Динамика механической системы основные понятия. Центр масс механической системы
 Скачать 3.28 Mb.
|
|
m V h O Кинетический момент механической системы Определим кинетический момент механической системы. Для каждой из точек механической системы имеем векторы количества движения n n V m V m V m 2 2 , 1 1 . Относительно неподвижного центра О можем найти векторы-моменты количеств движения каждой из точек по формуле i i i i i i q r V m r l * 0 Главный момент количества движения материальных точек механической системы относительно центра О является кинематическим моментом системы и определится как геометрическая сумма моментов количеств движения всех точек системы относительно этого центра: n i i i i r V * m L 1 0 Проекции вектора 0 L на координатные оси будут являться моментами количества движения системы относительно координатных осей: X Y Z X Y Z i i i i i i Z i i i i i i Y i i i i i i X V * m * y V * m * x L V * m * x V * m * z L V * m * z V * m * y L Кинетический момент вращающегося тела Определим кинетический момент тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z с угловой скоростью w. Кинетический момент твердого тела вращающегося вокруг неподвижной оси равен произведению осевого момента инерции тела относительно оси вращения на угловую скорость тела. Знак кинетического момента относительно оси совпадает с знаком угловой скорости вращения тела относительно этой оси: при вращении против хода часовой стрелки (глядя с конца оси) кинетический момент положительный, при вращении по ходу часовой стрелки – отрицательный. Отметим, что подобно тому, как количество движения механической системы является характеристикой ее поступательного движения, так кинетический момент является характеристикой ее вращательного движения. m V i i h i z n i 1 = n i 1 = L Z = L iZ = m V h i i i = V i = h i n i 1 = = = m i h h i i n i 1 = n i 1 = = = = m i m i h i h i 2 2 I Z I Z L Z = I Z Теорема об изменении момента количества движения материальной точки. Установим, как изменится со временем вектор кинетического момента движущейся материальной точки 0 l массой m. Для этого продифференцируем по времени выражение V m r l * 0 ) F ( M r F r m * a V * m V r dt ) V * m ( d V * m dt r d dt ) V * m r ( d dt l d 0 0 Окончательно получим ) F ( M dt l d 0 0 Последнее уравнение выражает теорему об изменении момента количества движения материальной точки относительно центра: производная от момента количества движения материальной точки относительно некоторого центра О по времени равна сумме моментов сил, действующих на точку относительно того же центра. Проектируя обе части полученного равенства на координатные оси, получим Z Z Y Y X X M dt dl M dt dl M dt dl , , Эти равенства выражают теорему об изменении кинетического момента относительно координатных осей Следствия из теоремы: 1. Если сумма моментов сил, действующих на точку относительно некоторого центра О в некоторое время равнялось 0, то момент количества движения точки в это время остается постоянным: const l M ) F ( 0 0 0 Если на точку в это время действовали силы, то они называются центральными, так как линии их действия все время пересекали центр О. 2. Если сумма моментов сил, действующих на точку относительно какой-либо из неподвижных осей равен 0, то момент количества движения точки относительно этой оси остается постоянным const l M const l M const l M Z Z Y Y X X 0 0 0 Теорема об изменении кинетического момента механической системы Пусть система материальных точек m 1 , m 2 , ..., m n движется под действием сил, которые разделим на внешние Р 1 , Р 2 , ..., Рn и внутренние Р 1 , Р 2 , ..., Р n Для каждой, отдельно взятой точки, можно применить теорему об изменении кинетического момента: Просуммируем полученные n уравнений и сделаем соответствующие преобразования (см. блок-схему): Полученное уравнение выражает теорему об изменении кинетического момента для системы: производная по времени вектора кинетического момента системы относительно некоторого неподвижного центра равна главному моменту внешних сил, действующих на систему относительно того же центра. В проекции на оси координат теорема примет следующий вид: ( i = 1, 2, ..., n ) dL iO dt = + M iO E M iO I , . n i 1 = n i 1 = n i 1 = dL iO dt = + M iO E M iO I = n i 1 = M iO E M Г O E n i 1 = n i 1 = L iO = = dL iO dt dL O dt d dt M Г O E = dL O dt = n i 1 = M iO I 0 = dL X dt M ГX E , = dL Y dt M ГY E , = dL Z dt M ГZ E . Следствия из теоремы: 1. Внутренние силы непосредственно не влияют на изменение кинетического момента системы 2. Если главный момент внешних сил, действующих на систему относительно некоторого неподвижного центра равен нулю, то кинетический момент системы относительно этого центра есть величина постоянная по величине и направлению. 