ВКР_Беликов_18ВМ1_текст. Численный метод решения задачи дифракции электромагнитной волны на плоских экранах
 Скачать 0.87 Mb.
|
|
Утверждение 3.1. Для любого 𝜙 ∈ 𝑊 верна оценка 𝑖𝑛𝑓 𝜓 ∈ 𝑋 𝑁 ||𝜓 − 𝜙|| 𝑊 → 0, (3.11) 𝑁 → ∞ и, верна оценка 𝑖𝑛𝑓 𝜓 ∈ 𝑋 𝑁 ||𝜓 − 𝜙|| 𝑊 ≤ 𝐶 0 (ℎ 1 + ℎ 2 )||𝜑|| 𝐶 2 (П) , (3.12) где 𝐶 0 не зависит от ℎ 1 и ℎ 2 , если 𝜑 ∈ 𝑊 ∩ 𝐶 2 (𝛱̄). Утверждение 3.2. Метод Галеркина сходится для уравнения 𝐿(𝑘)𝑢 = 𝑓, 𝑢 ∈ 𝑊, 𝑓 ∈ 𝑊′. 31 3.3. Параллельный подход Рассматриваемая задача требуют составления матрицы как можно большего размера, что требует больших затрат времени. Для минимизирования временных затрат максимально упростим в решаемой задаче процессы, связанные с составлением матричного уравнения. Наиболее естественным подходом, упрощающим решение задач, является использование матричной симметрии. За счет этого время, потраченное на составление матрицы можно сократить в два раза. Значительно сокращается время составления матрицы при использовании внутренней симметрии матричных элементов. Матрица, полученная по алгоритму метода Галеркина, является теплицевой. Субиерархический подход в подобных задачах позволяет избавится от повторного счета матричных элементов и использовать элементы ранее насчитанные матрицы. Еще один подход при минимизации временных затрат связан с использование параллельных вычислений. В представленной задаче каждый элемент матрицы формируется независимо друг от друга, поэтому можно рассчитать элементы матрицы на нескольких процессорах или кластере. Предложенный алгоритм был запрограммирован на языке С++ [22, 23], для распараллеливания алгоритма использовалась система параллельного программирования Message Passing Interface в реализации OpenMPICH для операционной системы Linux [24 – 27]. 32 3.4. Решение задачи с базисными функциями «rooftop». Рассмотрим экран канонической формы 𝛱. Построим на нем расчетную сетку. Для этого пронумеруем последовательно вертикальные ребра, а затем горизонтальные. Будем нумеровать, только внутренние ребра, т.е. такие, на базе которых можно построить носитель для базисной функции. Все возможные виды носителя представлены на (рис. 3.3). Такая комбинация называется шаблоном носителей. Каждому ребру будет соответствовать один единственный носитель. Пример расчетной сетки представлен на (рис. 3.1). Рисунок 3.3. Следуя схеме метода Галеркина (3.1) можно рассчитать поверхностные токи на экране канонической формы. Для этого составляется система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Каждый элемент СЛАУ рассчитывается путем вычисления четырехкратного интеграла 𝐴 𝑖𝑗 = (𝐴𝜑 𝑖 , 𝜑 𝑗 ) = = − ∫ 𝐺(𝑥, 𝑦)𝑑𝑖𝑣 𝜑 𝑖 (𝑥)𝑑𝑖𝑣 𝜑 𝑗 (𝑦)𝑑𝑠 + 𝑘 2 ∫ 𝐺(𝑥, 𝑦)𝜑 𝑖 (𝑥)𝜑 𝑗 (𝑦)𝑑𝑠 Ω Ω 33 по паре носителей: 𝛱 𝑖 и 𝛱 𝑗 . Здесь 𝑥 = (𝑥 1 , 𝑥 2 ), 𝑦 = (𝑦 1 , 𝑦 2 ), а 𝐺(𝑥, 𝑦) - известная функция Грина, 𝐺(𝑥, 𝑦) = exp (𝑖𝑘|𝑥 − 𝑦|) |𝑥 − 𝑦| Правая часть СЛАУ определяется падающем полем 𝑓 1 = ∫ 𝑓𝜑 𝑗 𝑑𝑠, 𝑗 = 1, … , 𝑁. Ω Результаты счета задачи для экрана канонической формы (рис. 3.4) представлены на (рис. 3.5 – 3.8). Рисунок 3.4. Экран канонической формы. Рисунок 3.5. Распределение модлуей поверхностных токов на каноническом экране, 𝑢 𝑥 , с размером сетки 883x883, k = 1. 34 Рисунок 3.6. Распределение модлуей поверхностных токов на каноническом экране, 𝑢 𝑦 , с размером сетки 883x883, k = 1. Рисунок 3.7. Распределение модлуей поверхностных токов на каноническом экране, 𝑢 𝑥 , с размером сетки 3299x3299, k = 1. 35 Рисунок 3.8. Распределение модлуей поверхностных токов на каноническом экране, 𝑢 𝑦 , с размером сетки 3299x3299, k = 1. 