РЕФЕРАТ. дифференциалы высших порядков. Дифференциалы высших порядков. Дифференциалы высших порядков
![]()
|
РЕФЕРАТ на тему: «Дифференциалы высших порядков» Выполнил: Проверил: Москва 2021 Содержание Введение 3 1.Функции нескольких переменных 4 1.1 Определение функции нескольких переменных 4 1.2 Предел функции двух переменных 4 1.3 Непрерывность функции двух переменных 5 2.Частные производные 6 2.1 Частные производные 6 2.2 Полный дифференциал 7 2.3 Производные и дифференциал сложной функции 9 2.4 Неявные функции и их дифференцирование 11 3.Частные производные и дифференциалы высших порядков. 13 3.1 Частные производные высших порядков 13 3.2 Признак полного дифференцирования 14 3.3. Дифференциалы высших порядков 14 Заключение 17 Список использованных источников 18 ВведениеМногие явления, происходящие в природе, экономике, общественной жизни нельзя описать с помощью функции одной переменной. Например, рентабельность предприятия зависит от прибыли, основных и оборотных фондов. Для изучения такого рода зависимостей и вводится понятие функции нескольких переменных. В данной работе рассматриваются функции двух переменных, так как все основные понятия и теоремы, сформулированные для функций двух переменных, легко обобщаются на случай большего числа переменных. Так же, как и в случае функций одной переменной, можно для функций нескольких переменных вычислять дифференциалы порядка выше первого. Причём для сложных функций дифференциалы порядка выше первого не обладают неизменной формой и выражения для них более громоздки. В данной работе предстоит рассмотреть так же геометрический смысл полного дифференциала функции нескольких переменных, который вводится по аналогии с геометрическим смыслом функции одной действительной переменной. Функции нескольких переменных1.1 Определение функции нескольких переменныхПеременная zназывается функцией двух независимых переменных x и y, если некоторым парам значении x и y по какому – либо правилу или закону ставится в соответствие определенное значение z. Множество G пар значений x и y, которые могут принимать переменные x и y, называется областью определения функции, а множество всех значений, принимаемых z в области определения, - областью значений функции z. Переменные x и называются аргументами функции. Пара чисел x и y определяет положение точки M на плоскости xOy с координатами x и y. Поэтому функцию двух переменных можно рассматривать либо как функцию двух переменных ![]() ![]() ![]() ![]() Каждой тройке (x; y; z) в пространстве Oxyz соответствует точка M(x; y; z). Совершенно аналогично случаю двух переменных можно дать определение функции трех переменных ![]() Аналогично можно дать определение функции четырех и более переменных. 1.2 Предел функции двух переменныхМножество точек M(x; y), координаты x и y которых удовлетворяют неравенству ![]() ![]() ![]() Определение. ЧислоA называет пределом функции ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Функция ![]() ![]() ![]() 1.3 Непрерывность функции двух переменныхПусть точка ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Обозначим ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Частные производные2.1 Частные производныеЧастной производной функции нескольких переменных по какой-нибудь переменной в рассматриваемой точке называется обычная производная по этой переменной, считая другие переменные фиксированными (постоянными). Например, для функции двух переменных ![]() ![]() ![]() ![]() если эти пределы существуют. Величина ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Символы ![]() ![]() ![]() ![]() Из определения следует геометрический смысл частной производной функции двух переменных: частная производная ![]() ![]() ![]() ![]() Пользуясь понятием скорости изменения переменной, можно сказать, что частная производная ![]() ![]() ![]() ![]() Из определения частных производных следует, что правила вычисления их остаются теми же, что для функций одной переменной, и только требуется помнить, по какой переменной ищется производная. Пример 1. Если ![]() ![]() ![]() Пример 2. Если ![]() ![]() ![]() ![]() Аналогично определяются и обозначаются частные производные функции трех и большего числа независимых переменных. 2.2 Полный дифференциал![]() Если приращение (1) можно представить в виде ![]() Где А и В не зависят от ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Из определения дифференцируемости функции следует, что если данная функция дифференцируема в точке ![]() Действительно, если в точке ![]() ![]() ![]() ![]() а это и означает, что в точке ![]() ![]() Из дифференцируемости функции в данной точке следует существование ее частных производных в этой точке (необходимое условие дифференцируемости). В самом деле, пусть функция ![]() ![]() ![]() ![]() Деля на ![]() ![]() ![]() Это означает, что в точке ![]() ![]() ![]() ![]() Аналогично доказывается, что в точке ![]() ![]() Используя формулы (4) и (5), можно переписать выражение (3) в виде ![]() Если положить ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Теорема (достаточное условие дифференцируемости). Если функция ![]() ![]() ![]() ![]() Доказательство. Дадим переменным ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Каждая из этих разностей представляет частное приращение функции. Преобразует каждую из этих разностей по формуле Лагранжа. Получим: ![]() ![]() Так как производные ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Отсюда ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() а это и означает, что функция ![]() ![]() 2.3 Производные и дифференциал сложной функцииПусть ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() откуда ![]() Устремим теперь ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() или, короче, ![]() Формула (7) называется формулой производной сложной функции. Пример 1. Пусть ![]() ![]() ![]() ![]() Предположим, в частности, что роль независимой переменной играет, т.