динамика. Динамика решение задач (1). Динамика

• Название: Динамика
• Анкор: динамика
• Дата: 11.05.2021
• Размер: 0.61 Mb.
• Имя файла: Динамика решение задач (1).docx
• Тип: Документы; #203800

Тема динамика

1 пара даем следующую теорию

Уравнения Лагранжа II рода можно использовать, когда рассматриваются механические системы с удерживающими, голономными, идеальными связями. Идеальными называются такие связи, когда сумма элементарных работ (возможных мощностей) реакций связей равна нулю. В форме возможных мощностей это условие имеет вид

, (3.1)

где – возможная скорость точки , – равнодействующая реакций связей, действующих на точку .

Гладкие поверхности, шарнирные соединения, негладкие поверхности, обеспечивающие отсутствие проскальзывания при качении являются идеальными связями.

При наличии таких связей движение механической системы с одной степенью свободы описываются одним дифференциальным уравнением

(3.2)

где – кинетическая энергия, – обобщенная сила, – обобщенная координата, - обобщённая скорость

За обобщенную координату могут быть приняты как линейные параметры x, y, так и угловые, например , угол . Им соответствуют обобщенные скорости: линейные v_x, v_yлибо угловая .

Кинетическая энергия твердых тел, входящих в механическую систему, в зависимости от характера движения определяется соотношениями, приведенными на рис. 3.1.

Поступательное

Вращательное вокруг неподвижной оси

Плоское

Рис 3.1

на рис. 3.1 использованы следующие обозначения: – масса тела,
– скорость центра масс, моменты инерции твердых тел относительно осей , проходящих через неподвижную точку или через центр масс .

На рис. 3.2 приводятся выражения для моментов инерции некоторых однородных тел.



Рис 3.2

Обобщенная сила определяется формулой

(3.3)

где – возможная обобщенная скорость, – возможная мощность активных сил.

При действии сосредоточенных сил и системы пар сил с моментами возможная мощность может быть представлена как



где – возможные скорости точек и угловые скорости тел.

Скалярные произведения в соотношениях (3.4) определяются формулами

(3.5)

Из уравнения (3.2) следует, что условие Q = 0 является условием равновесия механической системы в обобщенных координатах.

3.1. Методика решения задач

Составление дифференциальных уравнений движения с помощью уравнений Лагранжа II требует последовательного выполнения следующих этапов:

• 
  Выписать уравнения Лагранжа для заданных обобщенных координат выразить скорости точек и угловые скорости тел через обобщенную скорость и обобщенную координату (эта задача рассматривалась в разделе 2);
  
• 
  определить кинетическую энергию как функцию обобщенной скорости и обобщенной координаты, вычислить производные, указанные в левой части уравнения Лагранжа;
  
• 
  найти обобщенную силу;
  
• 
  подставить найденные выражения в уравнения Лагранжа;
  

Разбираем 1 из примеров:

Примеры решения задач

Пример 1. Составить дифференциальное движение двух ползунов А

и В, соединенных невесомым стержнем длиной . Массы ползунов и . Обобщенная координата – угол . К стержню приложена пара сил с моментом (см . рис 3.3)



Рис. 3.3

Решение. Составим граф . Запишем соотношение между скоростями точек A и B :



Находим скорости ползунов



Кинетическая энергия



Учитывая , что



где :

Производные от кинетической энергии



Использовано правило дифференцирования произведения



При чём : получим :



Обобщенная сила





(Мощность силы тяжести , т.к эта сила и возможная скорость точки ортогональны )

Дифференциальное уравнение :



Пример 2. Однородный диск массой и радиусом (см. рис. 3.4),к которому приложена пара сил с моментом , катится без роскальзывания по неподвижной горизонтальной плоскости. К диску прикреплена материальная точка массой . Принимая за обобщенную координату угол поворота диска , составить дифференциальное уравнение движения. Момент инерции диска



Рис 3.4

Решение. Составим графы и , запишем соотношение между скоростями точек:



Отсюда находим :



Кинетическая энергия



где

Производные от кинетической энергии



(См . замечание в решении примера 1)

Обобщенная сила (учтено , что и ортогональны)



Дифференциальное уравнение



Пример 3. В изображенном на рис. 3.3 кривошипно-кулисном механизме вращательное движение кривошипа 1 преобразуется в возвратно-поступательное кулисы 2. Массы тел – и . Кривошип – однородный стержень длиной . К кривошипу приложена пара сил с моментом , к кулисе сила . Составит дифференциальное уравнение движения, приняв за обобщенную координату угол .



Рис. 3.3

Решение. Составим графы , запишем соотношение между скоростями точек и :



Так как кулиса 2 движется поступательно , то :

Кинетическая энергия



Где

Производные от кинетической энергии



Обобщенная сила



Из графа получим



Дифференциальное уравнение



Если осталось время решаем 1 из задач файла D-TST-00.doc

2-3 Пара решаем задачи на линейную координату

4-5 разбираем типовой расчет D-5 кулиса + 2 задачи ИДЗ.

D-5 кулиса состоит:

1. 
   Из рукописной части вывод уравнения лагранжа.
   
2. 
   Решение предлагается в виде решения дифференциального уравнения стандартными методами математических пакетов (оператор D-solve) нахождение реакций предлагается не спрашивать.
   

Или пусть используют кафедеральные программы или программы Ольги Михайловны.