Факультативный курс Параметры в геометрии. Дипломная работа Факультативный курс Параметры в геометрии для учащихся восьмых классов общеобразовательной школы
![]()
|
Содержание курса 1 занятие (вводная лекция) Сам термин «параметр» в переводе с греческого означает «отмеривающий». Он обычно применяется в сочетании с другими математическими терминами, например, параметр уравнения, параметр неравенства, параметр функции и т.д. Под задачами с параметрами понимаются задачи, в которых технический и логический ход решения и форма результата зависят от входящих в условие величин, значения которых не заданы конкретно, но должны считаться известными. Параметр- переменная величина, значение которой позволяет отличить один элемент некоторого множества от других элементов этого множества. Под геометрическим параметром мы будем понимать любой элемент или элементы геометрической фигуры от величины, расположения или взаимного расположения которых зависит решение задачи, его существование или количество. Примером одной из первых задач с параметром является знаменитая задача Дидоны. В IX в. до н.э. финикийская царевна Дидона, спасаясь от преследований своего брата, отправилась на запад вдоль берегов Средиземного моря искать себе прибежище, ей приглянулось одно место на побережье Тунисского залива. Дидона повела переговоры с местным предводителем Ярбом о продаже земли. Запросила она участок совсем небольшой — «столько, сколько можно окружить бычьей шкурой». Дидоне удалось уговорить Ярба, и сделка состоялась. Тогда Дидона изрезала шкуру быка на мелкие тесемки, связала их воедино и окружила большую территорию, на которой основала крепость и город Карфаген. Эта легенда содержится в поэме «Энеида» римского поэта Публия Вергилия Марона, а также в трактате «Об изопериметрических фигурах» древнегреческого ученого Зенодора, жившего между III в. до н.э. и началом н.э. Задачу по отысканию среди всех замкнутых кривых с данным периметром той, которая охватывает максимальную площадь, называют задачей Дидоны. Что же в этой задаче является параметром? Сформулируем задачу Дидоны в таком виде: «у какой фигуры Р, при заданном периметре, площадь будет наибольшей?». В данном случае параметром выступают не числовые данные, а фигура; при различных значениях этого параметра, то есть при различных фигурах задача будет иметь различные решения. Математика оперирует строго определенными понятиями, а в окружающем нас мире на каждом шагу встречаются сплошные неопределенности, условности. «Если будет дождь, то праздник «День знаний» проходит по программе А, а если дождя не будет, то — по программе Б». Можно ли рассматривать условие «будет - не будет идти дождь» как параметр? Или математике нужны только числовые параметры? Для алгебры — это естественно. Но геометрия включает в себя не только числовые соотношения между фигурами или элементами фигуры, но и геометрические. Следовательно, для геометрии параметрами могут быть и классические «алгебраические» параметры, и сугубо специфические «геометрические» параметры. В нашем курсе мы будем рассматривать задачи с геометрическими параметрами, а с некоторыми из них вы уже встречались в прошлом году: 1. Точки А, В и С лежат на одной прямой. Известно что АВ = 12см ВС = 13.5см. Какой может быть длина отрезка АС? Из трех точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими. Поскольку речь идет о трех точках, то каждая из них может лежать между двумя другими, и потому мы имеем три различных случая. ![]() AC=AB+BC=12+13,5=22,5(см) AC=BC-AB=13,5-12=1,5(см) AC=AB-BC=12-13,5=-1,5(см) Отрицательное число не является решением, так как длина- положительное число. Ответ: 22,5см или 1,5см. 2. Известно, что ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Отрицательное число не является решением, так как градусная мера угла - положительное число. Ответ: 15o или 85o. Домашнее задание 1) Точки А, В и С лежат на одной прямой. Известно что АВ = 10см ВС = 25см. Какой может быть длина отрезка АС? (ответ: 35см или 15см). 