Чтобы получить симметрическое расширение заданного оператора а нужно найти изометрическое расширение его преобразования Кэли V
![]()
|
![]() ![]() - преобразование Кэли ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() В силу формул (1) ![]() и поэтому ![]() Утверждение. Индексы дефекта ![]() ![]() ![]() Действительно, по определению, ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Теорема 1. Если оператор V – изометрический и многообразие ![]() Теорема 2. Пусть А1 и А2 – симметрические операторы, а V1 и V2 – их преобразования Кэли. Для того чтобы оператор А2 был расширением оператора А1, необходимо и достаточно, чтобы оператор V2 был расширением оператора V1. Таким образом теорема 2 сводит вопрос о симметрических расширениях заданного оператора А к вопросу об изометрических расширениях его преобразования Кэли. Известно, что замкнутые линейные многообразия F и G могут служить соответственно областью определения и изменения изометрического оператора тогда и только тогда, когда равны их размерности, тогда изометрические расширения оператора V могут быть получены следующим образом. Выберем в дефектных подпространствах ![]() ![]() Определим, далее, линейный оператор ![]() ![]() ![]() п ![]() ![]() Очевидно, ![]() ![]() Из приведенных выше рассуждений следует, в частности, что оператор А является максимальным симметрическим (самосопряженным) тогда и только тогда, когда его преобразование Кэли V является максимальным изометрическим оператором. Поэтому имеют место следующие теоремы. Теорема 3. Для того чтобы симметрический оператор был максимальным, необходимо и достаточно, чтобы одно из его дефектных чисел равнялось нулю. Для того чтобы симметрический оператор был самосопряженным, необходимо и достаточно, чтобы оба его дефектных числа равнялись нулю. Теорема 4. Пусть А – произвольный симметрический оператор с индексами дефекта ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Теорема. Пусть А – произвольный симметрический оператор с областью определения DA, a ![]() ![]() ![]() DA* = DA ![]() ![]() ![]() Доказательство. Покажем, что любой элемент f из DA* представим в виде f = f0 + g ![]() ![]() где f0 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Пусть ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() но ![]() ![]() откуда заключаем, что ![]() т.е. ![]() или ![]() Для окончания доказательства теоремы осталось установить, что представление (1) каждого элемента ![]() ![]() Применяя к обеим частям этого равенства оператор А*, получаем ![]() Умножая далее (2) на z и вычитая из (2’), получаем ![]() откуда, вследствие ортогональности слагаемых, следует, что ![]() ![]() следовательно, ![]() Теорема доказана. Найдем теперь ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Так как сумма первых трех слагаемых вещественна, то ![]() где в квадратных скобках снова стоит вещественная величина, а потому окончательно находим ![]() В соответствии с формулой (3) область DA* состоит из трех (нелинейных) многообразий Г+ (совокупность элементов f, для которых ![]() ![]() ![]() принадлежит Г+, Г- или Г0, смотря потому, будет ли ![]() ![]() ![]() Найдем теперь для области определения ![]() ![]() Чтобы подчеркнуть зависимость подпространств F и G от z, будем писать Fz и Gz. Таким образом, ![]() ![]() или, полагая V1= - V', ![]() Из ![]() ![]() ![]() будет ![]() Формулы (1) и (4) будем называть соответственно первой и второй формулой Неймана. Из первой формулы Неймана непосредственно следует для размерности DA* по модулю DA формула: ![]() Вторая формула Неймана совместно с равенством (4’) описывает все симметрические расширения ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 3. ФОРМУЛА КРЕЙНА ДЛЯ РЕЗОЛЬВЕНТ САМОСОПРЯЖЕННЫХ РАСШИРЕНИЙ ЗАДАННОГО СИММЕТРИЧЕСКОГО ОПЕРАТОРА Теорема 1. Все самосопряженные расширения оператора с равными и конечными дефектными числами имеют один и тот же непрерывный спектр. Теорема 2. При произвольном расширении оператора с равными и конечными индексами дефекта ( ![]() ![]() ![]() ![]() Теорема3. Если ![]() ![]() ![]() |