ВКР_Беликов_18ВМ1_текст. Численный метод решения задачи дифракции электромагнитной волны на плоских экранах
 Скачать 0.87 Mb.
|
|
Утверждение 1.2. Производная функции 𝑊(𝑥, 𝑦, 𝑧) (скалярного поля) по некоторой поверхности равна проекции поверхностного градиента на единичный вектор нормали к этой поверхности в соответствующей точке. 𝑑 𝑠 2 𝑊 𝑑𝜎 = |𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑠 𝑊| cos(𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑠 𝑊, 𝑛) (1.16) Утверждение 1.3. Поверхностный градиент скалярного поля равен по величине производной поля по поверхности, для которой эта производная в соответствующей точке является максимальной, и совпадает по направлению с единичным вектором нормали к этой поверхности. 𝑚𝑎𝑥 ( 𝑑 𝑠 2 𝑊 𝑑𝜎 ) = |𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑠 𝑊| = √( 𝜕 2 𝑊 𝜕𝑦 𝜕𝑧 ) 2 + ( 𝜕 2 𝑊 𝜕𝑥 𝜕𝑧 ) 2 + ( 𝜕 2 𝑊 𝜕𝑥 𝜕𝑦 ) 2 . (1.17) Определение 1.5. Рассмотрим скалярное произведение 𝛻 𝑠 на вектор M. Тогда операция 𝑑𝑖𝑣 𝑠 𝑀 ≔ 𝛻 𝑠 ∙ 𝑀 = 𝜕 2 𝑀 𝜕𝑦 𝜕𝑧 + 𝜕 2 𝑀 𝜕𝑥 𝜕𝑧 + 𝜕 2 𝑀 𝜕𝑥 𝜕𝑦 (1.18) является поверхностной дивергенцией векторного поля M. 13 1.2. Выбор пространства Рассмотрим пространство Соболева 𝐻 ̃ 𝑆 (𝛺̅). Данное пространство является гильбертовым. Пусть 𝑠 ∈ 𝑍 + , а 𝛺 а – открытое подмножество в 𝑅 𝑛 Определение 1.6. Пространство Соболева 𝐻 𝑆 (𝛺)состоит из таких 𝑢 ∈ 𝐿 2 (𝛺), что 𝜕 𝛼 𝑢 ∈ 𝐿 2 (𝛺) при |𝛼| < 𝑠, (1.19) здесь 𝛼 – мультииндекс, производная понимается в смысле обобщенных функций. Пространство Соболева 𝐻 ̃ 𝑠 (𝛺̅) здесь определяется обычным образом. Введем в рассматриваемое пространство 𝐻 ̃ 𝑠 (𝛺̅) скалярное произведение вида (1.19) (𝑢, 𝜈) 𝑠 = ∑ (𝜕 𝛼 𝑢, 𝜕 𝛼 𝜈), |𝛼|<𝑠 (1.20) где скобки вида (∙,∙) – скалярное произведение в 𝐿 2 (𝛺). На пространстве заведем норму (1.20) ‖𝑢‖ 𝑠 = (𝑢, 𝑢) 𝑠 1/2 = [ ∑ ∫ |𝜕 𝛼 𝑢(𝑥)| 2 𝛺 |𝛼|<𝑠 ] 1/2 (1.21) Очевидно, что для данного пространства выполняется свойство 𝐻 𝑠 (𝛺) ⊂ 𝐻 𝑠 ˊ в случае, если 𝑠 ≥ 𝑠′. Также имеем 𝐻 0 (𝛺) = 𝐿 2 (𝛺) и каждое пространство 𝐻 𝑠 (𝛺) является вложенным в 𝐿 2 (𝛺). Утверждение 1.4. Скалярное произведение (𝑢, 𝜈) 𝑠 определяет в 𝐻 𝑠 (𝛺) структуру сепарабельного гильбертова пространства. 