Критерий Лапласа называют критерием рациональности, и он подходит для стратегических долгосрочных решений, как и все вышеназванные критерии. Пример применения критерия Лапласа Для условий из примера критерия Вальда, использование критерия Лапласа будет выглядеть следующим образом: 1)Найти среднее арифметическое значение исходов по каждому проекту. Оно является оценкой альтернативы по критерию Лапласа: L1 = (x11+x12+x13)/3 = (45+25+50)/3 = 40 L2 = (x21+x22+x23)/3 = (20+60+25)/3 = 35 2)Сравнить рассчитанные величины и найти альтернативу с максимальным значением критерия: 40 > 35 => L1 > L2 => X* = X1 По критерию Лапласа оптимальным является проект Х1, у которого наибольшая средняя прибыль. 2 Програмная релизация задачи 2.1 Обоснование выбора языка программирования Причиной выбора языка С++ для решения поставленной задачи стало то, что язык С++ может поддерживать различные технологии и стили программирования. Язык С++ является одним из самых популярных языков программирования, несмотря на то что возник в конце 1980-х годов, так как С++ спроектирован таким образом, чтобы у программиста был максимальный контроль над всеми аспектами структуры и порядка выполнения программы. Язык С++ обладает очень богатой стандартной библиотекой, которая включает в себя распространённые контейнеры и алгоритмы, ввод-вывод, регулярные выражения, поддержку многопоточности и другие возможности. Эти и другие факторы стали причинами выбора именно данного языка программирования. 2.2 Алгоритм работы программы На рисунке 2.1 представлена блок схема для кнопки «Критерий Сэвиджа».  Рисунок 2.1 – Кнопка «критерий Сэвиджа» На рисунке 2.2 представленна блок схема для кнопки «Критерий Гурвица».  Рисунок 2.2 – Кнопка «критерий Гурвица» 2.3 Инструкция по работе с программой На рисунке 2.3 представлено главное окно программы  Рисунок 2.3 – Главное окно программы На рисунке 2.4 представлено окно для критерия Сэвиджа.  Рисунок 2.4 – Окно Критерия Сэвиджа На рисунке 2.5 представлен ввод Размера матрицы и Результат выполнения программы.  Рисунок 2.5 – Результат выполнения программы На рисунке 2.6 При вводе некоректных размеров матрицы всплывает ошибка.  Рисуно 2.6 – Ошибка На рисунке 2.7 Окно для критерия Гурвица  Рисунок 2.7 – Окно для критерия Гурвица При нажатии кнопки «Инфорация» всплывает информация о разработчике программы (рисунок 2.8)  Рисунок 2.8 – Окно для критерия Гурвица При нажатии кнопки «Инструкция » всплывает окно с инструкцией (Рисунок 2.9)  Рисунок 2.9 – Окно для критерия Гурвица Заключение В ходе выполнения курсового проекта было сделано следующее: 1) Рассмотренны теоретические вопросы, связанные с организацией принятия решений в условиях неопределённости. 2) Составлена программа, принимающая решения в условиях неопределённости, используя критерии Гурвица и Сэвиджа; 3) Была оформлена инструкция по работе с программой; 4) Оформлена пояснительная записка; Выполнены все поставленные цели и задачи. Библиография 1 Критерий Сэвиджа [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://math.semestr.ru/ 2 Теория игр [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://studfile.net/preview/6055064/page:7/ 3 Критерий Гурвица [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://math.semestr.ru/games/horowitz.php 4 Принятие решений в условиях неопределённости [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://studfile.net/preview/4497850/page:2/  26 |