ВКР_Беликов_18ВМ1_текст. Численный метод решения задачи дифракции электромагнитной волны на плоских экранах
 Скачать 0.87 Mb.
|
|
МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Политехнический институт Факультет Кафедра вычислительной техники Математика и суперкомпьютерное (наименование) моделирование (наименование) Направление подготовки 010301 «Математика» (код и наименование) Профиль Вычислительная математика и компьютерные науки (код и наименование) БАКАЛАВРСКАЯ РАБОТА на тему Численный метод решения задачи дифракции электромагнитной волны на плоских экранах Студент 18ВМ1 Беликов В. А. (группа) (подпись, дата) (фамилия, инициалы) Руководитель к.ф.-м.н., доцент Медведик М. Ю. (подпись, дата) (фамилия, инициалы) Нормоконтролѐр к.ф.-м.н., доцент Куприянова С.Н. (подпись, дата) (фамилия, инициалы) Работа допущена к защите (протокол заседания кафедры от № ) Заведующий кафедрой д.ф.-м.н., проф. Смирнов Ю. Г. (подпись, дата) фамилия, инициалы) Работа защищена с оценкой (протокол заседания ГЭК от № ) Секретарь ГЭК к.ф.-м.н., доцент Хорошева Э.А. (подпись, дата) (фамилия, инициалы) Пенза 2022 МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Политехнический институт Факультет Кафедра вычислительной техники Математика и суперкомпьютерное (наименование) моделирование (наименование) «УТВЕРЖДАЮ» Заведующий кафедрой Ю.Г. Смирнов . (подпись, инициалы, фамилия) « » июня 2022 г. ЗАДАНИЕ на бакалаврскую работу 1. Студент Беликов Валерий Александрович гр. 18ВМ1 (фамилия, имя, отчество) факультета вычислительной техники . 2.Тема работы _Решение задач дифракции электромагнитной волны на плоском экране Тема утверждена приказом по ПГУ № ____ от «__» ________2022 г. 3. Руководитель работы Медведик Михаил Юрьевич 4. Задание на работу (назначение разработки, исходные данные и т.п.) 1) Работа над литературой 2) Постановка задачи 3) Разработка численноого метода решения задачи дифракции электромагнитной волны на экранах с применением функций-крышек 4) Разработка вычислительного комплекса программ 5) апробация на примерах 6) анализ численных результатов 7) выводы 5. Перечень подлежащих разработке вопросов: 1) математическая постановка задачи 2) разработка метода решения задачи дифракции электромагнитных волн на плоском экране 3) разработка вычислительного комплекса программ 6. Календарный график по выполнению проекта Наименование этапов работы Объем работы Срок выполнения Подпись руководителя Постановка задачи. Анализ литературы по исследуемому вопросу 20 % 16.06-19.06 Разработка численного метода 25 % 20.06-23.06 Разработка вычислительного комплекса 20 % 24.06-30.06 Анализ метода на тестовых задачах 15 % 1.07-3.07 Анализ численных результатов 10 % 4.07-5.07 Оформление ВКР и подготовка презентации 10 % 6.07-8.07 Дата выдачи задания «16» июня 2022 г. Руководитель бакалаврской работы М. Ю. Медведик . (подпись, инициалы, фамилия) Задание к исполнению принял студент В. А. Беликов . (подпись, дата, инициалы, фамилия) Работу к защите допустить Декан факультета Л. Р. Фионова (подпись, инициалы, фамилия) 3 Содержание Введение ................................................................................................................... 4 1. Задач дифракции электромагнитной волны на плоском экране .................. 8 1.1. Постановка задачи ...................................................................................... 8 1.2. Выбор пространства ................................................................................. 13 2. Интегральное уравнение ................................................................................ 18 2.1. Представление решения задачи в виде векторного потенциала .......... 18 3. Численный метод решения ............................................................................ 23 3.1. Метод Галеркина ....................................................................................... 23 3.2. Свойство аппроксимации и теорема о сходимости с базисными функциями «rooftop» ......................................................................................... 25 3.3. Параллельный подход .............................................................................. 31 3.4. Решение задачи с базисными функциями «rooftop». ............................ 