14 Для изучения поставленной задачи дифракции векторное пространство распределений W. Сделаем предположение для некоторого вещественного (𝑢, 𝜈) 𝑠 = ∫⟨𝜉⟩ 2𝑠 𝑢̂(𝜉)𝑣̂(𝜉) 𝑑𝜉 ||𝑢|| 𝑠 2 = (𝑢, 𝑢) 𝑠 , (1.22) ⟨𝜉⟩ = (1 + ||𝜉|| 2 ) 1/2 Здесь и далее, где не указана область интегрирования, подразумевается, что интеграл вычисляют по двумерному вещественному пространству 𝑅 2 Пространство 𝐻 ̃ 𝑠 (𝛺̅) является замкнутым подпространством 𝐻 𝑠 (𝑅) 2 с индуцированным скалярным произведением и нормой. Откуда 𝐻 2 (𝛺) = 𝐻 𝑠 (𝑅) 2 / 𝐻 ̃ 𝑠 (𝛺̅) , (1.23) а в 𝐻 𝑠 (𝛺) вводится скалярное произведение и норма факторпространства. Пространства 𝐻 −𝑠 (𝛺) и 𝐻 ̃ 𝑠 (𝛺̅) антидвойственны друг к другу при всех 𝑠 ∈ 𝑅. 𝐻 ̃ 𝑠 (𝛺̅) можно получить замыканием 𝐶 ∞ 0 (𝛺) в пространстве 𝐻 𝑠 (𝑅) 2 Определение 1.7. Пусть 𝑆 – некоторое векторное пространство, а 𝑃 – его подпространство. Будем говорить, что векторы 𝑥̅, 𝑦̅ ∈ 𝑆 сравнимы по подпространству 𝑃, что обозначается как 𝑥 ≡ 𝑦(𝑃) в том случае , если 𝑥 − 𝑦 ∈ 𝑃. Тогда пространство 𝑆 разделяется на классы сравнимых по 𝑃 векторов. Далее, если выполняются условия 𝑥 ≡ 𝑦(𝑃) и 𝑢 ≡ 𝑧(𝑃), то выполняется 𝑐 1 𝑥 + 𝑐 2 𝑢 ≡ 𝑐 1 𝑦 + 𝑐 2 𝑧(𝑃) (1.24) Это обстоятельство делает корректным определение операции взятия линейных комбинаций на классах сравнений по 𝑃. Данные классы образуют 15 векторное пространство по отношению к этой операции, которое называют факторпространством и обозначается как 𝑆/𝑃. [5] Определение 1.8. Пусть W – топологическое векторное пространство. Функционал 𝐹: 𝑊 → ℂ называется полулинейным или антилинейным, если для любых 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑊 и скалярных c выполняется аддитивность 𝑓(𝑥 + 𝑦) = 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦) (1.25) и однородное сопряжение 𝑓(𝑐𝑥) = 𝑐𝑓(𝑥). (1.26) Векторное пространство всех непрерывных антилинейных функций на называется антидвойственным пространством или комплексно сопряженным дуальным пространством W и обозначается 𝑊′ . Далее будем рассматривать пространства вектор-функций, через (𝑢, 𝑣) будем обозначать векторы 𝑢 = (𝑢 1 , 𝑢 2 ) 𝑇 , 𝑣 = (𝑣 1 , 𝑣 2 ) 𝑇 , (1.27) при этом в записи 𝑢 ∈ 𝐻 𝑠 , 𝐻 𝑠 уже понимаем как декартово произведение двух экземпляров пространства 𝐻 𝑠 со скалярным произведением и нормой (𝑢, 𝜈) 𝑠 = (𝑢 1 , 𝑣 1 ) 𝑠 + (𝑢 2 , 𝑣 2 ) 𝑠 = ∫⟨𝜉⟩ 2𝑠 𝑢̂(𝜉)𝑣̂(𝜉) 𝑑𝜉 ||𝑢|| 𝑠 2 = ||𝑢 1 || 𝑠 2 +||𝑢 2 || 𝑠 2 = ∫⟨𝜉⟩ 2𝑠 |𝑢̂(𝜉)| 2 𝑑𝜉 (1.28) Будем рассматривать W в виде дополнения 𝐶 ∞ 0 (𝛺) по норме ||𝑢|| 𝑊 2 = ∫ 1 ⟨𝜉⟩ |𝑢̂(𝜉)| 2 𝑑𝜉 + ∫ 1 ⟨𝜉⟩ |𝜉 ∙ 𝑢̂(𝜉)| 2 𝑑𝜉 (1.29) и со скалярным произведением (𝑢, 𝑣) 𝑊 = ∫ 1 ⟨𝜉⟩ 𝑢̂(𝜉)𝑣̂(𝜉) 𝑑𝜉 + ∫ 1 ⟨𝜉⟩ (𝜉 ∙ 𝑢̂(𝜉)) (𝜉 ∙ 𝑣̂(𝜉)) 𝑑𝜉 (1.30) где 𝑢̂ – преобразование Фурье распределения 𝑢. Утверждение 1.5. 