Чтобы получить симметрическое расширение заданного оператора а нужно найти изометрическое расширение его преобразования Кэли V
 Скачать 1.1 Mb.
|
 является собственным значением кратности  .Доказательство. Пусть  означает линейное многообразие всех решений уравнения .В силу теоремы об инвариантности дефектного числа в поле регулярности число измерений многообразия линейно независимы, ибо в противном случае число было бы собственным значением оператора А.Положим  (1)и пусть  означает оператор, совпадающий с оператором А* на  , так что число будет собственным значением оператора кратности .Покажем, что оператор самосопряженный.Для этого достаточно установить, что оператор симметрический, ибо из (1) следует, что .Если  и  - произвольные элементы из  и  то  откуда следует симметричность оператора .В заключении отметим еще одну теорему, относящуюся к числу решений уравнения при вещественных .Теорема. Если А – симметрический оператор с индексами дефекта  и - вещественное число, не принадлежащее точечному спектру оператора А, то число  решений уравнения (2)не превосходит дефектного числа .Для доказательства достаточно построить с помощью многообразия решения уравнения (2) область по формуле (1), где основа  .Из доказательства предыдущей теоремы следует, что оператор является расширением оператора А и, следовательно .Теорема доказана. Пусть А1 и А2 – два самосопряженных расширения симметричного оператора А с индексом дефекта , Всякий оператор С, удовлетворяющий условиям  (3)естественно называть общей частью операторов А1 и А2. Среди операторов С, удовлетворяющих условиям (3), существует, очевидно, такой, который является расширением любой общей части операторов А1 и А2; такой оператор назовем максимальной общей частью операторов А1 и А2. Максимальная общая часть либо является расширением оператора А, либо совпадает с А; в последнем случае расширения А1 и А2 будем называть взаимно простыми. Для того чтобы расширения А1 и А2 были взаимно простыми, необходимо и достаточно, чтобы одновременное выполнение условий  (4)вело принадлежность  к  .Если максимальное число линейно независимых по модулю векторов, удовлетворяющих условиям (4), равно  , то максимальная общая часть А0 операторов А1 и А2 имеет индексы дефекта  . В этом случае операторы А1 и А2 могут рассматриваться как взаимно простые самосопряженные расширения оператора А0.Задачей настоящего пункта является вывод формулы, связывающей резольвенты двух самосопряженных расширений оператора А. Пусть  - фиксированное самосопряженное расширение, а  и  - их резольвенты. Пусть, далее - любая общая точка регулярности операторов и В (в частности, может быть произвольным невещественным числом).Чтобы не выделять случая, когда и В не являются взаимно простыми расширениями оператора А, будем рассматривать их как взаимно простые расширения их максимальной общей части А0, имеющей индексы (r, r), где  Положим  и  . Для разности резольвент будем иметь  (5)Последнее вытекает из того, что при любом   .Выберем как-нибудь  линейно независимых векторов  из и линейно независимых векторов  из  . Из (3) для любого  следует . (6)Согласно (4) константы  являются линейными функционалами от , и можно положить   .Так как, в силу (5) и линейной независимости векторов  , при любом , ортогональном к , должно быть  ,то  ,т.е.  , (7)и (4) принимает вид  = . (8)Заметим, что матричная функция  , определенная на множестве общих точек регулярности операторов и  , является неособенной.Предположение  влечет в силу (7) линейную зависимость векторов  , что означает существование вектора  , удовлетворяющего условиям  ,  .Для вектора получаем из (6)  =0, а это противоречит взаимной простоте операторов и  , как расширений оператора  .Опуская в (8) элемент и рассматривая  как операторы, получаем для любого значения из множества общих точек регулярности операторов и В формулу (9)Левая и правая части формулы (8) являются регулярными аналитическими вектор-функциями от . Покажем, что  могут быть определены как регулярные аналитические вектор-функции от , и получим соответствующую этому выбору формулу для матричной функции  .С этой целью возьмем какое-нибудь фиксированное значение  и введем оператор  с областью определения  и областью значений  .Оператор  определяется формулами ,   , из которых следует, что осуществляемое им отображение Н на Н взаимно однозначно. В частном случае, при  оператор приводит к преобразованию Кэли оператора и отображает дефектное подпространство  . Покажем, что вообще  .Выберем произвольный базис  и докажем, что  .Имеем  т.е. . При этом в силу взаимной однозначности отображения, осуществляемого оператором , векторы  образуют базис в , и мы можем принять, что векторы в любой точке регулярности оператора |