2)Известно, что ![]() ![]() 3) На прямой расположены точки A,B,C и D. Найдите длину отрезка с концами в серединах AB и CD, если AC = 5, BD = 7. A ![]() AM=MB B CN=ND AD=AM+MN+ND=2NM+BC 12+CB=2NM+BC MN=6 2 ![]() AM=MB B CN=ND AD=AM+ND-NM=MB+CN-NM=MD+7+CN-NM= =7+CD-2NM 5+CD=7+CD-2NM MN=1 Ответ: 6 или 1. 2 занятие.(задачи в теме треугольники) (обобщение задач домашнего задания) 1. На прямой, содержащей отрезок АВ, взята точка С так, что АС=с, АВ=а. Найдите длину отрезка ВС. Решение. 1) Пусть точка А лежит между точками С и В. Тогда по аксиоме измерения отрезков ВС = АВ + АС, откуда ВС = а + с. 2) Пусть точка В лежит между точками А и С. Тогда АС = АВ + ВС и ВС = с - а. 3) Если же точка С лежит между точками А и В, то АВ = АС + ВС и ВС= а - с. Очевидно, что случаи 2) и 3) несовместимы, поскольку значения длины отрезка ВС будут противоположны, а длина отрезка - число положительное. Таким образом, один из этих случаев не дает ответа. Ответ: ВС = а + с или ВС = \а – с\. 2. Луч с выходит из вершины ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() р ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ответ: /а- ![]() ![]() основная часть 1. Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из его углов равен 80о. ![]() решение: 1) пусть ![]() ![]() так как треугольник АВС - равнобедренный. Так как сумма углов треугольника 1800, то ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 2) пусть ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() так как ![]() ![]() ![]() то ![]() ![]() ответ: 200 , 800, и 800 или 500, 500, и 800. Найдите стороны равнобедренного треугольника, если одна из его сторон равна 10, а периметр 26. 1 ![]() так как треугольник АВС - равнобедренный. Тогда АВ+АС+ВС=26 ВС=26-10-10=6. 2)пусть ВС=10, тогда АВ+АС+ВС=26 АВ+АС=16 так как АВ=АС, поскольку ![]() то АВ=АС=8. Ответ: 10, 10 и 6 или 8, 8, и 10. 3.Через вершины А и С треугольника АВС проведены прямые, перпендикулярные биссектрисе угла АВС, пересекающие прямые СВ и ВА в точках К и М. Найдите АВ, если ВМ = 8, КС = 1. ![]() Дано: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Найти АВ. Решение: Рассмотрим треугольник АВК: Равнобедренный, так как ВО - высота И биссектриса одновременно, следовательно, АВ=ВК. Рассмотрим треугольник ВМС: Равнобедренный, так как ВQ - высота И биссектриса одновременно, следовательно, ВМ=ВС. допустим, что АВ BK=BC=KC=8-1=7 AB=BK=7 2) допустим, что АВ>BC, тогда BK=BC=KC=8+1=9 AB=BK=9 Ответ: 7 или 9. 4. Биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника пересекает боковую сторону под острым углом а. Найдите углы треугольника. При каких значениях параметра а задача имеет два решения? Решение. Обозначим угол ВАС через 2х. В зависимости от того, который из углов – В ![]() получатся различные решения. 1) Если ![]() х=60°- ![]() ![]() ![]() ![]() то а>45°. При этом ![]() ![]() 2) Если ![]() углов, не смежных с ним. То есть а = Зх, а х = ![]() Тогда ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Ответ: при а > 45° задача имеет два решения: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() или ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Домашняя работа: Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из его внешних углов равен 100о. р ![]() пусть внешний угол при вершине ![]() тогда ![]() ![]() по теореме о внешнем угле треугольника. так как треугольник АВС – равнобедренный, то ![]() ![]() ![]() 2) пусть внешний угол при вершине ![]() ![]() ![]() так как треугольник АВС - равнобедренный. Так как сумма углов треугольника 1800, то ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ответ: 200 , 800, и 800 или 500, 500, и 800. Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из них равен а. ![]() если угол В равен а, то ![]() ![]() ![]() Если же ![]() ![]() ![]() ответ: ![]() ![]() 3. Периметр равнобедренного треугольника равен Р, одна из его сторон равна а. Найдите вторую сторону треугольника. ![]() решение: 1) пусть АВ=а, тогда АС=а, так как треугольник АВС - равнобедренный. Тогда АВ+АС+ВС=р, ВС=р-а-а=р-2а. 2)пусть ВС=а, тогда АВ+АС+ВС=р, АВ+АС=р-а так как АВ=АС, поскольку ![]() то АВ-АС= ![]() Ответ: р-2а, р-2а и а или ![]() ![]() 3 занятие. (задачи в теме окружность) 1. Даны две окружности с общим центром и радиусами 3 и 7. Найдите радиус окружности, касающейся каждой из этих окружностей. р ![]() 1. АВ=ОВ-ОА=7-3=4 CВ= ![]() АС=АО+ОС==3+7=10, МС= ![]() Ответ: 2 или 5. 2. На плоскости имеются две окружности. Чему равен радиус окружности, касающейся данных окружностей и имеющей центр на прямой, проходящей через их центры, если радиусы данных окружностей и расстояния между их центрами соответственно равны: а) 1,3,5; б) 5,2,1; в) 3,4,5? Сколько решений имеет задача? Решение: В каждом пункте может быть 4 возможных расположения третьей окружности относительно двух данных, так как центры данных окружностей не совпадают. ![]() N-центр окружности с радиусом 3, Е-радиус искомой окружности. Тогда AB=BC=1,ND=MN=3,BN=5. 1) BN=BC+CN, CN=5-1=4, CM=CN+NM=4+3=7 EM= ![]() 2) BN=BC+CD+DN, CD=BN-BC-DN=5-1-3=1, AD=AC+CD=2+1=3, ED= ![]() 3) BM=BC+CD+DN, CD=BM-BC-DN=5-1-3=1 ED= ![]() 4) AM=AB+BN+NM=1+5+3=9 EM= ![]() Б ![]() Пусть A-центр окружности с радиусом 2, B-центр окружности с радиусом 5, C-искомой окружности. тогда AN=AM=2,BD=BK=5,AB=1. 1) CK=? DN=DB-BA-AN=5-1-2=2, KM=KD-DN-NM=10-2-4=4, CK= ![]() 2) CD=? DN=DB-BA-AN=5-1-2=2, CD= ![]() 3) CK=? DN=DB-BA-AN=5-1-2=2, KN=DK-DN=10-2=8, CK= ![]() 4) CM=? DM=DN+NM=2+4=6, CM= ![]() ![]() Пусть A-центр окружности с радиусом 3, B-центр окружности с радиусом 4, C-искомой окружности. Тогда AD=AM=3,BN=BK=4,AB=5. 1) CN=? BM=AB-AM=5-3=2, AN=AB-BN=5-4=1, MN=AB-BM-AN=5-2-1=2, CN= ![]() 2) CK=? KM=KN-NM=8-2=6, CK= ![]() 3) CD=? CD=DM-NM=6-2=4, CD= ![]() 4) CK=? DK=DM+NK-NM=6+8-2=12 CD= ![]() Ответ: а) 3,5 или 0,5 или 1,5 или 4,5; Б) 1 или 2 или 3 или 4; В) 1 или 2 или 3 или 6. 3 РЕШЕНИЕ: Точки касания располагаются на прямых, соединяющих центры, то есть на АВ, ВС и АС. ![]() пусть АС=5, ВС=6, АВ=7 АО=х, тогда ОС=СР=5-х, ВМ=РВ=7-х, но СР+РВ=6, 5-х+7-х=6 АО=х=3,СР=5-х=2,РВ=7-х=4. пусть АС=5, ВС=7, АВ=6 ВМ=х, тогда АМ=АО=х-6, СО=СР=х-7, но СО+АО=5, х-7+х-6=5 ВМ=х=9,АО=х-6=3,РВ=Х-7=2. пусть АС=7, ВС=6, АВ=5 ВМ=х, тогда АМ=АО=х-5, СО=СР=х-6, но СО+АО=7,х-7+х-6=7 ВМ=х=9,АО=х-5=4, РВ=Х-6=3. пусть АС=6, ВС=5, АВ=7 ВМ=х, тогда АМ=АО=х-7, СО=СР=х-5, но СО+АО=6,х-7+х-5=6 ВМ=х=9,АО=х-7=2, РВ=Х-5=4. ОТВЕТ: 2,3,4 или 2,3,9 или 3,4,9 или 2,4,9. домашнее задание. 1. Даны две окружности с общим центром и радиусами к и К. (к ![]() Ответ: ![]() ![]() 2 . На прямой расположены точки А,В,С и D, при чём АВ = 2, CD = 3. Отрезки АС и BD являются диаметрами двух окружностей. Найдите расстояние между центрами этих окружностей Решение: AD=AB+CB+CD=5+CB A ![]() AD=AM+MN+ND=2NM+BC 5+CB=2NM+BC MN=2,5 2 ![]() AM=MC B BN=ND AD=AM+ND-NM=MC+BN-NM=MD+3+BN-NM= =3+BD-2NM 2+BD =3+BD-2NM MN= ![]() Ответ: 2,5 или ![]() 4 занятие(четырехугольники) 1. Даны три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой. Построить точку М такую, чтобы точки А, В, С, М были вершинами параллелограмма. параметром в данной задаче является неопределенность, какой из трех отрезков: АВ, АС или ВС принять за диагональ параллелограмма. Построение: ![]() АС О –середина АС ВО М: М ![]() АВ, АМ, ВС, СМ. Четырехугольник АВСМ параллелограмм по определению. Построение в двух других случаях аналогично первому. ![]() решение: треугольник АВК равнобедренный из равенства углов при основании. Следовательно, АВ=ВК=15см. пусть точка К находится между точками В и С, тогда