16 𝑊 = {𝑢 ∈ 𝐻 ̃ − 1 2 (𝛺̅): 𝑑𝑖𝑣𝑢 ∈ 𝐻 ̃ − 1 2 (𝛺̅)}. (1.31) Норма в 𝑊 может быть записана в виде ||𝑢|| 𝑊 2 = ||𝑢|| −1/2 2 + ||𝑑𝑖𝑣𝑢|| −1/2 2 . (1.32) Введем пространства 𝑊 1 и 𝑊 2 определим их как подпространства 𝑊 так, чтобы выполнялись условия 𝑊 1 = {𝑢 ∈ 𝑊: ∀ 𝜉𝜉 1 𝑢̂(𝜉) + 𝜉 2 𝑢̂ 2 (𝜉) = 0}, 𝑊 2 = {𝑢 ∈ 𝑊: ∀ 𝜉𝜉 1 𝑢̂(𝜉) + 𝜉 2 𝑢̂ 2 (𝜉) = 0}, (1.33) Данное определение имеет смысл при 𝑢̂ 𝑙 (𝜉) ∈ 𝐶 ∞ 0 (𝑅 2 ). Для данных подпространств выполняется комплекс утверждений. Утверждение 1.6. Пространство 𝑊 разлагается в прямую сумму замкнутых ортогональных подпространств 𝑊 1 и 𝑊 2 : 𝑊 = 𝑊 1 ⊕ 𝑊 2 Утверждение 1.7. Имеют место непрерывные вложения 𝐻 ̃ 1 2 (𝛺̅) ⊂ 𝑊 ⊂ 𝐻 ̃ − 1 2 (𝛺̅) (1.34) и оценки норм ||𝑢|| −1/2 ≤ ||𝑢|| 𝑊 ≤ ||𝑢|| 1/2 . (1.35) Кроме того, имеем ||𝑢|| 𝑊 = ||𝑢|| −1/2 , для 𝑢 ∈ 𝑊 1 , ||𝑢|| 𝑊 = ||𝑢|| −1/2 , для 𝑢 ∈ 𝑊 2 . (1.36) Утверждение 1.8. Здесь 𝑊 1 ⊂ 𝐻 ̃ − 1 2 (𝛺̅) – подпространство, замкнутое по норме || ∙ || −1/2 , 𝑊 2 ⊂ 𝐻 ̃ 1 2 (𝛺̅) – подпространство, замкнутое по норме || ∙ || 1/2 . Пусть 𝑊′ - антидвойственное пространство для вышеуказанного 𝑊 𝑊 ′ ≔ (𝑊(𝛺̅)) ′ . (1.37) 17 Для данного пространства выполняются следующие условия. Утверждение 1.9. Пространство 𝑊 ′ определяются следующим образом 𝑊 ′ = {𝑓| 𝛺 : 𝑓 ∈ 𝐻 − 1 2 (𝑅), 𝜕𝑓 1 𝜕𝑥 2 − 𝜕𝑓 2 𝜕𝑥 1 ∈ 𝐻 − 1 2 (𝑅 2 )}. (1.38) Для данного пространства непрерывны следующие вложения 𝐻 ̃ 1 2 (𝛺̅) ⊂ 𝑊′ ⊂ 𝐻 ̃ − 1 2 (𝛺̅). (1.39) Утверждение 1.10. Пространство 𝑊′ разлагается в прямую сумму замкнутых ортогональных подпространств 𝑊′ = 𝑊 1 ⊕ 𝑊 2 (1.40) где 𝑊 1 ≔ {𝑓 ∈ 𝑊 ′ : 𝜕𝑓 1 𝜕𝑥 1 + 𝜕𝑓 2 𝜕𝑥 2 = 0}, 𝑊 2 ≔ {𝑓 ∈ 𝑊 ′ : 𝜕𝑓 2 𝜕𝑥 1 − 𝜕𝑓 1 𝜕𝑥 2 = 0}. (1.41) Можно было бы рассмотреть и более общую ситуацию и ввести шкалы пространств 𝑊 𝑠 и (𝑊 𝑠 )′ с нормой ||𝑢|| 𝑊 𝑠 2 = ||𝑢|| 𝑠 2 + ||𝑑𝑖𝑣 𝑢|| 𝑠 2 , 𝑠 ∈ ℝ. Однако с «физической точки зрения» такой подход не дает ничего нового, поскольку наша цель, исследование (единственного) квазиклассического решения задачи дифракции, и пространства Соболева являются лишь удобным инструментом для этого исследования. Поэтому ниже будет рассматриваться только пространство 𝑊 = 𝑊 −1/2 (и, соответственно, 𝑊′ = (𝑊 −1/2 )′).