32 3.5. Субирархический алгоритм ..................................................................... 36 Заключение ............................................................................................................. 38 Список литературы ............................................................................................... 39 4 Введение Дифракция - явление, которое можно рассматривать как отклонение света от прямолинейного направления распространения при прохождении вблизи препятствий. Как показывает опыт, свет при определенных условиях может заходить в область геометрической тени. Дифракцией связывают весьма широкий круг явлений, возникающих при распространении волн и проявляющихся в преобразовании пространственной структуры волн. Подобные изменения наблюдаются не только в классических условиях, но и в неоднородных средах, а также при распространении ограниченных в пространстве пучков волн. Оптические дифракционные явления были хорошо известны еще во времена И. Ньютона, но объяснить их на основе корпускулярной теории света оказалось невозможным. Первое качественное объяснение явления дифракции на основе волновых представлений было дано Т. Юнгом. Независимо от него О. Френель развил количественную теорию дифракционных явлений (1818 г.). В основу теории О. Френель положил принцип Гюйгенса, дополнив его идеей об интерференции вторичных волн. Принцип Гюйгенса в его первоначальном виде позволял находить только положения волновых фронтов в последовательные моменты времени, то есть определять направление распространения волны. По существу, это был принцип геометрической оптики. Гипотезу Гюйгенса о огибающей вторичных волн О. Френель заменил физически ясным положением, согласно которому вторичные волны, приходя в точку наблюдения, интерферируют друг с другом. Принцип Гюйгенса-Френеля представлял собой определенную гипотезу, но последующий опыт подтвердил её справедливость. Изучение дифракция рентгеновских лучей на кристаллах стало одним из самых важных этапов исследования дифракции электромагнитных волн. Необычайно малая длина волны рентгеновских лучей почти исключает 5 возможность использования для наблюдения их дифракции приборов, сделанных руками человека. В кристаллах атомы и молекулы расположены в правильном порядке на расстоянии рентгеновских лучей и образуют трехмерную решетку. Уже в 1912 году Максом Лауэ, Вальтером Фридрихом и Паулем Книппингом был открыт волновой характер и явление дифракции рентгеновского излучения. Данное исследование стало основой широкого развития рентгеновской спектроскопии. Клинтон Дэвиссон и Лестер Джермер в 1927 году опытным путем обнаружили дифракцию частиц (электронов). Это сыграло большую роль в подтверждении концепции корпускулярно-волнового дуаллизма. В XX и XXI веках продолжились исследования дифракции волн на сложных структурах. В современном мире дифракцию используют в разных областях. Фотоэлементы и элементы питания – один из самых распространенных примеров ее применения. Дифракционные решетка - оптический прибор, действие которого основано на использовании явления дифракции света. Представляет собой совокупность большого числа регулярно расположенных штрихов, нанесённых на некоторую поверхность - дифракционная решётка. Дифракционные решетки широко применяются в различных оптических устройствах: спектральных приборах для получения монохроматического света (монохроматоры, спектрофотометры и др.), в качестве оптических датчиков линейных и угловых перемещений, для поляризаторов и оптических фильтров и даже в так называемых антибликовых очках. В настоящее время широко используют рентгеноструктурный анализ биологических молекул и систем. Так, например, по данным, полученным этим методом, из нескольких возможных химических формул пенициллина была выбрана одна. В свое время этим методом были с успехом исследованы такие высокополимерные соединения, как каучук, целлюлоза, многие полиамиды и т.