ВС=ВК+КС=15+9=24(см) Р=2(АВ+ВС)=2(15+24)=78(см) пусть точка К находится вне отрезка ВС, тогда ВС=ВК-КС=15-9=6(см) Р=2(АВ+ВС)=2(15+6)=42(см) Ответ: 78см или 42см. 3. О параллелограмме ABCD известно что угол ABD равен 40о и что центры окружностей, описанных около треугольников ABC и CDA, лежат на диагонали BD. Найдите угол DBC. ![]() решение: так как центры окружностей, описанных около треугольников ABC и CDA, лежат на диагонали BD, то точки пересечения серединных перпендикуляров лежат на BD, получаем, что BD ![]() следовательно, ABCD - ромб или центры окружностей лежат в точке пересечения диагоналей, и тогда ABCD - прямоугольник. Если ромб, то угол DBC=400, так как диагонали ромба являются биссектрисами его углов. Если прямоугольник, то угол DBC=500, так как угол АВС=900. Ответ: 400 или 500. Домашняя работа. 1. Найдите периметр параллелограмма, если биссектриса одного из его углов делит сторону параллелограмма на отрезки 7см и 14см. (ответ: 70см или 42см). 2. От параллелограмма с помощью прямой, пересекающей две его противоположные стороны, отрезали ромб. От оставшегося параллелограмма таким же образом вновь отрезали ромб. И от вновь оставшегося параллелограмма опять отрезали ромб. В результате остался параллелограмм со сторонами 1 и 2. Найдите стороны исходного параллелограмма. п ![]() MF=MN=DN=DP=AO=1 AD=AM+MN+DN=2+1+1=4=OP=OB AB=AO+OB=1+4=5 2) пусть AO=2, AM=1. MF=MN=DN=DP=AO=2 AD=AM+MN+DN=1+2+2=5=OP=OB AB=AO+OB=2+5=7 3) пусть AN=2, AD=1. MN=MK=KB=CB=AD=1 AB=AN+MN+MK+KB=2+1+1+1=5 4) пусть AN=1, AD=2. MN=MK=KB=CB=AD=2 AB=AN+MN+MK+KB=1+2+2+2=7 пусть AN=1, AM=2. MF=MD=DS=AN=1 AD=AM+MD=2+1=3=NS=NK=KB AB=AN+NK+KB=1+3+3=7 пусть AN=2, AM=1. MF=MD=DS=AN=2 AD=AM+MD=1+2=3=NS=NK=KB AB=AN+NK+KB=2+3+3=8 Ответ: 4 и 5, или 5 и 7, или 1 и 5, или 2 и 7, или 3 и 7, или3 и 8. 5 занятие(четырехугольники) 1. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан прямоугольник так, что две его вершины находятся на гипотенузе, а две другие – на катетах. Чему равны стороны прямоугольника, если известно, что они относятся как 5:2, а гипотенуза треугольника равна 45 см.? решение: треугольники АКМ и РОВ- равнобедренные, из равенства углов при основании. С ![]() пусть ![]() МК=5х, а КО=2х. АВ=АК+КО+ОВ=МК+КО+ОВ=5х+2х+5х 45=12х х=3,75 МК=5х=18,75 а КО=2х=7.5 пусть ![]() МК=2х, а КО=5х. АВ=АК+КО+ОВ=МК+КО+ОВ=2х+5х+2х 45=9х х=5 МК=5х=25 а КО=2х=10 Ответ: 18,75 и 7.5, или 25 и 10. 2. Диагональ трапеции делит её на два равнобедренных треугольника. Угол при основании одного из этих треугольников равен 40о. найти углы трапеции. Решение: Очевидно, что в треугольнике ВСК ВК-основание, Так как угол С-тупой, в треугольнике АВК все углы острые, следовательно можно рассмотреть 3 случая: А ![]() тогда ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 2) ВК=АК, тогда ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() АВ=АК, ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() тогда ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Получился параллелограмм, а по условию дана трапеция, значит такого случая быть не может. Ещё одно решение получается, если рассмотреть трапецию, у которой при большем основании один угол острый, а другой – тупой. ![]() ВС=ВК, АВ=ВК. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Ответ: 400, 1400, 1000, 800 или 700, 1100, 1000, 800 или 400, 1400, 700, 1100. 3. Биссектрисы углов А и D параллелограмма АВСD пересекают прямую ВС в точках Е и F соответственно. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен p и известно, что ![]() Решение: 1.рассмотрим сначала случай, когда точка пересечения биссектрис лежит внутри параллелограмма. ![]() AB=BE=CF=CD, так как треугольники ABE и FDC равнобедренные, AD=CD как стороны параллелограмма, ![]() ![]() Как внутренние Накрест лежащие при BC||AB и AC биссектриса. Пусть EF=х ![]() ![]() ![]() Отсюда x= ![]() ![]() |