Динамика механической системы основные понятия. Центр масс механической системы
 Скачать 3.28 Mb.
|
|
cr + Теорема об изменении кинетического момента механической системы в её относительном движении по отношению к центру масс Ранее была рассмотрена теорема об изменении кинетического момента системы относительно неподвижной системы координат Если же за центр (или ось), относительно которой определяется кинетический момент, выбирается движущаяся точка, то запись теоремы будет иметь другой вид. Для вывода данной теоремы воспользуемся ранее полученным выражением для определения кинетического момента в относительном движении: Продифференцируем приведенное выражение: \ с другой стороны: Приравниваем правые части полученных выражений: Таким образом, теорема об изменении кинетического момента механической системы в её относительном движении по отношению к центру масс звучит следующим образом. L O = C V C M L cr + C V C M V C M V C M L cr L cr + L O d dt = d dt d dt d dt C C d dt ( ) = + + = C C V C M V C + + = L cr d dt L cr d dt = M a C R Г Е + R Г Е = = 0 L O d dt = C L cr d dt R Г Е + M ГO E = dL O dt = C R Г Е + M ГС E dL O dt C R Г Е + M ГO E M ГС E = Известно из статики C L cr d dt R Г Е + = C R Г Е + M ГС E L cr d dt = M ГO E Производная по времени от вектора кинетического момента системы относительно центра масс в её относительном движении по отношению к этому центру равна главному моменту внешних сил, действующих на систему относительно центра масс. Из теоремы следует, что при сложном движении, движение механической системы относительно центра масс происходит так же, как если бы последний был неподвижен. Примерами действия закона сохранения кинетического момента по отношению к подвижному центру масс, являются: - изменение скорости вращения спортсмена при прыжках в воду, когда он группируется вокруг центра масс; - поворот туловища космонавта при вращении руками; - стабилизация вращения и поворот находящегося на орбите космического аппарата с помощью вращающегося маховичка; - поворот кошки лапами вниз во время падения; - способность собаки, действуя хвостом, быстро поворачиваться огибая, деревья. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ Кинетическая энергия материальной точки Кинетической энергией материальной точки называется скалярная величина, численно равная половине произведения массы точки на квадрат ее скорости. 2 2 v m T Единица измерения кинетической энергии – джоуль (1 ДЖ=1 Нм= 1 кг*м 2 /с 2 Кинетическая энергия механической системы Кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий составляющих ее точек. i T T или 2 2 i i v m T Так как механические системы состоят из материальных точек и материальных тел определим формулы для вычисления кинетической энергии твердого тела при различных видах его движения. При поступательном движении тела все его точки движутся с одинаковыми скоростями, равными скорости центра масс и выше приведенная формула для расчета кинетической энергии системы при указанном виде движения примет вид 2 2 C C i i v M v T T m 2 2 , где i C v v – скорость центра масс твердого тела; i m M Кинетическая энергия тела при поступательном движении равна половине произведения массы тела на квадрат скорости центра масс. В этом случае кинетическая энергия вычисляется также, как и для одной точки, масса которой равна массе всего тела. Кинетическая энергия тела при вращательном движении вокруг неподвижной оси равна половине произведения момента инерции тела относительно оси вращения на квадрат его угловой скорости. 2 2 z J T Кинетическая энергия тела при плоскопараллельном движении равна сумме энергии поступательного движения со скоростью центра масс и энергии вращательного движения вокруг центра масс. 2 2 2 2 C C J v M T где - угловая скорость плоскопараллельного движения, C v - причем скорость центра масс равна. C J - момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс параллельной мгновенной оси вращения Если механическая система состоит из нескольких тел, то ее кинетическая энергия равна сумме кинетических энергий этих тел. При движении тела изменяется его кинетическая энергия. Это изменение зависит от характеристик действия силы, называемых мощностью и работой силы. Поэтому ниже будут рассмотрены понятия работы и мощности. Работа силы Работа силы характеризует эффект действия силы на перемещении точки ее приложения, вызванном действием этой силы. Работа A постоянной по модулю и направлению силы F , действующей на прямолинейном перемещении s материальной точки, есть произведение модуля F силы, модуля s перемещения и косинуса угла между векторами силы и перемещения. Т.е. cos s F A cos 2 1 M M F A Работа силы положительна, если угол острый, отрицательна – если угол тупой и равна нулю – если угол =90. В последнем случае вектор силы перпендикулярен вектору перемещения. Единицей измерения работы в системе СИ является 1 Джоуль (1 Дж). Примеры вычисления работы Работа силы тяжести Пусть при движении тела его центр тяжести, перемещаясь по некоторой криволинейной траектории, перешел из положения М1 в положение М2. Обозначим разность координат z 1 -z 2 высотой h: A=mgh. По виду полученной формулы можно сделать следующие выводы: 1) работа силы тяжести не зависит от траектории точки; F S M 1 M 2 2) если под действием силы тяжести материальная точка опускается, то работа силы тяжести положительна, если поднимается – отрицательна. Работа силы упругости Если x 1 =0, то 2 2 h c A , где h=x 2 – удлинение (укорочение) пружины. Работа силы упругости равна половине произведения коэффициента жесткости пружины на квадрат перемещения ее точки приложения, отсчитываемой от положения точки при недеформированном состоянии указанной пружины. Работа силы трения скольжения При скольжении тела по шероховатой поверхности на него действует сила трения fN F тр Направления силы трения противоположно перемещению точки, следовательно, угол между силой трения и перемещением точки равен 180 0 Тогда используя выше полученные формулы для определения работы получим 2 1 ) ( M M тр fNds F А Работа момента силы Пусть на тело действует вращающий момент М z 2 1 d M A z Если момент имеет постоянное по величине и направлению значение, то последняя формула примет вид z z M М А ) ( 1 2 Работа момента, приложенного к вращающемуся телу определится как произведение этого момента на угол поворота тела, вызванного действием этого момента. Следует выделить довольно часто встречающийся в задачах случай, это работа момента, возникающего при качении тела по плоскости. В полученную выше формулу для Z М Z расчета работы момента необходимо подставить значение момента сопротивления качению определяемого следующим образом N М к , где - коэффициент трения качения, N- нормальная реакция Если модуль нормальной реакции N постоянен, и учитывая, что R ds d c / ,то работа сил сопротивления качению определится c Ns R A ) / ( , где R- радиус катящегося катка, c s -перемещение центра катка ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ k A T T 0 Изменение кинетической энергии материальной точки на некотором ее перемещении равно сумме работ всех действующих на точку сил на этом же перемещении Теорема об изменении кинетической энергии механической системы I i E i A A T T 0 Изменение кинетической энергии системы за некоторый промежуток времени равно сумме работ всех действующих на систему внешних и внутренних сил, произведенной ими на перемещениях точек системы за этот промежуток времени. Если механическая система является неизменяемой, т.е. такая механическая система, в которой расстояние между любыми двумя точками остается во все время постоянным. Для данной системы сумма работ всех внутренних сил равна нулю. Тогда выражение теоремы об изменении кинетической энергии для неизменяемой системы запишется следующим образом: E i A T T 0 С помощью теоремы об изменении кинетической энергии можно определить: 1) скорости точек или тел (линейные или угловые) системы в начальном (или конечном положении), если можно вычислить работу всех приложенных к ней сил; 2) работу сил, действующих на точку, когда известны скорости точки в начальном и конечном положениях. |