1_2 СРСП_Множества. Дискретная математика

• Название: Дискретная математика
• Дата: 06.04.2023
• Размер: 0.61 Mb.
• Имя файла: 1_2 СРСП_Множества.doc
• Тип: Документы; #1041502
• страница: 2 из 3

Пример 4*. Пусть даны множества А, В, С такие, что А В С= U и A, В, С попарно не пересекаются. Доказать, что
А=В С, В=А С,С = А В.

• 
  Докажем, что A= В С.
  

По условию, А, В, С попарно не пересекаются, т.е.

а)А В = Ø; 6)А С=0; в)В С=Ø,

кроме того,

г) А В С = U. т.е А (В С) = U.
Следовательно, В С удовлетворяет условиям для А , кото­рое единственно (в соответствии с доказанным в примере 3). Поэтому А =В С, что и требовалось доказать. Аналогично доказывается В= А С и С = А В
Упражнения

1. 
   Доказать справедливость соотношений:
   

Пусть А, В, С U. Проиллюстрировать на примере конкретных множеств и с помощью диаграмм Венна справедливость следующих соотношений:

1. 
   А (В С) =( А В) С;
   
2. 
   А (В С) = (А В) С;
   
3. 
   А (А В) = А;
   
4. 
   (А В) (А ¯В)= А
   
5. 
   А ( ¯ А В) = А В.
   

2*. Пусть даны множества А, В, С, причем С В. Дока­зать, что

1. 
   А С А В;
   
2. 
   А С А В;
   
3. 
   А/С А/В;
   
4. 
   С/А В/А;
   

3*. Доказать эквивалентность приведенных ниже утвер­ждений, т.е. что из каждого следует другое:

A B=U; ­­ B; = Ø,.

Векторы, прямые произведения, проекции векторов

Для описания свойств элементов множества удобны век­торные представления. Пусть нас интересуют свойства (значения, состояния, признаки, атрибуты и т. п.) элементов v множества V nфиксированным характеристикам (парамет) А₁ А₂,... ,А_п; при этом каждая характеристика A. (i=1,2, ..., п) представлена множеством из т . — \А.\допустимых значений а. А. [см. поясняющий пример 1]. В таком случае каждый элемент v множества Сможет быть задан упорядо­ченным набором значений a_v а₂,..., а по интересуемым ха­рактеристикам A_VA₂,..., А_п, так что а₁ А₁, а₂ А₂,..., а_п А_п; обозначение: v = (a_va₂,..., а_п).

Основные понятия векторных представлений:

Вектор v- упорядоченный набор элементов

v = (a₁ a₂, ...,a_и),

где , a₁ а₂,..., а_п— компоненты (координаты) вектора. Число п компонент называется длиной (размерностью) вектора.

Два вектора v = (а₁, а_у..., а_п)v₂ =(b,b₂,..., b ) равны, если они имеют одинаковую длину и соответствующие ко­ординаты их равны, т.е.

(a_l,a₂,...,a_n)= (b_l,b₂,...,b_m),

если: l)n = m;2)a_l=b_l,a₂ = b₂,...,a_n = b_m.

Множество всех возможных (различающихся) векторов (a_l, а₂,..., а_п) длины п таких, что a₁ А₁, а ₂ А₂,..., а_п А_п, называют прямым произведением множеств А_1, А₂, ..., А_п.

Мощность прямого произведения множеств А₁, А₂, ... , А_правна произведению мощностей этих множеств, т.е.

1А₁ *А₂*...*А_п\= \А₁\*\А₂\*...*\А_п\.

Способы задания прямого произведения множеств А₁*А₂*... * А_п — аналогичны способам задания множеств с той разницей, что требуется задание каждого множества А₁ А₂ А_у..., А_п прямого произведения.

Операции над множествами векторов (данно­го прямого произведения) - объединение, пересечение, раз­ность, дополнение - аналогичны соответствующим опера­циям над множествами элементов.

Операции над вектором v длины п: v = (a₁ a₂ а_п).

Проекцией вектора v на i-ю ось называется его 1-я компонента:

пр_iv = а_i

Операции над множеством векторов Vдли­ны п: v=(a_va₂,...,a_n),v<=V.

