Раздел 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
7/1 Функция нескольких переменных
I ЭЛЕМЕНТЫ ТОПОЛОГИИ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Топология – раздел математики, изучающий топологические свойства фигур, т. е. свойства, не изменяющиеся при любых деформациях, производимых без разрывов и склеиваний, точнее, при взаимно однозначных и непрерывных отображениях. Топологическое пространство представляет собой множество произвольных элементов, называемых точками, и характеризуемых отношением «бесконечной близости».
ОПР. 1 Множество всевозможных упорядоченных совокупностей n действительных чисел называется n – мерным координатным пространством . Каждая такая упорядоченная совокупность, обозначаемая , называется точкой этого пространства, а числа , , …, – координатами точки М.
Координатное пространство будет n – мерным евклидовым пространством (чаще всего обозначаемым ), если расстояние между двумя его произвольными точками и определить по формуле
. 1
Замечание.
Очевидно, что геометрическими образами евклидовых пространств , , могут служить соответственно координатная прямая, плоскость и трехмерное пространство, в которых введены прямоугольные системы координат, а расстояние в каждом из этих пространств вычисляется, согласно, формуле 1:
если , – точки , то ;
если , – точки , то
;
если , – точки , то
;
таким образом, получены известные формулы из аналитической геометрии.
Рассмотрим классификацию множеств, состоящих их точек n – мерного евклидова пространства . Пусть даны точки и .
ОПР. 2 Множество всех точек , удовлетворяющих условию
, 2
называется n – мерным отрезком с границами и , обозначаемым .
Объединение отрезков , , …, называется ломаной с вершинами , , …, .
ОПР. 3 Множество точек называется связным, если две любые его точки можно соединить ломаной, которая целиком содержится в данном множестве.
ОПР. 4 Пусть дана точка и положительное число . Множество всех точек , удовлетворяющих условию
, 3
называется n – мерным шаром с центром в точке и радиусом ; n – мерная сфера определяется условием
. 4
ОПР. 5 Множество точек называется ограниченным, если существует такой n– мерный шар, который содержит в себе это множество.
Пример. Описать множества, представляющие собой шар и сферу в евклидовых пространствах , .
1) Шаром в пространстве с центром в точке (одномерным шаром) является отрезок , а сферой (одномерной сферой) – пара точек, расположенных на координатной прямой симметрично относительно на расстоянии : , .
2) Шаром и сферой в пространстве с центром в точке (двумерными шаром и сферой) будут соответственно круг и окружность с центром и радиусом , расположенные в координатной плоскости .
ОПР. 6 Пусть дана точка и положительное число . Множество всех точек , удовлетворяющих условию
, 5
называется – окрестностью точки .
ОПР. 7 Точка называется внутренней точкой множества , если существует – окрестность точки , целиком содержащаяся в данном множестве (рис. 1).
ОПР. 8 Множество называется открытым, если все его точки являются внутренними.
Пример. Указать примеры открытых множеств в евклидовых пространствах , , .
РЕШЕНИЕ:
1) Открытыми множествами в пространстве являются: интервал , луч , вся числовая прямая .
2) В пространстве открытыми множествами будут круг без граничной окружности (открытый круг) и вся координатная плоскость .
3) В пространстве – шар без сферы (открытый шар) и все трехмерное пространство .
ОПР. 7 Точка называется граничной точкой множества , если в любой – окрестности точки имеются как точки, принадлежащие множеству , так и точки, ему не принадлежащие (рис. 2).
|
| Рис. 1
| Рис. 2
| Множество всех граничных точек множества называется его границей.
Множество называется замкнутым, если оно содержит в себе свою границу.
Пример. Указать примеры замкнутых множеств в евклидовых пространствах , , .
РЕШЕНИЕ:
1) Замкнутыми множествами в пространстве являются, например, отрезок , луч , вся числовая прямая .
2) В пространстве замкнутыми множествами будут круг и прямоугольник вместе со своими границами и вся координатная плоскость .
3) В пространстве – шар, параллелепипед и все трехмерное пространство .
ОПР. 9 Точка называется предельной точкой множества , если в любой – окрестности точки содержится хотя бы одна точка множества , отличная от . По-другому: точка является предельной для , если к этой точке можно «подойти сколь угодно близко, идя по точкам множества и не наступая на саму точку », которая сама может принадлежать, а может не принадлежать этому множеству.
ОПР. 10 Открытое связное множество называется областью, а объединение области и ее границы – замкнутой областью.
II ФУНКЦИЯ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Пусть – множество точек пространства .