д. Именно с помощью рентгеноструктурного анализа американец Джеймс Уотсон и англичанин Френсис Крик установили структуру молекулы ДНК (двойная спираль), за что и были удостоены в 1962 году Нобелевской премии. Сегодня 6 изделия дифракционной оптики применяются для научных исследований в области экологии. Например, в составе гиперспектральных камер для оценки качества воздуха. С их помощью определяют состав и состояние объекта съемки, фиксируя спектральные характеристики каждого пикселя на изображении. В данной работе рассматривается задача дифракции электромагнитного поля на идеально проводящем тонком плоском ограниченном экране. В общем виде задача состоит в нахождении всевозможных решений уравнений Максвелла, удовлетворяющим заданным краевым условиям излучения на бесконечности. Данная задача является классической в электродинамике. Наиболее естественный подход к решению задачи – сведение ее к векторному интегродифференциальному уравнению на экране. Данный способ решения уравнений Максвелла называют методом поверхностных токов. Идея данного метода принадлежит А. Пуанкаре, также в акустических задачах этот метод разрабатывал Рэлей еще в 1897 году, впервые интегродифференциальное уравнение на экране было получено А. Мауэ в 1949 году. Центральной проблемой при поиске решений интегродифференциальных уравнений является выбор пространств, в 6 которых обеспечивается фредгольмовость данных выражений. Также немаловажно, чтобы пространство было достаточно широким и содержало все допустимые поля. Изучение интегродифференциальных уравнений было начато в работе [1], позднее в монографии [3] была доказана теорема единственности для решения этих уравнений, исследованы свойства и поведение дифракционных полей на бесконечности и на границах выбранного экрана. Дополнительно были получены аналитические решения задач дифракции на тонком диске и на сфере. Важно отметить, что в работе [3] с помощью данных уравнений были выведены и впервые упомянуты псевдодифференциальные уравнения. В 1968г была издана монография [4], после чего для решения задач дифракции на экранах различной формы стали активно применяться численные методы, в том числе, метод моментов, метод Галеркина и наиболее распространенным 7 стал метод, предложенный в работе [5]. Важно отметить, что проблема эффективного численного решения задач дифракции на тонких экранах до сих пор не решена, несмотря на развитие современных вычислительных технологий. В этой работе будет рассматриваться субиерархический подход решения задачи. Такой метод позволяет на первом шаге один раз с максимальной точностью решить задачу на простейшем экране прямоугольной формы. Используя полученные результаты, можно привести форму экрана из прямоугольной в произвольную. Затем, не проводя никаких дополнительных вычислений, с помощью системы линейных алгебраических уравнений, можно определить значение поверхностных токов уже на новом экране. Основываясь на данном свойстве, можно решить серию задач дифракции на экранах и создать базу данных для решения последующих задач. Из-за достаточной вычислительной сложности формирования матрицы СЛАУ на первом этапе решения, субиерархический метод используется совместно с параллельными вычислительными алгоритмами. Наиболее удобно рассчитывать такие задачи на вычислительном кластере. Указанный метод позволяет решать дифракционные задачи для экранов различных форм на основе решения одной задачи с экраном простой формы. Такое возможно только в том случае, если новый экран произвольной формы полностью помещается в старом прямоугольном. При увеличении количества серий задач дифракции возрастает эффективность применения субиерархического метода. Теория разрешимости для задач дифракции на экранах с идеальной проводимостью представлена в [6]. Таким образом, имеем актуальную задачу дифракции электромагнитных волн на плоском экране. В численных решениях задач дифракции был накоплен достаточный опыт и имеется немалый объем работ, сыгравшие важную роль в развитии численных методов. 