Проекцией множества векторов V на i -ю ось называет­ся множество проекций всех векторов из V на i-ю ось:

Пр_i V = {пр_i v: v V}.

Проекцией множества векторов V на оси с номерами,i,, i₂,..., ,i_r, называется множество проекций всех векторов v V на оси с номерами i_1, i₂,..., i_k:

Пр_i1…..,_ik V={пp_ipikv;v V).

В частности, если

V =А₁ *А₂*...*А_п, то

Пр_lt...,_ikV =А₁*А,₂*...*А_1к.

Операции над упорядоченным множеством векторов Vдлины п: F=(v_pv₂,...,v_n\v = (a_ba₂,...a_n).

Проекцией упорядоченного множества векторов V на i-ю ось называется упорядоченное множество проекций век­торов на эту ось:

Пр_i V= (пр_i v₁, пр_i v₂,..., пр_i v_n).

Проекцией упорядоченного множества векторов V на оси с номерами i_l,i₂,...,i_jcназывается упорядоченное множество проекций всех векторов v Vна оси с номерами i₁ , i₂,..., i_k:

Кроме того, над векторами v одинаковой длины п возмож­но выполнение различных операций сравнения, задаваемых теми или иными правилами сравнения векторов, например следующим.

Правило 1 сравнения векторов по предпочтению:

Пусть V- множество векторов длины п, компонентами которых являются числа. Вектор a = (a_1, a₂,..., а_п) не менее предпочтителен, чем вектор b = (b₁,b_2,...,b_n) (обозначение a≥b), если компоненты вектора а не меньше соответствую­щих компонент вектора b_ьт.е.:

a≥ b, если a₁>b_l, a₂≥b₂, ...,a_n≥b_n.

Пример 1. Пусть при предварительном отборе претенден­тов на вакантную должность кадровую службу организации интересуют следующие их характеристики:

A₁-пол; А₁= {женск., мужск.};

А₂ - возраст (лет); А₂= {18,19,..., 35};

A₃- образование; А₃ = {среднее, незаконченное высшее, высшее};

А₄ - общий стаж работы (лет); А₄ = {0,1,2,..., 15, более 15};

А₅- стаж работы менеджером (лет); А₅ = {О, 1, 2,..., 10, более 10};

А₆- знание английского языка; А₆ = {не владеет, со слова­рем, свободно};

А₇ владение компьютером; A₇ - {компьютер, нет};

А₈ - семейное положение; A₈= {холост (не замужем), же­нат (замужем)}.

Опишите векторно двух претендентов:

а) Иванова 23 лет, окончившего МИФИ, владеющего анг­
лийским со словарем, однако не имеющего стажа работы по
специальности менеджера, неженатого;

б) Петрова 27 лет, окончившего Международный универ­
ситет 3 года назад и проработавшего далее менеджером в
коммерческой фирме, свободно владеющего двумя иностранными языками, в том числе, английским, женатого.

Определите проекции полученных векторов на оси с но­мерами: 2, 5,6, 7.

• 
  При указанной последовательности характеристик векторные описания претендентов:
  

a = (мужск., 23, высшее, 5,0, со словарем, компьютер, неженат),
б = (мужск., 27, высшее, 7,3, свободно, компьютер, женат).

Проекции полученных векторов на оси (характеристики) с номерами 2, 5, 6, 7:

пр _{2 5 6 7} а = (23, 0, со словарем, компьютер),

пр _{2 6 7} б = (27, 3, свободно, компьютер).

Пример 2. Пусть V = {(a, b, d), (с, b, d), (d, b, b)}. Чему равны проекции V на первую ось, на вторую, а также на вторую и тре­тью? Чему равны проекции V на эти оси, если V- упорядочен­ное (указанным выше образом) множество векторов V?

• 
  Проекции множества векторов V:
  

Пр₁V = {а, с, d); np₂V= {b}; пp_2,3V= {{b, d), (b, b)}.

Проекции упорядоченного множества векторов V= ((a, b, d), (c,b,d),(d,b,b)):

Пp₁V=(a, c, d); пр₂V=(b, b,б); np₂₃ V=((b, d),(b, d),(b, b)).