Числовая последовательность и ее предел. Предел функции на беско. Числовая последовательность и ее предел. Предел функции на бесконечности и в точке. Основные теоремы о пределах. Первый и второй замечательные пределы

• Название: Числовая последовательность и ее предел. Предел функции на бесконечности и в точке. Основные теоремы о пределах. Первый и второй замечательные пределы
• Дата: 09.09.2020
• Размер: 198 Kb.
• Имя файла: Числовая последовательность и ее предел. Предел функции на беско.doc
• Тип: Документы; #137343

Числовая последовательность и ее предел. Предел функции на бесконечности и в точке. Основные теоремы о пределах. Первый и второй замечательные пределы.
Числовая последовательность и её предел

Числовая последовательность – _________________________________________________

______________________________________________________________________________
Число a называется пределом последовательности x = {x_n}, если для произвольного заранее заданного сколь угодно малого положительного числа ε найдется такое натуральное число N, что при всех n>N выполняется неравенство |x_n - a| < ε.
Если число a есть предел последовательности x = {x_n}, то говорят, что x_n ^{стремится к a при} _{ }^{, и пишут}
Предел функции

Число А называется пределом функции f(x) при , если для любой последовательности аргументов , сходящейся к а, соответствующая последовательность значений функции сходится к А.

Число А называется пределом функции f(x) при , если для любого существует такое , что для всех х, удовлетворяющих условиям , выполняется неравенство .

Обозначается

П
Функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х = а (т.е. в самой точке х = а функция может быть и не определена)
редел функции в точке

y f(x)


A + 

A

A - 


0 a -  a a + x
Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности.
Число А называется пределом функции f(x) при х, если для любого числа >0 существует такое число М>0, что для всех х, х>M выполняется неравенство

При этом предполагается, что функция f(x) определена в окрестности бесконечности.

Записывают: Графически можно представить
y y

A A


0 х 0 х


y y

A A


0 х 0 х

Основные теоремы о пределах

Если функции f(x) и g(x) имеют конечные пределы при ха, то

Теорема 1. , где С = const.

Теорема 2.

Теорема 3.

Следствие.

Теорема 4. при

Теорема 5.

Теорема 6.
Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Функция f(x) называется бесконечно малой при ха, где а может быть числом или одной из величин , + или -, если .

Функция называется бесконечно большой при ха, где а – число или одна из величин , + или -, если , где А – число или одна из величин , + или -.

Обратная бесконечно малой величины является бесконечно большой величиной и наоборот.
Табличные пределы

1.	3.
2.	4.

Методы вычисления пределов
1) Метод непосредственного вычисления

2) Раскрытие неопределенностей вида


Для того чтобы раскрыть неопределенность вида при отыскании предела отношения многочленов , нужно

1. 
   определить тип неопределенности,
   
2. 
   если неопределенность вида , то поделить числитель и знаменатель на двучлен .
   

Замечание: При отыскании пределов от иррациональных функций с неопределенностями вида используется рассмотренный выше прием, но предварительно умножают числитель и знаменатель на выражения, сопряженные числителю и знаменателю

3) Раскрытие неопределенностей вида

Если предел отношения двух алгебраических функций при значении дает неопределенность вида , то нужно числитель и знаменатель поделить на старшую степень x встречающуюся в этой функции.
4) Замечательные пределы
Первый замечательный предел

Второй замечательный предел: или
5) Применение эквивалентных бесконечно малых функций

Эквивалентные бесконечно малые функции

При sin x х

tg x х

arcsin x х

arctg x х

ln(1+x) х

e^x -1 х

a^x -1 х ln a

0. 
   
   

Вопросы для самоподготовки:

1. 
   Что такое числовая последовательность и ее предел.
   
2. 
   Сформулируйте основные теоремы о пределах.
   
3. 
   Назовите первый и второй замечательные пределы.
   
4. 
   Дайте определение непрерывности функции в точке и на промежутке.
   
5. 
   Дайте классификацию точек разрыва функции.
   

0. 
   Вычислите пределы функций:
   

з) и)

к) л) м)

н) о) п)

р) с) т)

у) ф)