[6] 18 2. Интегральное уравнение 2.1. Представление решения задачи в виде векторного потенциала Для решения задачи (1.1) – (1.7) является способ представление полей 𝐸, 𝐻 c помощью векторного потенциала 𝐸 = 𝑖𝑘 −1 (𝐺𝑟𝑎𝑑 𝑑𝑖𝑣(𝐴 1 𝑢) + 𝑘 2 𝐴 1 𝑢), (2.1) 𝐻 = 𝑅𝑜𝑡(𝐴 1 , 𝑢); (2.2) 𝐴 1 𝑢 = 1 4𝜋 ∫ 𝑒 𝑖𝑘|𝑥−𝑦| |𝑥 − 𝑦| 𝑢(𝑦)𝑑𝑦; 𝑥 = (𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 ) ∈ 𝛺 𝑅 3 \𝛺̅ (2.3) Вектор 𝑢 = (𝑢 1 , 𝑢 2 ) 𝑇 имеет смысл плотности тока на поверхности экрана 𝛺. Будем предполагать, что 𝑢 ∈ 𝑊(𝛺̅) (2.4) и 𝑢, 𝑑𝑖𝑣 𝑢 ∈ 𝐶 1 (𝛺). (2.5) Поскольку считаем, что выполнено условие (1.9), вектор 𝑢 является гладким, и даже – бесконечно дифференцируемым, во внутренних точках 𝛺. Поэтому можно ввести некоторое дополнительное условие гладкости для 𝑢 во внутренних точках 𝛺. (2.5) является наиболее простым, достаточным для наших целей, условием такого рода. В то же время условие (2.4) накладывает ограничение на поведение 𝑢 в окрестности границы Г. Представленный интеграл (2.3) представляет собой свертку финитной обобщенной функции и регулярной функции, при этом переменная 𝑥 3 выступает здесь в роли параметра. Определение 2.1. Функция называется финитной, если она определена в некоторой области пространства 𝛺 ⊂ 𝐸 2 и имеет принадлежащий к этой области компактный носитель. 19 Рассмотрим преобразование Фурье для двух переменных функции вида |𝑥| −1 exp(𝑖𝑘|𝑥|). По формуле[14] ∫ (𝛽 2 + 𝑥 2 ) − 1 2 exp [−𝛼(𝛽 2 + 𝑥 2 ) 1 2 ] 𝐽 𝑣 (𝛾𝑥)𝑑𝑥 = ∞ 0 = 𝐼 1 2 𝑣 { 1 2 𝛽[(𝛼 2 + 𝛾 2 ) 1 2 − 𝛼]} 𝐾 1 2 𝑣 { 1 2 𝛽[(𝛼 2 + 𝛾 2 ) 1 2 + 𝛼]} (2.6) [𝑅𝑒 𝛼 > 0, 𝑅𝑒 𝛽 > 0, 𝛾 > 0, 𝑅𝑒 𝑣 > −1]. находим ∫ 𝑒 𝑖𝑘√𝑝 2 +𝑥 3 2 √𝑝 2 + 𝑥 3 2 𝐽 1 (𝜌| ∞ 0 𝜉|𝑑𝑝 = = 𝐼 1 2 ( |𝑥 3 | 2 (√𝜉 2 − 𝑘 2 + 𝑖𝑘)) 𝐾 1 2 ( |𝑥 3 | 2 (√𝜉 2 − 𝑘 2 + 𝑖𝑘)) = = 1 |𝑥 3 ||𝜉| (𝑒 𝑖𝑘|𝑥 3 | − 𝑒 𝑖𝑘√𝜉 2 −𝑘 2 ). (2.7) Далее, используя свойства функций Бесселя [15] в 𝑝𝐽 0 (𝑝|𝜉|) = 𝑑 𝑑|𝜉| (𝐽 1 (𝑝|𝜉|)) + 1 |𝜉| (𝐽 1 (𝑝|𝜉|) (2.8) вычисляем 𝐹 ( 𝑒 𝑖𝑘|𝑥| |𝑥| ) = 1 2𝜋 ∫ ∫ 𝑒 𝑖𝑘√𝑝 2 +𝑥 3 2 √𝑝 2 + 𝑥 3 2 𝑒 −𝑖𝜌|𝜉|cos (𝜑−𝜓) 𝜌𝑑𝜑𝑑𝜌 2𝜋 0 ∞ 0 = ∫ 𝑒 𝑖𝑘√𝑝 2 +𝑥 3 2 √𝑝 2 + 𝑥 3 2 𝜌𝐽 0 (𝜌|𝜉|)𝑑𝑝 ∞ 0 = 𝑒 −|𝑥 3| √𝜉 2 −𝑘 2 √𝜉 2 − 𝑘 2 . (2.9) Выбирается та ветвь квадратного корня, для которой при 𝐼𝑚𝑘 ≥ 0 20 (𝜉 2 − 𝑘 2 ) − 1 2 = = √|𝜉 2 − 𝑘 2 | + 𝑅𝑒(𝜉 2 − 𝑘 2 ) + 𝑖 𝑠𝑖𝑔𝑛(𝑅𝑒 𝑘)√|𝜉 2 − 𝑘 2 | − 𝑅𝑒(𝜉 2 − 𝑘 2 ) √2|𝜉 2 − 𝑘 2 | . (2.10) Обоснованность всех действий при 𝐼𝑚𝑘 ≥ 0 не вызывает сомнений в силу экспоненциальной сходимости интегралов. Распространение формулы на