36 3.5. Субирархический алгоритм Численное решение задачи для прямоугольного экрана строится методом Галеркина. Рассмотрим алгоритм решения задачи дифракции на экранах произвольной формы. Будем считать, что решение задачи найдено для прямоугольного экрана и у нас есть базовая матрица, составленная путем решения одного из проекционных методов. Для решения задачи дифракции на экране сложной формы поверхность нужно полностью соединить с прямоугольным экраном, от которого уже рассчитывается матрица. Субирархическийметод позволяет построить матрицу фигуры сложной формы, используя элементы расчетной матрицы, составленной при решении задачи на прямоугольном экране. Следует отметить, что способ работает, и в случае использования в качестве основы экрана, а не просто прямоугольной формы. При этом на сложный экран конфигурации распространяются те же условия, что и раньше, он должен быть полностью связан с базовым экраном. Итак, однажды решив задачу на экране базовой формы, мы можем использовать полученные результаты для решения ряда задач на экранах сложной геометрической формы. Описанный выше алгоритм позволяет получить решение задачи на экране канонической формы. Рассмотрим алгоритм построения решения задачи дифракции на экранах сложной геометрической формы [28]. Воспользуемся матрицей 𝐴, полученной методом Галеркина для прямоугольного экрана 𝛱. Для решения задачи на экране сложной геометрической формы 𝛺 необходимо, чтобы новый экран полностью помещалось в экран 𝛱 (рис 3.3). Введем вектор 𝑊 описывающей геометрию фигуры. Если носитель 𝛱 𝑖 (𝑖 = 1, . . . , 𝑁) принадлежит экрану 𝛺, то 𝑊 𝑖 = 1 иначе 𝑊 𝑖 = 0. Решая СЛАУ итерационным методом будем поэлементно перемножать вектор геометрии на вектор решений. Таким образом, система будет решаться на некоторой 37 подматрице 𝐴′ матрицы 𝐴. Подробное обоснование субирархического метода приведено в [28]. Из уравнения 𝐴′𝜓 = 𝑓, находим решение рассматриваемой задачи для экрана сложной геометрической формы. На (рис. 3.9) представлен пример расчета поверхностных токов для фигуры сложной геометрической формы. Примеры решения рассматриваемой задачи на различных экранах, различными методами представлены в работах [14]. Рисунок 3.9. Экран сложной формы и распределение модулей поверхностных токов на экране, 𝑢 𝑥 и 𝑢 𝑦 , с размером сетки 627х627, k = 1. Для решения рассмотренной задачи использовался суперкомпьютерный комплекс СКИФ Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова «Чебышев». 38 Заключение В дипломной работе было произведено исследование задачи дифракции электромагнитного поля на идеально проводящем тонком экране. Основные результаты дипломной работы: 1. Была произведена работа над литературой и статьями на тему дифракции электромагнитных волн и предложенные способы решения похожих задач. 2. Была поставлена задача, выбрано пространство для решения задачи дифракции электромагнитной волны на плоском экране. 3. Исследован численный метод Галеркина и субирархический алогоритм решения задачидифракции электромагнитной волны на идеально проводящем тонком экране с базисными функциями «rooftop». 4. Использовали вычислительный комплекс программ для расчетов конечного результата. Изученный в дипломной работе метод имеет большое практическое применение. Например, может быть использован при проектировании антенн, в том числе антенных решеток, уголковых отражателей и печатных плат. Также данный метод может быть использован в волновой оптике. 39 Список литературы 1. Maue A.W.// Zeitschrift fur Physik. 1949. B. 126. №7 – 9. S. 601. 2. Ilyinsky A.S., Smirnov Yu.G. Electromagnetic Wave Difraction by Conduction Screens. Utrecht: VSP, 1998. 