Аа. Множества. Действительные числа Числовые множества Основные понятия теории множеств в математике понятие

• Название: Действительные числа Числовые множества Основные понятия теории множеств в математике понятие
• Дата: 10.09.2022
• Размер: 336.13 Kb.
• Имя файла: Множества.pdf
• Тип: Глава; #670684

ГЛАВА 1. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
§ 1. Числовые множества
1.1. Основные понятия теории множеств
В математике понятие множество используют для описания совокупности предметов или объ- ектов. При этом предполагается, что предметы (объекты) данной совокупности можно отличать друг от друга и от предметов, не входящих в данную совокупность. Например, можно говорить о множестве книг в данной библиотеке, множестве вершин данного многоугольника, множестве всех звезд, входя- щих в созвездие Большой Медведицы и т.д.
Объекты, из которых состоит множество, называют его элементами. Множества принято обозна- чать заглавными буквами латинского алфавита

,
,
,
C
B
A
, а элементы множества – строчными буквами

,
,
,
c
b
a
Факт принадлежности элемента
a
множеству
A
записывается:
A
a

, а отрицание этого факта:
A
a

Множество называется:
- конечным, если оно содержит конечное число элементов;
- бесконечным, если оно содержит бесконечное число элементов;
- пустым и обозначается

, если оно не содержит ни одного элемента.
Множество можно задать либо перечислением всех его элементов:


c
b
a
A
,
,

, либо указанием характеристического свойства его элементов:
- множество студентов АнГТУ;
- множество решений уравнения
0 1
2


x
, т.е. множество, состоящее из двух элементов: 1 и -1;
- множество всех чисел, удовлетворяющих неравенствам
7 3


x
, записывается так:


7 3
:



x
x
X
1.2. Числовые множества
В математике (алгебре) чаще всего приходится иметь дело с множествами, элементами которых являются числа. Такие множества называются числовыми.
Определение 1. Числа

,
5
,
4
,
3
,
2
,
1
, использующиеся для счета предметов или для указания поряд- кового номера того или иного предмета среди однородных, называются натуральными.
Обозначаются натуральные числа буквой
N
, т.е.



,
5
,
4
,
3
,
2
,
1

N
Натуральные числа

,
5
,
4
,
3
,
2
,
1
, противоположные им числа

,
5
,
4
,
3
,
2
,
1





и число 0 (нуль) образуют множество целых чисел. Обозначаются целые числа буквой
Z
:




3
,
2
,
1
,
0
,
1
,
2
,
3




Z
Определение 2. Числа, которые можно представить в виде
n
m
, где
m
– целое число


Z
m

, а
n
– натуральное число, называются рациональными числами.
Обозначаются рациональные числа буквой
Q
Таким образом, рациональные числа:









N
n
Z
m
n
m
Q
,
:

Всякое рациональное число является либо целым, либо представляется конечной или периодиче- ской бесконечной десятичной дробью.
Например,
 
3
,
0 3333
,
0 3
1
,
3
,
0 10 3
,
3
,
0 10 3
,
25
,
1 4
5
,
3 2
6
,
5 1
5










Числа, которые представляются бесконечными, но непериодическими десятичными дробями, называются иррациональными числами. Иррациональные числа обозначаются буквой
I
. Это числа

414211356
,
1 2

;

14159265
,
3


, где
d
l


– отношение длины
 
l
окружности к ее диаметру
 
d
и т.д.
Совокупность всех рациональных и иррациональных чисел называется множеством действи-
тельных (или вещественных) чисел. Обозначаются действительные числа буквой
R
Действительные числа можно изображать точками числовой оси.
Определение 3. Числовой осью называется бесконечная прямая, на которой выбраны:
1) некоторая точка
O
, называемая началом отсчета,
2) положительное направление, которое указывается стрелкой,
3) масштаб для измерения длин.
Наряду с понятием числовая ось используют понятие координатная прямая.
Чаще всего числовую ось располагают горизонтально и положительное направлении выбирают слева направо (рис. 1).
Рисунок 1
Точка О изображает число нуль. Очевидно, что каждое действительное число изображается опре- деленной точкой числовой оси. Два различных действительных числа изображаются различными точ- ками числовой оси. Например, точке М соответствует число -1. Число -1 называется координатой точки
М и обозначается
 
1

M
. Рассуждая аналогично, получаем, что координата точки N равна 1, т.е.
 