вещественные 𝑘 определяется по непрерывности. Из вышеприведенной формулы получаем, что 𝐹 ( 𝑒 𝑖𝑘|𝑥| |𝑥| ) = 𝑂 ( 1 |𝜉| ) при |𝜉| → ∞, (2.11) Поэтому 𝑒 𝑖𝑘|𝑥| |𝑥| ∈ 𝐻 1 2 (𝑅 2 ) и выражение (2.3) корректно определено. Если 𝑥 3 ≠ 0, то 𝐴 1 𝑢 ∈ 𝐶 ∞ (𝑅 2 ), поскольку (3.3) есть свертка финитной и бесконечно дифференцируемой функции. Если 𝑥 3 = 0, то 𝐴 1 𝑢 ∈ 𝐶 ∞ (𝑅 2 \ 𝛺̅). Действительно, пусть 𝑥 = (𝑥 1 , 𝑥 2 ) ∉ 𝛺̅, 𝑑𝑖𝑠𝑡(𝑥, 𝛺̅) > 𝜀. Выберем 𝜑(𝑡) ∈ 𝐶 ∞ (𝑅 1 ) такую, что 0 ≤ 𝜑 ≤ 1, 𝜑 ≡ 1 при |𝑡| < 𝜀 2 , 𝜑 ≡ 0 при |𝑡| ≥ 𝜀. Представим (3.3) в виде 𝐴 1 𝑢 = 𝐴 ′ 1 𝑢 + 𝐴 ′′ 1 = = 1 4𝜋 ∫ 𝜑(|𝑥 − 𝑦|) 𝑒 𝑖𝑘|𝑥−𝑦| |𝑥 − 𝑦| 𝑢(𝑦)𝑑𝑦 + 𝛺 (2.12) + 1 4𝜋 ∫ (1 − 𝜑(|𝑥 − 𝑦|)) 𝑒 𝑖𝑘|𝑥−𝑦| |𝑥 − 𝑦| 𝑢(𝑦)𝑑𝑦. 𝛺 Тогда 𝐴" 1 𝑢 ∈ 𝐶 ∞ (𝑅 2 ) как свертка финитной и бесконечно дифференцируемой функции. Далее, 𝑠𝑢𝑝𝑝𝐴′ 1 𝑢 ⊂ 𝛺̅ 𝜀 ≡ {𝑧 ∈ 𝑅 2 : 𝑑𝑖𝑠𝑡(𝑧, 𝛺̅) ≤ ε}, (2.13) 21 так, как 𝑠𝑢𝑝𝑝 𝜑 ⊂ [−𝜀, 𝜀]. Отсюда следует, что 𝐴 1 𝑢 бесконечно дифференцируема в точке 𝑥 ∉ 𝛺̅. Приведенные рассуждения остаются в силе, если рассматривать производную 𝐴 1 u по 𝑥 3 любого порядка. Таким образом, как функция трех переменных 𝐴 1 𝑢 ∈ 𝐶 ∞ (𝑅 3 \ 𝛺̅) , причем производные можно вычислять под знаком интеграла в (2.3). Оператор 𝐴 1 действует непрерывно в пространствах 𝐴 1 : H ̃ −1/2 (Ω) → 𝐻 𝑙𝑜𝑐 1 (𝑅 3 ). (2.14) Утверждение 2.1. 𝑑𝑖𝑣 (𝐴 1 , 𝑢) = 𝐴 1 (𝑑𝑖𝑣 𝑢), 𝑥 ∉ Ω, 𝑢 ∈ 𝑊. (2.15) Тогда (2.1) эквивалентно 𝐸 = 𝑖𝑘 −1 (𝐺𝑟𝑎𝑑 𝐴 1 (𝑑𝑖𝑣 𝑢) + 𝑘 2 𝐴 1 𝑢), 𝑥 ∈ 𝑅 3 \ Ω. (2.16) Краевое условие (1.4) приводит к интегродифференциальному уравнению для 𝑢. Опуская точку 𝑥 на Ω из (2.16) получаем 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝐴(𝑑𝑖𝑣 𝑢) + 𝑘 2 𝐴𝑢 = 𝑓; (2.17) 𝑥 = (𝑥 1 , 𝑥 2 ) ∈ Ω 𝐴𝑢 = ∫ 𝑒 𝑖𝑘|𝑥−𝑦| |𝑥 − 𝑦| Ω 𝑢(𝑦)𝑑𝑦, (2.18) 𝑓 = 4𝜋𝑖𝑘 𝐸 𝜏 0 | Ω ; 𝑓 ∈ 𝐶 ∞ (Ω). (2.19) Здесь операция 𝑔𝑟𝑎𝑑 рассматривается в 𝑅 2 . Из приведенных результатов о предельных переходах в формулах (2.16), (2.2) и непрерывности 𝐸 𝜏 вплоть до Ω следует, что если 𝑢 является решением (2.17) и удовлетворяет условиям (2.4), (2.5), то формулы (2.16), (2.2) (или (2.1) – (2.2)) дают квазиклассическое решение задачи (1.1) – (1.7). Кроме того, если 𝑢 – нетривиальное решение, то, в силу 22 lim 𝑥 3 →±0 𝐸 𝑣 = ± 𝑖 2𝑘 𝑑𝑖𝑣 𝑢, lim 𝑥 3 →±0 𝐻 𝜏 = ± 1 2 𝑢 , (2.20) 𝐸, 𝐻 также нетривиальное решение (1.1) – (1.7) Утверждение 2.2. [6] Уравнение (2.17) имеет не более одного решения, удовлетворяющего условиям (2.4), (2.5). 