3. Хенл Х., Мауэ А., Вестпфаль К. Теория дифракции М.: Мир, 1964. 4. Harrington R.F. Field Computation by Moment Methods. N.Y.:MacMillian? 1968. 5. Rao S. M., Wilton D.R., Glisson A.W.// IEEE Trans. 1982. V AP-30. №3. P. 409. 6. Ильинский А.С., Смирнов Ю.Г. Дифракция электромагнитных волн на проводящих тонких экранах (Псевдодифференкциальные операторы в задачах дифракции) – М.: ИПРЖР, 1996 – 176 с.: ил. 7. Медведик М. Ю., Расчет поверхностных токов в электромагнитной задаче дифракции на экранах сложной геометрической формы, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2013, том 53, номер 4, 615–623. 8. Корнейчук Н.П., Сплайны в теории приближения. М.: Наука, 1984. 9. Смирнов Ю.Г., О разрешимости векторных интегродифференциальных уравнений в задаче дифракции электромагнитного поля на экранах произвольной формы // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1994. Т. 34. No 10. С. 1461–1475. 10. Коваленко Л. И., Методические указания по математическому анализу для студентов второго курса. Элементы векторного анализа. МФТИ, 2001. 11. Котляр В. В., Интегральные методы решения задач дифракции: учеб. Пособие/ В.В. Котляр, Д.В. Нестеренко, А.Г. Налимов. – Самара: Изд-во Самар. Гос. Аэрокосм. ун-та, 2007. -160с.:ил. 12. Медведик М.Ю.,Смирнов Ю.Г.// Радиотехника и электроника, 2008 том 53, №4, с 1-6. 40 13. Смирнов Ю.Г., Медведик М.Ю., Максимова М.А. // Физикоматематические науки. Математика, 2012, №4 (24), с. 59 14. Медведик М.Ю., Смирнов Ю.Г., Соболев С.И. Параллельный алгоритм расчета поверхностных токов в электромагнитной задаче дифракции на экране //Вычислительные методы и программирование. 2005. Т. 6. С. 99. 15. Тамм И. Е. Основы теории электричества: Учеб. пособие для вузов. — 11- е изд., испр. и доп. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — 221 с. 16. Попов И.П.// Естественные и физико-математические науки, 2014, №5, с 160. 42 17. Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре: Учебное пособие для вузов.— M.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984.— с.311. 18. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз, 1963 19. Двайт Г.Б. Таблица интегралов и другие математические формулы. М.: Наука, 1983. 20. Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. – М.: Мир, 1987. 21. Медведик М.Ю. Расчет поверхностных токов в электромагнитной задаче дифракции на экранах сложной геометрической формы. // Журнал вычислительной математики и математической физики, 2013, т53, №4, с 109 – 117. 22. Шилдт Г. Полный справочник по С++. -4-е изд. -М.: Вильямс, 2003. 23. Cтрауструп Б. Язык программирования С++. Специальное издание. Пер. с англ. – М.: ООО «Бином-Пресс», 2005 г. – 1104 с.: ил. 24. Воеводин В.В., Воеводин Вл. В. Параллельные вычисления. -СПб.: БХВ-Петербург, 2002. 25. Дацюк В.Н., Букатов А.А. Жегуло А.И. Методическое пособие по курсу «Многопроцессорные системы и параллельное программирование» 41 Часть I. Введение в организацию и методы программирования многопроцессорных вычислительных систем. -Ростов-на-Дону, 2000. 26. MPI: A Message-Passing Interface Standard. Version 1.0. – University of Tennessee, May 5, 1994. 27. Миронов Д.А. Применение суперкомпьютерных вычислительных сред для решения объёмного сингулярного интегрального уравнения задачи дифракции на диэлектрическом теле // известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2009. №2. – С.14-24. 28. Смирнов Ю. Г. О сходимости методов Галеркина для уравнений с оператором, эллиптическими на подпространствах, и о решении уравнения электромагнитного поля // Ж. вычисл. Матем. и матем. физ. 2007. Т.47. №1. С.133-143. |