Лабораторная работа по численным методам. Лабораторная работа №1. Дисциплина Теория разностных схем Отчет по лабораторной работе 1
 Скачать 274.3 Kb.
|
|
II. Краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения второго прядка Решается следующая краевая задача для неоднородного ОДУ второго порядка:
Параметры задачи выбираются в соответствии с индивидуальным заданием. Задача 4. Конечно-разностный метод Численное решение задачи состоит в нахождении приближённых значений y0, y1, …, yn искомого решения y(x) в точках x0, x1,…,xn. Точки x0, x1, …, xn называются узлами сетки. Используем равномерную сетку, образованную системой равноотстоящих узлов  i=0, 1, 2, …, n. При этом x0=a, xn=b, h=(ba)/n. Величина h – шаг сетки. Обозначим p(xi)=pi, q(xi)=qi, f(xi)=fi, y(xi)=yi, y(xi)=yi, y(xi)=yi. Аппроксимируем y(xi) и y(xi) в каждом внутреннем узле центральными разностными производными  ,  (3)и на концах отрезка – односторонними производными   Подставляя эти формулы в (1) – (2), получаем разностную аппроксимацию исходной задачи:  (4)Равенства (4) образуют систему n+1 линейных алгебраических уравнений c n+1 неизвестными y0, y1, …, yn. Таким образом, чтобы найти приближённое решение дифференциальной задачи (1), (2) необходимо решить эту систему. Перепишем систему (4) следующим образом:   (5)где  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  , ,  ,  . Матрица системы (5) трёхдиагональная.  .Поэтому для её решения применим специальный метод, называемый методом прогонки. Решение системы (5) ищется в виде  . (6)где ui и vi – прогоночные коэффициенты. Используя выражение для yi1 из (6), подставим это неизвестное в i-е уравнение системы  .Получаем  ,  .Сравнивая это соотношение с (6), выводим рекуррентные формулы для прогоночных коэффициентов ui и vi (прямая прогонка):   (7) (при n=0). Очевидно, что yn=un. Все остальные неизвестные находим в обратном ходе прогонки по рекуррентной формуле (6), используя вычисленные значения для прогоночных коэффициентов (7). |