23 3. Численный метод решения 3.1. Метод Галеркина Для операторных уравнений в гильбертовых пространствах проекционный метод, строящийся с помощью ортопроекторов на конечномерные подпространства, приводит к методу Галеркина. Он являетсяодним из наиболее эффективных методов численного решения интегральных уравнений. Построим метод Галеркина для рассматриваемой задачи. Рассмотрим n- мерное пространство 𝑉 𝑛 . Проведем аппроксимацию элементов 𝜓 элементами 𝜓 𝑛 ∈ 𝑉 𝑛 . Методом Галеркина находим 𝜓 𝑛 из системы уравнений (𝐿𝜓 𝑛 , 𝑣) = (𝑓, 𝑣) (3.1) Эти уравнения определяются конечномерным оператором 𝐿 𝑛 : 𝑉 𝑛 → 𝑉 𝑛 ′ , где 𝑉 𝑛 ′ есть антидуальное пространство к 𝑉 𝑛 Определение 3.1. Дифференциальный оператор вида 𝐿 = ∑ ∑ 𝑎 𝑖𝑗 (𝑥) 𝜕 2 𝜕𝑥 𝑖 𝜕𝑥 𝑗 + ∑ 𝑏 𝑘 (𝑥) 𝜕 𝜕𝑥 𝑘 + 𝑐 (3.2) 𝑛 𝑘=1 𝑛 𝑗=1 𝑛 𝑖=𝑖 называется эллиптическим, если его квадратичная форма ∑ ∑ 𝑎 𝑖𝑗 (𝑥) 𝑛 𝑗=1 𝑛 𝑖=𝑖 𝜉 𝑖 𝜉 𝑗 (3.3) имеет один и тот же знак для любого 𝑥. Основная трудность решения уравнений электрического поля (1.1) состоит в том, что оператор не является сильно эллиптическим, вследствие чего нельзя применить традиционные теоремы о сходимости метода Галеркина. Результаты о сходимости данного метода удается распространить на уравнения с операторами, эллиптическими на подпространствах, в том 24 числе на уравнение электрического поля (2.17), так как оператор L является эллиптическим на подпространствах. [8, 9] 25 3.2. Свойство аппроксимации и теорема о сходимости с базисными функциями «rooftop» Рассмотрим вопрос об аппроксимации непрерывно – дифференцируемой (векторной) функции 𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑓 1 (𝑥, 𝑦), 𝑓 2 (𝑥, 𝑦)), 𝑓 ∈ 𝐶 0 1 (𝛱)(𝑓 1 ∈ 𝐶 0 1 (𝛱), 𝑓 2 ∈ 𝐶 0 1 (𝛱)) (3.4) в прямоугольнике 𝛱 = [0, 𝑎] × [0, 𝑏] “rooftop” базисными функциями 𝜑 𝑗 (𝑥, 𝑦) по методу предложенному в статье [21]. Рассмотрим в 𝛱 равномерную прямоугольную сетку с шагами ℎ 1 и ℎ 2 по осям 𝑥 и 𝑦 с узлами 𝑀 𝑖𝑗 = (𝑥 𝑖 , 𝑦 𝑗 ), 𝑥 𝑖 = 𝑖ℎ 1 , 𝑦 𝑗 = 𝑗ℎ 2 (𝑖 = 0, … , 𝑁 1 , 𝑗 = 0, … , 𝑁 2 , (3.5) ℎ 1 = 𝑎 𝑁 1 , ℎ 2 = 𝑏 𝑁 2 Базисную функцию 𝜑 𝑗 (𝑥, 𝑦), отвечающую ребру 𝑗, определим по правилу (рис. 3.1) Рисунок 3.1. 