ОПР. 11 Если каждой точке , принадлежащей множеству , по определенному правилу ставится в соответствие единственное число u, то говорят, что на множестве задана функция n переменных, обозначаемая или . Иногда функцию называют функцией точки, или отображением, или скалярным полем.
Числовые переменные , , …, называются независимыми переменными или аргументами функции, а число u, соответствующее данной точке М, – частным значением функции в точке М.
ОПР. 12 Множество , состоящее из упорядоченных совокупностей n чисел, называется областью определения функции нескольких переменных (специальное обозначение: ), а множество , в которое входят все частные значения функции , где , – множеством значений этой функции.
ОПР. 13 Графиком функции называется множество точек
,
принадлежащих (n+ 1) – мерному пространству.
Замечание. Функции двух и трех переменных часто обозначают так: и . Очевидно, что графиком функции является некоторая поверхность в трехмерном пространстве, а для функций трех и большего числа переменных график построить нельзя.
Пример. Найти область определения и множество значений функции двух переменных , выяснить вид ее графика.
РЕШЕНИЕ:
Функция принимает действительные значения при условии ,или , т.е. областью определения данной функции является круг радиуса 3 с центром в начале координат, включая граничную окружность: . Множеством значений функции является отрезок . Графиком функции является верхняя половина сферы, заданной уравнением , удовлетворяющая условию .
ОПР. 14 Линией уровня функции двух переменных (скалярного поля) называется линия на плоскости , во всех точках которой функция сохраняет постоянное значение . Аналогично поверхностью уровня функции трех переменных (скалярного поля) называется поверхность в координатном пространстве , в точках которой функция сохраняет постоянное значение .
Замечание. Известно, что для некоторых физических примеров скалярных полей (поле температур, поле давлений, поле потенциалов) существуют специальные названия линий или поверхностей уровня (изотермы, изобары, эквипотенциальные поверхности).
Пример. Указать линии уровня функции .
РЕШЕНИЕ:
Уравнение множества линий уровня имеет вид , или . Придавая постоянной С различные действительные значения, удовлетворяющие условию , получим семейство концентрических окружностей с центром в начале координат и радиусами, не превосходящими числа 3.
Пример. Составить уравнение поверхности уровня функции , проходящей через точку (3; –4; 2).
РЕШЕНИЕ:
Уравнение множества поверхностей уровня имеет вид . Придавая постоянной С произвольные действительные значения, получим семейство параллельных между собой плоскостей, имеющих один и тот же нормальный вектор . Для поверхности, проходящей через заданную точку (3; –4; 2), получим, что С = –4, и уравнение соответствующей плоскости имеет вид . III ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Пусть функция определена на множестве ( ) и точка – предельная точка множества . Рассмотрим различные подходы к понятию предела функции нескольких переменных, выражаемые в двух эквивалентных друг другу определениях.
ОПР. 15 (по Гейне). Число А называется пределомфункции в точке , если для любой сходящейся к последовательности такой, что , , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу А:
или . 6
ОПР. 16 (по Коши). Число А называется пределомфункции в точке (при ), если для любого сколь угодно малого числа найдется такое число , что для всех точек , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .
Замечание. Число А является пределом, например, функции трех переменных в точке , если для всех значений x, yи z, достаточно мало отличающихся от чисел x0, y0 и z0, соответствующие значения функции как угодно мало отличаются от числа А:
. 7
Пусть функция определена на множестве , которое содержит точки, сколь угодно удаленные от точки .
Все правила предельного перехода, рассмотренные для функций одной переменной, без всяких изменений переносятся на случай функций нескольких переменных.
ОПР. 17 Функция называется непрерывной в точке , если она определена в некоторой окрестности этой точки (т.е. точка является внутренней точкой ) и ее предел равен значению функции в предельной точке:
. 8
Для функции трех переменных и внутренней точки равенство 7 примет вид:
. 9
Замечание. Аналогично соответствующим положениям теории функций одной переменной арифметические операции над непрерывными в данной точке функциями нескольких переменных, так же, как и построение сложных функций, приводят к непрерывным же функциям.
ОПР. 18 Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области , называется непрерывной в этой области.
Отметим свойства, характерные для непрерывных в замкнутых ограниченных областях функций нескольких переменных.
Если функция непрерывна в замкнутой ограниченной области , то:
функция ограничена в области ; функция принимает в свои наименьшее и наибольшее значения; функция принимает в любое значение, заключенное между наименьшим и наибольшим значениями.
ОПР. 19 Предельные точки области определения функции , в которых функция не является непрерывной, называются точками разрыва этой функции.
|