Динамика механической системы основные понятия. Центр масс механической системы
 Скачать 3.28 Mb.
|
|
C C Решение задач Условие задачи. Человек весом G 1 стоит на корме лодки весом G 2 и длинной l, находящейся в покое в стоячей воде. Определить, пренебрегая сопротивлением воды, расстояние S, на которое переместится лодка, если человек перейдет на нос лодки. Решение. Рассмотрим механическую систему, состоящую из человека и лодки, на которую действуют: силы тяжести G 1 , G 2 и сила Архимеда F А , выталкивающая лодку из воды. На основании теоремы о движении центра масс имеем: 1 2 C A M a G G F Так как все силы вертикальны, то в проекции на ось x записанное выражение примет вид 0 0 C C M x x F A G 1 G 2 x 1 x 2 l y x 0 F A G 2 l G 1 y x 0 S Дважды интегрируя полученное дифференциальное уравнение будем иметь: 1 1 2 , t C C x C x C C При условии, что в начальный момент времени (t=0) скорость центра масс системы равна нулю ( 0 C x ), а координата x С центра масс определяется некоторой величиной A (x C =A), получаем: C 1 =0, C 2 =A, и, следовательно, C x A const Иными словами, в процессе движения человека по лодке, координата x C своего значения менять не будет, и перемещение человека будет компенсироваться обратным перемещением лодки. Выражения, определяющие координату x C центра масс системы до и после перемещений человека и лодки, соответственно, будут иметь вид: 1 1 2 2 1 2 ; C G x G x x G G 1 1 2 2 1 2 ( ) ( ) C G x l S G x S x G G Приравняв правые части последних выражений, получим: 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) 0 , G x G x G x l S G x S G l G S G S G G G G откуда 1 1 2 G l S G G ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ ТОЧКИ, МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ И ТВЕРДОГО ТЕЛА Общие теоремы динамики являются следствиями системы дифференциальных уравнений движения точки или системы материальных точек. Они оперируют обобщенными характеристиками движения системы, помогая глубже раскрыть природу механической системы. Понятие количество движения Одной из мер механического движения точки или системы является количество движения. Количество движения материальной точки - это вектор, имеющий направление вектора скорости и равный произведению массы точки на ее скорость: v m q Проекции количества движения на декартовы оси координат: x x v m q ; y y v m q ; z z v m q Количество движения механической системы – вектор, равный сумме векторов количеств движений всех точек, входящих в систему: i q Q Упростим эту формулу: i i i i i i i i r m dt d dt r d m dt r d v v m Q ; величина C i i r M r m , поэтому dt r d M ) r M ( dt d Q C C ; с учетом того, что C C v dt r d , окончательно получим C v M Q Количество движения механической системы есть вектор, равный произведению массы системы на скорость центра масс данной механической системы. Заметим, что вектор Q подобно главному вектору сил в статике, является некоторой обобщенной векторной характеристикой движения всей механической системы. Если при движении системы центр масс неподвижен, то количество движения будет равно нулю. Например, количество движения тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, проходящей через его центр масс, рано нулю. Понятие импульса силы Импульс силы характеризует меру передачи движения. Т.е. действие силы F на материальную точку в течение времени dt можно охарактеризовать так называемым элементарным импульсом силы - dt F S d . При этом собственно полный импульс силы – это векторная величина, определяемая по формуле t t dt F S 0 , где t 0 и t – соответственно начальное и конечное значения времени действия силы F Направление импульса S силы совпадает с направлением самой силы F Если сила const F , то импульс силы - ) t t ( F S 0 Проекции импульса силы на декартовы оси координат: t t x x dt F S 0 ; t t y y dt F S 0 ; t t z z dt F S 0 Пусть главный вектор Г R некоторой системы сил 1 F , 2 F , ..., m F : Г k R F Тогда импульс главного вектора определится следующим образом: t t k t t k t t Г Г dt F dt ) F ( dt R S 0 0 0 Обозначив k t t k S dt F 0 , получим k Г S S Т.е. импульс главного вектора равен сумме импульсов составляющих сил. Последнее утверждение справедливо и для равнодействующей. Теорема об изменении количества движения материальной точки Преобразуем основное уравнение динамики материальной точки следующим образом: k F a m ; k F dt v d m ; k F dt ) v m ( d ; k F dt dq Производная по времени от количества движения материальной точки равна равнодействующей сил, действующих на точку. Данное утверждение - это теорема об изменении количества движения материальной точки в дифференциальной форме. В проекциях на декартовы оси координат имеем: kx x F dt dq ; ky y F dt dq ; kz z F dt dq Получим выражение теоремы об изменении количества движения материальной точки в другой (интегральной форме) Преобразуем выражение k F dt dq , приняв, что R F k : dt R dq ; t t q q dt R dq 0 0 ; Тогда S q q 0 Изменение 0 q q количества движения материальной точки за некоторый промежуток t-t 0 времени равно импульсу S равнодействующей сил, действующих