26 𝜑 𝑗 (𝑥, 𝑦) = { (𝑥 − 𝑥 1 (𝑗) , 0) 𝑙 𝑗 𝑆 𝑗 + в 𝛱 𝑗 + (𝑥 2 (𝑗) − 𝑥, 0) 𝑙 𝑗 𝑆 𝑗 − в 𝛱 𝑗 − 𝜑 𝑗 (𝑥, 𝑦) = { (0, 𝑦 − 𝑦 1 (𝑗) ) 𝑙 𝑗 𝑆 𝑗 + в 𝛱 𝑗 + (0, 𝑦 2 (𝑗) − 𝑦) 𝑙 𝑗 𝑆 𝑗 − в 𝛱 𝑗 − (3.6) и 𝜑 𝑗 ≡ 0 вне прямоугольников 𝛱 𝑗 + , 𝛱 𝑗 − Здесь 𝑙 𝑗 длина 𝑗 - го ребра, 𝑆 𝑗 ± - площадь прямоугольника 𝛱 ± , 𝐶 𝑗 - середина ребра с номером 𝑗. Нормирование функций 𝜑 𝑗 (𝑥, 𝑦) выполнено так, что нормальная составляющая (к ребру) этих функций в середине ребра равна 1, т.е. (𝜑 𝑗 ) 𝑛 (𝐶 𝑗 ) = 1. Отметим важное свойство функций 𝜑 𝑗 : их нормальные составляющие на границе 𝜕𝛱 𝑗 носителя 𝛱 𝑗 = 𝛱 𝑗 + ∪ 𝛱 𝑗 − равны нулю, (𝜑 𝑗 ) 𝑛 |𝜕𝛱 𝑗 = 0. Пусть 𝜙(𝑥, 𝑦) = ∑ 𝛼 𝑗 𝜑 𝑗 (𝑥, 𝑦), 𝜙(𝑥, 𝑦) = (𝜙 1 (𝑥, 𝑦), 𝜙 2 (𝑥, 𝑦)) 𝑗 . (3.7) Тогда коэффициент 𝛼 𝑗 равен нормальной составляющей функции 𝜙 в середине ребра: 𝛼 𝑗 = 𝜑 𝑗 (𝐶 𝑗 ) ⋅ 𝑛⃗ . Будем аппроксимировать функцию 𝑓(𝑥, 𝑦) функцией 𝜙(𝑥, 𝑦), выбирая коэффициенты 𝛼 𝑗 из условия 𝑓 𝑛 (𝐶 𝑗 ) = 𝜙 𝑛 (𝐶 𝑗 ), то есть 27 𝜙(𝑥, 𝑦) = ∑ 𝑓 𝑛 (𝐶 𝑗 )𝜑 𝑗 (𝑥, 𝑦) 𝑗 Оценим разность |𝑓 𝑖 (𝑥, 𝑦) − 𝜙 𝑖 (𝑥, 𝑦)| в прямоугольнике 𝛱; 𝑖 = 1,2. Пусть 𝐶 𝑘 середина вертикального ребра с номером 𝑘 ближайшая к точке (𝑥, 𝑦) ∈ 𝛱. Если точка 𝐶 𝑘 не единственная ближайшая, то можно взять любую из них. Обозначим через 𝜔(𝑔, 𝛿, 𝜂) модуль непрерывности функции 𝑔 в прямоугольнике 𝛱: 𝜔(𝑔, 𝛿, 𝜂) ≔ {|𝑔(𝑥 ′ , 𝑦 ′ ) − 𝑔(𝑥 ′′ , 𝑦 ′′ )|: |𝑥 ′ − 𝑥 ′′ | ≤ 𝛿, |𝑦 ′ − 𝑦 ′′ | ≤ 𝜂}. (3.8) Рассмотрим один из прямоугольников 𝛱 сетки, например 𝑃𝑄𝑅𝑇, где 𝑃(𝑥 1 , 𝑦 1 ) , 𝑅(𝑥 2 , 𝑦 2 ) , 𝑄(𝑥 3 , 𝑦 3 ) , 𝑇(𝑥 4 , 𝑦 4 ) причем, 𝑥 3 = 𝑥 1 + ℎ, 𝑦 3 = 𝑦 1 + ℎ, 𝑥 2 = 𝑥 1 , 𝑦 2 = 𝑦 1 + ℎ 2 , 𝑥 4 = 𝑥 1 + ℎ, 𝑦 4 = 𝑦 1 Пусть ребра 𝑃𝑅, 𝑃𝑇, 𝑄𝑇, 𝑅𝑄 имеют номера 𝑖, 𝑗, 𝑘, 𝑙 соответственно, а точки 𝐴 𝑖 , 𝐵 𝑗 , 𝐶 𝑘 , 𝐷 𝑙 - середины этих ребер (рис. 3.2) Рисунок 3.2. Оценим разность функций 𝑓 и 𝜙 в точке (𝑥, 𝑦) при условии, что она принадлежит прямоугольнику 𝑃𝑅𝑄𝑇. Тогда 28 𝑓(𝑥, 𝑦) − 𝜙(𝑥, 𝑦) = = 𝑓(𝑥, 𝑦) − (𝑓 1 (𝐴 𝑖 )𝜑 𝑖 (𝑥, 𝑦) + 𝑓 2 (𝐵 𝑗 )𝜑 𝑗 (𝑥, 𝑦) + 𝑓 1 (𝐶 𝑘 )𝜑 𝑘 (𝑥, 𝑦)+𝑓 2 (𝐷 𝑙 )𝜑 𝑙 (𝑥, 𝑦)) Здесь 𝑓 1 (𝐴 𝑖 )𝜑 𝑖 (𝑥, 𝑦) = 𝑓 1 (𝐴 𝑖 )(𝑥 2 − 𝑥, 0) 𝑇 ℎ 1 −1 𝑓 2 (𝐵 𝑗 )𝜑 𝑗 (𝑥, 𝑦) = 𝑓 2 (𝐵 𝑗 )(0, 𝑦 2 − 𝑦) 𝑇 ℎ 2 −1 𝑓 1 (𝐶 𝑘 )𝜑 𝑘 (𝑥, 𝑦) = 𝑓 1 (𝐶 𝑘 )(𝑥 − 𝑥 1 , 0) 𝑇 ℎ 1 −1 𝑓 2 (𝐷 𝑙 )𝜑 𝑙 (𝑥, 𝑦) = 𝑓 2 (𝐷 𝑙 )(0, 𝑦 − 𝑦 1 ) 𝑇 ℎ 2 −1 откуда покоординатно имеем: 𝑓 1 (𝑥, 𝑦) − 𝜙 1 (𝑥, 𝑦) = 𝑓 1 (𝑥, 𝑦) − 𝑓 1 (𝐴 𝑖 )(𝑥 2 − 𝑥)ℎ 1 −1 − 𝑓 1 (𝐶 𝑘 )(𝑥 − 𝑥 1 )ℎ 1 −1 , 𝑓 2 (𝑥, 𝑦) − 𝜙 2 (𝑥, 𝑦) = 𝑓 2 (𝑥, 𝑦) − 𝑓 2 (𝐵 𝑗 )(𝑦 2 − 𝑦)ℎ 2 −1 − 𝑓 2 (𝐷 𝑙 )(𝑦 − 𝑦 1 )ℎ 2 −1 Введем обозначения, 𝛩 1 : = 𝑥 − 𝑥 1 ℎ 1 , 𝛩 2 : = 𝑦 − 𝑦 1 ℎ 2 , 0 ≤ 𝛩 1 ≤ 1,0 ≤ 𝛩 2 ≤ 1. Тогда 𝑓 1 (𝑥, 𝑦) − 𝜙 1 (𝑥, 𝑦) = 𝑓 1 (𝑥, 𝑦) − (1 − 𝛩 