ЛНДУ. Дифференциальные уравнения высших порядков
 Скачать 1.01 Mb.
|
Дифференциальные уравнения высших порядковЛинейные неоднородные дифференциальные уравнения Метод вариации произвольных постоянных Линейные неоднородные ДУ второго порядка с правой частью специального вида 1/16 Рассмотрим линейное неоднородное ДУ (ЛНДУ) второго порядка: 2/16 Уравнение: Теорема 1 (1) левая часть которого совпадает с левой частью ЛНДУ (1), называется соответствующим ему однородным уравнением. (2) Общим решением y уравнения (1) является сумма его произвольного частного решения y* и общего решения y = C1y1+C2y2 , соответствующего ему однородного уравнения: ( о структуре общего решения ЛНДУ) Частное решение у* уравнения (1) можно найти, если известно общее решение соответствующего однородного уравнения методом вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа). 3/16 Пусть - общее решение уравнения (2) Заменим в общем решении постоянные С1 и С2 на неизвестные функции С1(х), С2(х) : Чтобы функция (3) была решением уравнения (1), необходимо чтобы функции С1(х), С2(х) удовлетворяли системе уравнений: (3) (4) Определитель системы: 4/16 так как это определитель Вронского для фундаментальной системы частных решений уравнения (2). Поэтому система (4) имеет единственное решение: Интегрируя функции находим С1(х), С2(х) а затем по формуле (3) составляем частное решение уравнения (1). 5/16 Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения: Найдем частное решение исходного уравнения: Составим систему: 6/16 Решим систему методом Крамера: 7/16 Запишем частное решение уравнения: Следовательно, общим решением уравнения будет: Рассмотрим ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами: 8/16 (5) Согласно теореме 1, общее решение этого уравнения ищется в виде: Для уравнений с постоянными коэффициентами существует более простой способ нахождения y*, если правая часть уравнения f(x) имеет так называемый специальный вид: I II Суть метода, называемого методом неопределенных коэффициентов, заключается в следующем: по виду правой части f(x) уравнения (5) записывают ожидаемую форму частного решения с неопределенными коэффициентами, затем подставляют ее в уравнение (5) и из полученного тождества находят значения коэффициентов. 9/16 Правая часть имеет вид: I Многочлен n - ой степени Действительное число Уравнение (5) запишется в виде: Частное решение ищем в виде: где r – число, равное кратности α как корня характеристического уравнения; записанный с неопределенными коэффициентами - многочлен степени n, 10/16
11/16 Найти общее решение уравнения: Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения: Найдем частное решение исходного уравнения: α = 0 не является корнем характеристического уравнения Подставим в исходное уравнение: 12/16 Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x: Общее решение исходного уравнения: 13/16 Правая часть имеет вид: Частное решение ищем в виде: где r – число, равное кратности α + iβ как корня характеристического уравнения; неопределенными коэффициентами, где l - наивысшая степень многочленов P и Q, то есть: - многочлены степени l, записанные с II Многочлены степени n и m Действительные числа 14/16
15/16 Найти общее решение уравнения: Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения: Найдем частное решение исходного уравнения: Число является корнем хар. уравнения, поэтому r = 1 = 36 = 0 16/16 Подставим в исходное уравнение: Приравняем коэффициенты при sin x и при cos x |