1
N
Таким образом, множество действительных чисел – это множество чисел





,
1.3. Числовые промежутки
Возьмем два действительных числа
a
и
b
, такие, что
b
a

Определение 4. Множество действительных чисел
x
, удовлетворяющих определенным неравен- ствам, называется числовым промежутком.
Виды числовых промежутков представлены в таблице 1.
Таблица 1
Вид промежутка
Геометрическое изображение
Обозначение
Запись с по-
мощью не-
равенства
Интервал (откры- тый промежуток)
 
b
a ;
b
x
a


Отрезок (закры- тый промежуток)
 
b
a ;
b
x
a


x
-1
0
M
1
N
O
a
b
x
a
b
x

Полуинтервал
(открытый слева)


b
a ;
b
x
a


Полуинтервал
(открытый спра- ва)


b
a ;
b
x
a


Луч




;
a
a
x

Луч


b
;


b
x

Открытый луч




;
a
a
x

Открытый луч


b
;


b
x

1.4. Модуль действительного числа
Определение 5. Модулем (абсолютной величиной) действительного числа
x
(обозначается
x
) называется неотрицательное действительное число, удовлетворяющее условиям:
0
,
;
0
,





x
если
x
x
x
если
x
x
Например,
2 2

, так как
0 2

;


7
,
3 7
,
3 7
,
3





, так как
0 7
,
3


;
3 3





, так как



14
,
3 0
3





Геометрически
x
означает расстояние на координатной прямой от точки
x
до точки
О
(рис. 2).
Рисунок 2
Свойства модулей:
1.
0

x
2.
x
x


3.
y
x
y
x


4.
0
,


y
y
x
y
x
a
b
x
a
b
x
a
x
b
x
a
x
b
x
O
x

5.
2 2
x
x

Если
x
и
y
– две точки координатной прямой, то расстояниемежду ними
 
y
x ;

выражается формулой:
 
y
x
y
x


;

(рис. 3).
Рисунок 3
Например,


 
7 7
7 5
2 5
;
2











;


 
9 9
9 10 1
10
;
1









1.5. Правила действий над действительными числами
1. Сумма двух чисел одного знака есть число того же знака.
Правило 1. Чтобы найти сумму двух чисел одного знака, надо сложить модули слагаемых.
Например,
   
   
20 9
11
,
20 9
11










2. Сумма двух чисел с разными знаками есть число, которое имеет тот же знак, что и слага-
емое с большим модулем.
Правило 2. Чтобы найти модуль суммы двух чисел с разными знаками, надо из большего мо-
дуля вычесть меньший и поставить знак большего модуля.
Например,
    

    

2 9
11 9
11
,
2 9
11 9
11















3. Разность двух чисел
Правило 3. Чтобы из одного числа вычесть другое, надо к уменьшаемому прибавить число,
противоположное вычитаемому.
Например,
 
 
  

2 9
11 9
11 9
11
,
20 9
11 9
11














4. Произведение (частное) двух чисел одного знака есть число положительное, а произведение
(частное) двух чисел разного знака есть число отрицательное.
Правило 4. Чтобы найти модуль произведения (частного), надо перемножить (разделить)
модули данных чисел.
Например,
   
 
4 9
36 9
:
36
,
99 9
11 9
11












Пример 1.
Вычислить:
1)
  

8
,
6 2
,
3 10 10 2
,
3 10 2
,
3









– в данном примере рассматриваем разность двух чисел: применяем правило 3, а затем 2.
2)


10 1
,
13 1
,
23 1
,
23 1
,
13






– в данном примере рассматриваем сумму двух чисел с разными знаками: применяем правило 2.
y
x

3)

 

2
,
36 1
,
23 1
,
13 1
,
23 1
,
13 1
,
23 1
,
13











– в данном примере рассматриваем разность двух чисел: применяем правило 3, а затем 1.
5. Правило раскрытия скобок
Правило 5. Если перед скобкой стоит знак
«+»
, то, раскрывая скобки, нужно сохранить знак
каждого слагаемого суммы, заключенной в скобки.
Например,


9
,
6 11 9
,
17 11 6
,
15 3
,
2 11 6
,
15 3
,
2








Правило 6. Если перед скобкой стоит знак
«-»
, то, раскрывая скобки, нужно знаки слагаемых
поменять на противоположные.
Например,




77
,
29 77
,
29 28
,
36 28
,
36 28
,
36 77
,
29 28
,
36 28
,
36 77
,
29 28
,
36