1 )𝑓 1 (𝐴 𝑖 ) − 𝛩 1 𝑓 1 (𝐶 𝑘 ) 𝑓 2 (𝑥, 𝑦) − 𝜙 2 (𝑥, 𝑦) = 𝑓 2 (𝑥, 𝑦) − (1 − 𝛩 2 )𝑓 2 (𝐵 𝑗 ) − 𝛩 2 𝑓 2 (𝐷 𝑙 ) Учитывая, что непрерывная в 𝑇̄ функция достигает любого своего промежуточного значения в некоторой точке из 𝑇̄, получаем, что |𝑓 1 (𝑥, 𝑦) − 𝜙 1 (𝑥, 𝑦)| ≤ 𝜔 (𝑓 1 ; ℎ 1 2 , ℎ 2 2 ) |𝑓 2 (𝑥, 𝑦) − 𝜙 2 (𝑥, 𝑦)| ≤ 𝜔 (𝑓 2 ; ℎ 1 2 , ℎ 2 2 ) Легко получить более грубую оценку: |𝑓 𝑚 (𝑥, 𝑦) − 𝜙 𝑚 (𝑥, 𝑦)| ≤ 𝜔 (𝑓 1 , ℎ 1 2 , ℎ 2 2 ) + 𝜔 (𝑓 2 ; ℎ 1 2 , ℎ 2 2 ) , 𝑚 = 1,2 (3.9) Заметим, что в силу условия 29 𝑓 1 | 𝑥=0 = 𝑓 1 | 𝑥=𝑎 = 0, 𝑓 2 | 𝑦=0 = 𝑓 2 | 𝑦=𝑏 = 0, граничные ребра в вышеприведенных оценках фигурируют лишь формально с коэффициентом 0 перед соответствующей базисной функцией. Случай принадлежности точки (𝑥, 𝑦) одному из ребер 𝑃𝑅, 𝑃𝑇, 𝑄𝑇, 𝑅𝑄 также не исключается. Таким образом, в силу произвольности выбора точки (𝑥, 𝑦) ∈ 𝛱̄ и равномерности оценки (2.1.11), оценка (2.1.11) имеет место для всех точек (𝑥, 𝑦) ∈ 𝛱̄. Пусть снова (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑃𝑅𝑄𝑇. Оценим разность функций 𝑑𝑖𝑣𝑓 и 𝑑𝑖𝑣𝜙, пользуясь полученными результатами. Имеем 𝑑𝑖𝑣𝑓 − 𝑑𝑖𝑣𝜙 = 𝑑𝑖𝑣𝑓 − (−ℎ 1 −1 𝑓 1 (𝐴 𝑖 ) + ℎ 1 −1 𝑓 1 (𝐶 𝑘 ) − ℎ 1 −1 𝑓 2 (𝐵 𝑗 ) + ℎ 2 −1 𝑓 2 (𝐷 𝑙 )) или 𝑑𝑖𝑣𝑓 − 𝑑𝑖𝑣𝜙 = = 𝜕𝑓 1 𝜕𝑥 + 𝜕𝑓 1 𝜕𝑥 | 𝐶 𝑘 − 𝑓 1 (𝐶 𝑘 ) − 𝑓 1 (𝐴 𝑖 ) ℎ 1 + 𝜕𝑓 2 𝜕𝑦 − 𝜕𝑓 2 𝜕𝑦 | 𝐷 𝑙 + 𝜕𝑓 2 𝜕𝑦 | 𝐷 𝑙 − 𝑓 2 (𝐷 𝑙 ) − 𝑓 2 (𝐵 𝑗 ) ℎ 2 Далее находим, учитывая непрерывную дифференцируемость функций 𝑓 1 и 𝑓 2 в 𝛱̄: |𝑑𝑖𝑣𝑓 − 𝑑𝑖𝑣𝜑| ≤ ≤ 𝜔 ( 𝜕𝑓 1 𝜕𝑥 ; ℎ 1 2 , ℎ 2 2 ) + 𝜔 ( 𝜕𝑓 1 𝜕𝑥 ; ℎ 1 2 , 0) + 𝜔 ( 𝜕𝑓 2 𝜕𝑦 ; ℎ 1 2 , ℎ 2 2 ) + 𝜔 ( 𝜕𝑓 2 𝜕𝑦 ; 0, ℎ 2 2 ). Отсюда легко получить более грубую оценку |𝑑𝑖𝑣𝑓 − 𝑑𝑖𝑣𝜑| ≤ 2 (𝜔 ( 𝜕𝑓 1 𝜕𝑥 ; ℎ 1 2 , ℎ 2 2 ) + 𝜔 ( 𝜕𝑓 2 𝜕𝑦 ; ℎ 1 2 , ℎ 2 2 )), (3.10) которая равномерна и имеет место для всех (𝑥, 𝑦) ∈ 𝛱̄. Для любого прямоугольника расположенного в пространстве иначе доказательство проводится аналогично. Оценки (3.9) и (3.10) позволяют доказать теорему об аппроксимации элементов 𝜙 ∈ 𝑊 базисными функциями 𝜑 𝑗 . Пусть в прямоугольнике 𝛱 30 выбрана равномерная прямоугольная сетка с шагом ℎ 1 по переменной 𝑥, и шагом ℎ 2 по переменной 𝑦. Рассмотрим конечномерное подпространство 𝑋 𝑁 = 𝑠𝑝𝑎𝑛{𝜑 1 , . . . , 𝜑 𝑁 }, являющееся линейной оболочкой базисных функций 𝜑 𝑗 , 1, . . . , 𝑁, где 𝑁 - количество внутренних ребер сетки. Нетрудно проверить, что 𝜑 𝑗 ∈ 𝑊(𝛱), 𝑋 𝑁 ⊂ 𝑊. Имеет место следующий результат. |