е. рассмотрим функцию ![]() ![]() ![]() так как ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ( ![]() ![]() ![]() ![]() Пусть теперь ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Аналогично ![]() Пример 2. Если ![]() ![]() ![]() ![]() Из формул (9) и (10) видно, что символ частной производной, как уже отмечалось выше, нельзя трактовать как дробь. В самом деле, если бы можно было сократить на ![]() ![]() ![]() ![]() 2.4 Неявные функции и их дифференцированиеЕсли уравнение, с помощью которого задается функция одной переменной x, не разрешено относительно y, то эта функция называется неявной. Разрешая это уравнение относительно y, мы получаем ту же функцию, но уже заданную в явной форме. Однако часто бывает, что разрешить такое уравнение относительно yневозможно (например, ![]() ![]() В связи с этим встает вопрос о том, как найти производную неявной функции, не разрешая уравнения (11) относительно у. Если в уравнении (11), определяющем неявную функцию ![]() ![]() ![]() Отсюда при ![]() ![]() Пример 1. Пусть y как функция от xзадана соотношением ![]() ![]() Для ![]() ![]() ![]() ![]() Пусть уравнение ![]() Определяет z как неявную функцию ![]() Пользуясь формулой (12), из равенства (13) имеем: ![]() ![]() Пример 2. Найти частные производные неявной функции z, заданной уравнением ![]() Согласно формулам (14) ![]() ![]() Частные производные и дифференциалы высших порядков.3.1 Частные производные высших порядковЧастные производные функции нескольких переменных сами являются функциями этих переменных и могут иметь частные производные. Для исходной функции эти последние производные будут частными производными второго порядка. Так, для функции ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Частные производные ![]() ![]() Аналогично определяются частные производные третьего, четвертого и старших порядков. Пример. Найти частные производные второго порядка функции ![]() Имеем: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Здесь ![]() ![]() Теорема. Смешанные производные второго порядка равны, если они непрерывны: ![]() ![]() Следствие. Смешанные производные высших порядков равны, если они непрерывны и получены в результате дифференцирования по одним и тем же переменным одинаковое число раз, но может быть в разной последовательность. Покажем это на примере: ![]() т.е. ![]() Здесь мы дважды пользовались только что отмеченной теоремой: первый раз применительно к функции ![]() ![]() ![]() 3.2 Признак полного дифференцированияВыясним, при каких условиях выражение ![]() где ![]() ![]() ![]() Теорема. Выражение (12) есть полный дифференциал тогда и только тогда, когда выполнено равенство ![]() 3.3. Дифференциалы высших порядковЗаметим прежде всего, что для функции нескольких переменных справедливы те же общие правила дифференцирования, что и для функции одной переменной: I. ![]() ![]() ![]() II. ![]() III. ![]() ![]() IV. ![]() ![]() Пусть имеется функция ![]() ![]() (dxиdy – произвольные приращения), который назовем полным дифференциалом первого порядка (или, кратко, первым дифференциалом). Так как ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Аналогично, потребовав существование непрерывных частных производных третьего, четвертого, п-го порядков, можно получить полные дифференциалы соответственно третьего, четвертого, п-ого порядков. Найдем выражения для второго дифференциала через частные производные. Пользуясь правилами I, III (dxиdy не зависят отxиy, т.е. рассматриваются как постоянные) и приведенной в п. 3.1 теоремой, можно записать: ![]() (здесь ![]() ![]() Формула (13) обобщается на случай дифференциала п-го порядка. Пусть в области D задана непрерывная функция z=f(x1, x2,…, хm). Если для функции z существуют непрерывные частные производные всех порядков до n-го включительно, то существование n-го дифференциала обеспечено. ![]() Формулу (14) надлежит понимать так: сначала «многочлен», стоящий в скобках, формально, возводится по правилам алгебры в степень, затем все полученные члены «умножаются» на z (которое дописывается в числителях при ∂n), и только после этого всем символам возвращается их значение как производных и дифференциалов. ЗаключениеОпределения и обозначения, связанные с частными производными высших порядков, остаются в силе и для функций, зависящих от трёх и более переменных. Остаётся справедливой и возможность изменения порядка производимых дифференцирований при условии непрерывности сравниваемых между собой производных. Список использованных источниковГусак А. А. Высшая математика. Учебное пособие для студентов вузов в 2-х томах. - Мн., 1998. - 544 с. (1 т.), 448 с. (2 т.). Гусак А. А. Математический анализ и дифференциальные уравнения. - Мн.: ТетраСистемс, 1998. - 416 с. Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.: Наука, 1981, стр.124-134 Кремер Н. Ш., Путко Б. А., Тришин И. М., Фридман М. Н. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Под ред. проф. Н. Ш. Кремера. - М.: ЮНИТИ, 2002. - 471 с. Смирнов В. И. Курс высшей математики, Т.1.: Изд-во «Наука». 1974. – 368 с. Тер-Крикоров А. М., Шабунин М. И. Курс математического анализа, физмат-лит, 1988, - 259 с. Фихтенгольц Г. М., «Курс дифференциального и интегрального исчисления», Том 1, стр. 410-413 Яблонский А. И., Кузнецов А. В., Шилкина Е. И. и др. Высшая математика. Общий курс: Учебник / Под общ. ред. С. А. Самаля.- Мн.: Выш. шк., 2000. - 351 с. |