3. Если главный момент внешних сил, действующих на систему относительно некоторой неподвижной оси (например, оси z) равен нулю, то кинетический момент системы относительно этой оси в процессе движения системы остается постоянным. Второе и третье следствия называют законом сохранения кинетического момента. M Г O E = 0 = dL O dt 0 L O = const M ГZ E = 0 = dL Z dt 0 L Z = const Приведем два примера, демонстрирующих закон сохранения кинетического момента. Пример 1. Человек, стоящий на вращающемся диске. Так, момент внешних сил, действующих на систему человек-диск, относительно оси вращения диска, равен нулю. Поэтому, человек, изменяя положение рук по отношению к туловищу, может изменить скорость своего вращения без приложения внешних сил, т.е. за счет изменения осевого момент инерции своего тела. Кинетический момент системы, при изменении положения рук, остается неизменным Пример 2. Для поворота человека на диске, без использования внешних сил, человеку необходимо вращать находящийся у него в руках обруч: z 1 I Z1 z 2 I Z2 I 1 = 100 кг м 2 1 = 15 об/мин 2 I 2 = = 75 кг м 2 ? M ГZ E = 0 = dL Z dt 0 I Z L Z = = const 1 I Z1 I Z2 = 2 1 I Z1 I Z2 = = 2 15 100 75 = 20 об/мин Скорости диска и обруча будут связаны зависимостью: ПРИМЕР 3. По стреле подъемного крана, вращающегося со скоростью w О =1рад/с, начинает двигаться тележка массой m=100 кг. Определить, как измениться скорость крана, если тележка переместиться по стреле с расстояния S 1 =2 м на расстояние S 2 =6 м от оси вращения крана. Осевой момент инерции крана (без тележки) относительно оси вращения I Z =2000 кг м 2 РЕШЕНИЕ. Действующие на кран с тележкой внешние силы, момента относительно оси вращения крана не создают, следовательно: I Z1 I Z2 z 1 2 M ГZ E = 0 = dL Z dt 0 L Z = const Если при , , то: t = 0 L = 0 Z 1 I Z1 = I Z2 2 + 0 1 I Z1 = I Z2 2 - z B A S G 1 G 2 Y B X B Z A Y A X A S V e V V r M ГZ E = 0 = dL Z dt 0 L Z = const ПРИМЕР 4. Через блок, массой которого пренебрегаем, перекинут канат. С одной стороны за канат ухватился человек, с другой стороны к канату подвязан груз одинаковой массы с человеком. Что произойдет с грузом, если человек станет подниматься по канату со скоростью U относительно каната? РЕШЕНИЕ = L Z L Z КРАН L Z ТЕЛЕЖКА + = = = = L Z КРАН L Z ТЕЛЕЖКА I Z m m m V e S S S S S 2 = = L Z I Z I Z m m S 2 S 2 + + ( ) = L Z L Z ( ( ) ) S 1 S 2 I Z m + ( ( ) ) S 2 1 I Z m + S 2 2 = O I Z m + S 2 1 I Z m + S 2 2 = = = O 1 2000 + 100 2 2 2000 + 100 6 2 = 0,43 рад/с = dL O dt 0 L O = const M ГO E = 0 mgR - mgR = = m(V U)R ГР + + mV R ГР L O = = = mV R ЧЕЛ + mV R ГР V ЧЕЛ = + V ГР U = m(V U)R ГР + + mV R ГР Так как при = = , то t 0 L 0 O 0 Откуда: V ГР V ГР + + U = 0 V ГР = 0,5 U - Рис. 9.9 mg mg R U V ЧЕЛ V ГР Теорема о зависимости кинетических моментов в относительном движении. Движение твердого тела в общем случае слагается из поступательного движения вместе с некоторой точкой, принимаемой в качестве полюса (в качестве полюса может быть выбрана точка центра масс), и вращательного движения вокруг этого полюса. Теорема о зависимости кинетических моментов в относительном движении звучит следующим образом: кинетический момент системы относительно центра О равен сумме векторного произведения главного вектора количества движения на радиус- вектор центра масс и кинетического момента тела в относительном движении относительно центра масс. Докажем данную теорему. i = r i C + + V i = V C V ir + = V C V i m i m i V ir m i n i 1 = i V i m i L O = = n i 1 = r i C + + V C m i V ir m i = = ( ) ( ) n i 1 = n i 1 = r i C + + + V C m i V ir m i n i 1 = C V C m i n i 1 = r i V ir m i = n i 1 = n i 1 = C V C m i C V C m i 1) = = C V C M 2) n i 1 = C V ir m i = n i 1 = C V ir m i = n i 1 = C m i = dr i dt n i 1 = C m i = dt d r i = C = dt d M r C ( ) 0 = r C 0 , так как n i 1 = r i V C m i = n i 1 = n i 1 = r i r i V C V C m i m i = 3) 0 = r C 0 = = V C M r C , так как n i 1 = r i V ir m i = 4) L cr Т.е. последняя формула показывает, что кинетический момент системы относительно неподвижной точки О равен векторной сумме кинетического момента центра масс относительно указанной точки О, если бы в центре масс была сосредоточена вся масса системы, и кинетического момента системы для относительного движения системы по отношению к подвижной системе координат, движущейся поступательно с центром масс. L O = C V C M L |