на точку за тот же промежуток времени В проекциях на декартовы оси координат имеем: x x x S Q Q 0 ; y y y S Q Q 0 ; z z z S Q Q 0 Теорема об изменении количества движения механической системы Аналогично тому, как для одной материальной точки, выведем теорему об изменении количества движения для системы в различных формах. Преобразуем уравнение (теорема о движении цента масс механической системы) E Г C R a M следующим образом: E Г C R dt v d M ; E Г C R dt ) M v ( d ; E Г R dt Q d Полученное уравнение выражает теорему об изменении количества движения механической системы в дифференциальной форме: производная от количества движения механической системы по времени равна главному вектору внешних сил, действующих на систему. В проекциях на декартовы оси координат: E Гx x R dt dQ ; E Гy y R dt dQ ; E Гy y R dt dQ Беря интегралы от обеих частей последних уравнений по времени, получим теорему об изменении количества движения механической системы в интегральной форме: изменение количества движения механической системы равно импульсу главного вектора внешних сил, действующих на систему. Т.е. E Г x x S Q Q 0 Или в проекциях на декартовы оси координат: E Гx x x S Q Q 0 ; E Гy y y S Q Q 0 ; E Гz z z S Q Q 0 Следствия из теоремы (законы сохранения количества движения) Закон сохранения количества движения получаются как частные случаи теоремы об изменении количества движения для системы в зависимости от особенностей системы внешних сил. Внутренние силы могут быть любыми, так как они не влияют на изменения количества движения. Возможны два случая: 1. Если векторная сумма всех внешних сил, приложенных к системе, равна нулю 0 E Г R , то количество движения системы постоянно по величине и направлению const Q 2. Если равна нулю проекция главного вектора внешних сил на какую либо координатную ось 0 E Гx R и/или 0 E Гy R и/или 0 E Гz R , то проекция количества движения на эти же оси является величиной постоянной, т.е. const Q x и/или const Q y и/или const Q z соответственно. Аналогичные записи можно сделать и для материальной точки и для материальной точки. Пример 1. Условие задачи. Из орудия, масса которого М, вылетает в горизонтальном направлении снаряд массы m со скоростью v. Найти скорость V орудия после выстрела. Решение. Все внешние силы, действующие на механическую систему орудие-снаряд, вертикальны. Значит, на основании следствия из теоремы об изменении количества движения системы, имеем: const Q x Количество движения механической системы до выстрела: 0 0 x Q Количество движения механической системы после выстрела: v m V M Q x Приравнивая правые части выражений, получим, что v M m V Знак «-» в полученной формуле указывает на то, что после выстрела орудие откатится в направлении, противоположном оси Ox. M m mg Mg N 1 N 2 V ОР V Рис. 8.2 ПРИМЕР 2. Струя жидкости плотностью вытекает со скоростью V из трубы с площадью поперечного сечения F и ударяется под углом о вертикальную стенку. Определить давление жидкости на стену. РЕШЕНИЕ. Применим теорему об изменении количества движения в интегральной форме к объему жидкости массой m ударяющемуся о стену за некоторый промежуток времени t. R V V i V i V x Q 2 Q 1 - = R Q 2X Q 1X - = R Q 1X = m V sin = = = F V V sin m F V sin 2 Q 2X = 0 так как V i , x Таким образом = R F V sin 2 - = R F V sin 2 ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ. Кинетический момент материальной точки В некоторых задачах наряду с количеством движения в качестве векторной меры движения рассматривают момент количества движения (кинетический момент) относительно некоторого центра или оси. Эти моменты определяются аналогично тому, как определялись моменты силы. Для материальной точки массой m , движущейся со скоростью V, кинетическим моментом точки относительно некоторого центра О называется векторная величина, определяемая равенством q r V m r l * 0 где r - радиус вектор движущейся точки, приведенной из центра О. Вектор момента количества движения точки перпендикулярен плоскости, в которой расположены вектора r и q , , - углы между 0 l и осями x, y, z. Векторная запись для определения кинетического момента, выраженная через единичные орты, имеет следующий вид k * l j * l i * l l Z Y X 0 0 0 0 z x y z x y r 0 l V O V m q Другие виды векторного выражения для определения кинетического момента можно получить исходя из исходной формулы для расчета кинетического момента 0 * ( * * * ) ( * * * * * * ) * * * X Y Z X Y Z l r m V x i y j z k m V i m V j m V k i j k x y z m V m V m V Аналитические выражения проекций вектора момента количества движения относительно центра О на координатные оси. X Y Z X Y Z V * m * y V * m * x l V * m * x V * m * z l V * m * z V * m * y l X X X 0 0 0 Где x, y, z –координаты движущейся точки, z y x V V V , , -проекции скоростей точки на координатные оси. 0 0 0 0 0 0 2 0 2 0 2 0 0 l l cos ; l l cos ; l l cos l l l l Z Y X Z Y X При движении точки в плоскости её кинетический момент может быть определен как алгебраическая величина: ; * * 0 h V m l В системе единиц СИ модуль момента количества движения измерается 2 0 м l кг с |