8 1. Задач дифракции электромагнитной волны на плоском экране 1.1. Постановка задачи Пусть Ω ⊂ 𝑅 2 = {𝑥 3 = 0} ⊂ 𝑅 3 – ограниченная область с кусочно- гладкой границей Г состоящей из конечного числа простых дуг класса С ∞ , сходящихся под углами, отличными от нулевого. Рассмотрим дифракционную задачу стороннего монохроматического электромагнитного поля 𝐸 0 ,𝐻 0 на бесконечно тонком экране Ω с идеальной проводимостью, расположенном в свободном пространстве. (рис. 1.1) Рисунок 1.1. Здесь волновое число k определяется как 𝑘 2 = 𝜔 2 𝜇(𝜀 + 𝑖𝜎𝜔 −1 ), (1.1) 𝐼𝑚𝑘 ≥ 0, 𝑘 ≠ 0, Г 9 где 𝜔 > 0 – круговая частота, 𝜇 > 0, 𝜀 > 0 – магнитная и диэлектрическая проницаемость среды, 𝜎 ≥ 0 – проводимость среды. Задача дифракции состоит в определении рассеянного электромагнитного поля 𝐸, 𝐻 ∈ 𝐶 2 (𝑅 3 \Ω) ∩ 𝛿 > 0 𝐶 (𝑅 + 3 \Г 𝛿 ) ∩ 𝛿 > 0 𝐶 (𝑅 + 3 \Г 𝛿 ) (1.2) удовлетворяющего однородным уравнениям Максвелла (3) 𝑅𝑜𝑡𝐻 = −𝑖𝑘𝐸, 𝑅𝑜𝑡𝐸 = 𝑖𝑘𝐻, 𝑥 ∈ 𝑅 3 \ Ω, (1.3) краевым условиям для касательных составляющих электрического поля на поверхности экрана (1.4) 𝐸 𝜏 | Ω = −𝐸 𝜏 0 | Ω (1.4) условиям конечности энергии в любом ограниченном объеме пространства (1.5): 𝐸, 𝐻 ∈ 𝐿 𝑙𝑜𝑐 2 (𝑅 3 ) (1.5) и условиям излучения на бесконечности (1.6) и (1.7). 𝐸, 𝐻 = 𝑜(𝑟 −1 ), 𝑟 ∶= |𝑥| → ∞ при 𝐼𝑚𝑘 > 0, (1.6) 𝐻 × 𝑒 𝑟 − 𝐸 = 𝑜(𝑟 −1 ), 𝐸 × 𝑒 𝑟 + 𝐻 = 𝑜(𝑟 −1 ), 𝐸, 𝐻 = 𝑂(𝑟 −1 ), 𝑟 → ∞ при 𝐼𝑚𝑘 = 0. (1.7) Здесь 𝑒 𝑟 = 𝑥 |𝑥| , × −векторное произведение, Г 𝛿 ≔ {𝑥: |𝑥 − 𝑦| < 𝛿, 𝑦 ∈ Г}. Электромагнитные поля гармонически зависят от времени, здесь множитель 𝑒 −𝑖𝜔𝑡 опущен. Для полного поля 𝐸 полн = 𝐸 0 + 𝐸, 𝐻 полн = 𝐻 0 + 𝐻. Предположим, что источники падающего поля расположены вне экрана Ω таким образом, что для некоторого 𝛿 > 0 10 𝐸 0 ∈ 𝐶 ∞ (Ω 𝛿 ), Ω 𝛿 = {𝑥: |𝑥 − 𝑦| < 𝛿, 𝑦 ∈ Ω}. (1.8) Откуда следует, что 𝐸 𝜏 0 | Ω ∈ 𝐶 ∞ (Ω), (1.9) В таком случае падающее поле может иметь вид плоской волны, либо электрического или магнитного диполя, находящегося вне Ω. Поле 𝐸 0 ,𝐻 0 – решение системы уравнений Максвелла в свободном пространстве без экрана. Определение 1.1. Решение вышеописанной задачи дифракции, удовлетворяющее условиям (1.1)-( 1.7), будем называть квазиклассическим. Такое название обусловлено тем, что, во-первых, как и в классической постановке, разыскивается гладкое и непрерывное вплоть до Ω (с любой стороны) решение, а во-вторых, в условиях задачи не конкретизируется поведение решение в окрестности границы Г, ставится общее условие конечности энергии. Отсюда следует, что решение не будет непрерывным вплоть до Ω. В окрестности Г функции 𝐸, 𝐻 имеют особенность. Часто данное условие заменяется более жестким условием Мейкснера, указывая порядок особенности компонент поля в окрестности «ребра». Но в окрестности угловых точек границы такие условия неизвестны. Условия на бесконечности (1.7) эквивалентны условиям Зоммерфельда (1.8), которые в некоторых случаях проще проверить. 𝜕 𝜕𝑟 ( 𝐸 𝐻 ) − 𝑖𝑘 ( 𝐸 𝐻 ) = 𝑜(𝑟 −1 ), ( 𝐸 𝐻 ) = 𝑂(𝑟 −1 ), 𝑟 → ∞. (1.10) Остальные условия выполняются равномерно по всем направлениям 𝑒 𝑟 Имеет место утверждение единственности для поставленной задачи. Утверждение 1.1. Вышеописанная задача при 𝐼𝑚𝑘 ≥ 0, 𝐾 ≠ 0 имеет не более одного решения. 11 Утверждение сохраняет силу в том числе и для системы из конечного числа непересекающихся экранов. Определение 1.2. Поверхностным током называют токи, протекающие по бесконечно тонким поверхностям. Задача дифракции сводится к решению интегро-дифференциального уравнения (1.10): 𝐿𝑢 ≔ 𝐺𝑟𝑎𝑑 𝜏 𝐴(𝐷𝑖𝑣 𝑢) + 𝑘 2 𝐴 𝜏 𝑢 = 𝑓, 𝑥 ∈ Ω, (1.11) где 𝐷𝑖𝑣 – операция поверхностной дивергенции, 𝐺𝑟𝑎𝑑 𝜏 – операция поверхностного градиента, 𝐴– интегральный оператор вида 𝐴 = ∫ exp(𝑖𝑘|𝑥 − 𝑦|) |𝑥 − 𝑦| Ω 𝑢(𝑦)𝑑𝑠, (1.12) 𝑢 – плотность поверхностного тока, векторное поле, касательное к экрану Ω. Индекс 𝜏 указывает на касательные компоненты к экрану Ω данного поля. В данном случае 𝑓 = 4𝜋𝑘𝐸 𝜏 0 | Ω (1.13) Определение 1.3. Под плотностью поверхностных токов понимают количество электричества, протекающего в единицу времени через единицу длины отрезка, расположенного на поверхности, по которой течет ток, и перпендикулярного направлению тока. Определение 1.4. Вектор 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑠 𝑊 ∶= 𝛻 𝑠 𝑊 = 𝜕 2 𝑊 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝑖 + 𝜕 2 𝑊 𝜕𝑥 𝜕𝑧 𝑗 + 𝜕 2 𝑊 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝑘 (1.14) является поверхностным градиентом функции 𝑊. 12 По аналогии с производной по направлению вычисляется производная по поверхности 𝑑 𝑠 2 𝑊 𝑑𝜎 ≔ (𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑠 𝑊) ∙ 𝑛 = 𝜕 2 𝑊 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝑐𝑜𝑠𝜑 + 𝜕 2 𝑊 𝜕𝑥 𝜕𝑧 𝑐𝑜𝑠𝜓 + 𝜕 2 𝑊 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝑐𝑜𝑠𝜃 (1.15) 𝑛 = 𝑖𝑐𝑜𝑠𝜑 + 𝑗𝑐𝑜𝑠𝜓 + 𝑘𝑐𝑜𝑠𝜃 Здесь 𝑛 – поле единичных нормалей поверхности дифференцирования. |