1_2 СРСП_Множества. Дискретная математика

• Название: Дискретная математика
• Дата: 06.04.2023
• Размер: 0.61 Mb.
• Имя файла: 1_2 СРСП_Множества.doc
• Тип: Документы; #1041502
• страница: 3 из 3

Пример 3. Пусть V = {(a, b), (b, c, d), (c, a, d)}.

Чему равна проекция пр₁ V?

• 
  Проекция np₁Vне может быть определена, так как за­
  дано множество Vвекторов разной длины.
  

Пример4. ПустьХ= {0,1}, Y= {a, b}. НайтиХ * Y, Y*X, X², X*Y*X.

• 
  X*Y={(0,a),(0,b),(1,a),(1,b)}.
  Y*X= {(a,0),(a,1),(b,0),(b,1)}.
  Таким образом, X*Y ≠ Y*X.
  

Х² = {(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)}.

X*Y*X={(0, а, 0), (0, а, 1), (0, b, 0), (0, b, 1), (1, а, 0), (1,a,1),(1,b,0),(1,b,1)}.

Пример 5. Проиллюстрировать на конкретном примере утверждение: если

A X B Y, то A*B X*Y

• 
  Пусть А = {а}, Х= {а, b}, т.е. A X и В = {1,2,}, Y= {1,2,3}, т.е. B Y. Тогда:
  

А*В= {(a,1), (a,2)};

Х*Y= {(а, 1), (а, 2), (а, 3), (b,1), (b, 2), (b, 3)} = {(а, 1), (a, 2)} {(а, 3), (b, 1), (b,2), (6, 3)} = [А * В] {(а, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)} =X*Y. Таким образом, A*B X*Y.

Пример 6. Пусть А - алфавит, т.е. конечное множество, элементами которого являются символы (буквы, цифры, зна­ки препинания, знаки операций и т.д.). Словом длины п в ал­фавите А (обозначается последовательностью из п симво­лов без скобок и запятых) называют любой элемент множе­ства Aⁿ. В этом определении слово представлено как вектор. Множество всех слов в алфавите А - это множество А*:

A*=A¹ A² A³ ...

Пусть теперь алфавит A состоит из трех символов, напри­мер: А = {а, b, с}. Определить множество всех слов длины 1, 2, 3,4 в алфавите А.

• 
  • Множество всех слов длины 1 в алфавите , A = {а, b, с} -это множество всех слов из одной буквы алфавита А:
  
• 
  A^l = {a,b,c}, \А¹\ =3.
  

• Множество всех слов длины 2 в алфавите А - множе­ство всех возможных двухбуквенных слов в алфавите А:

А² =А*А = {аа, ab, ас, ba, bb, bс, ca, cb, ее}, \ А²\ = 9 = 3².

• Множество всех слов длины 3:

А³=А*А*А = {ааа, aab, aac, aba, ...,.ссс), \А³\ = 27 = 3³.

• Множество всех слов длины 4:
А⁴=А*А*А*А = {аааа, aaab, aaac, aaba,...,сссс}, \А⁴\ =

= 81=3⁴.

Очевидно, что мощность множества всех слов длины п в ал­фавите А равна мощности алфавита в степени п, т.е. | А^п \ = \ А\ⁿ

Пример 7. Пусть при сравнении пяти вариантов решений а, b, с, d, г по четырем характеристикам-критериям X, Y, Z, Uполучены следующие векторные оценки каждого варианта:

V = {(2, 3, 1, 2), (3, 3, 1, 2), (2, 2, 2, 2), (3, 2, 1, 2), (2,3,2,2)}.

Используя правило 1 сравнения векторов по предпочте­нию (см. с. 29), определить наилучшие векторные оценки и соответствующие им варианты решений.

• 
  В соответствии с правилом 1 выполним попарное срав­нение векторных оценок из V. При сравнении первой век­торной оценки со второй последняя оказывается не менее предпочтительной, а именно;
  

(2,3,1,2) ≤(3,3,1,2).

Поэтому дальнейшее сравнение первой векторной оцен­ки со всеми другими можно не выполнять и далее ее не рас­сматривать. Оставшиеся векторные оценки:

V= {(3, 3, 1, 2), (2, 2, 2,2), (3,2, 1, 2), (2, 3, 2, 2)}.

В полученном списке V' векторных оценок первая срав­нима по правилу 1 только с третьей этого списка: (3,3,1,2)≥(3,2,1,2).

Это позволяет отбросить третью векторную оценку в V' как менее предпочтительную. Новый список векторных оце­нок:

V" = {(3,3,1,2), (2, 2, 2,2), (2, 3,2, 2)}.

В новом списке V " сравнимыми по правилу 1 оказыва­ются только последние две оценки:

(2,2,2,2)≤(2,3,2,2).

Оставшиеся две векторные оценки

V" = {(3,3, 1,2), (2, 3,2,2)}

несравнимы по правилу 1, т.е. никакой из них нельзя отдать предпочтение по данному правилу. Поэтому их следует при­знать лучшими среди векторных оценок исходного списка V.

Таким образом, наилучшими по правилу 1 сравнения век­торов по предпочтению оказались вторая и последняя век­торные оценки исходного списка V, и соответствующие им варианты решений {b, е) следует также признать наилуч­шими с учетом оценок, полученных ими по критериями, Y, Z,U.

Заметим, что полученное с использованием правила 1 мно­жество М_п = {b, е) наилучших и несравнимых вариантов решений называют в теории принятия решений областью компромиссов, ют множеством парето-оптималъныхре­шений.

Упражнения
1. Определить проекции v : пр , v, пр ₃ v, пр j ₃ v, если:

a) v = (2, 3,1,1); б) v = (2, 2, 3, 1).

2. Определить проекции множества векторов V: пр₁V, пр₃ V, пр_1.3 V, если:

а) {(2, X 1,1), (2, 2, 3,1), (1,2, 3,1)};

б) {(1,3, 5), (2,4, 6), (3,5, 7)}.

З.ПустьХ= {а, с}, Y= {а, d,f/}. Найти X*Y, Y², Y*X*Y.

4. Проиллюстрировать на конкретном примере справед­ливость соотношения

А* (В С) (А * В) (А * С).

5.Пусть А₁=А₂ = {а, b, с}, А₃ = А₄= {d, e} и V=A₁ * A₂*A₃*A₄. Найти: пр₁ V, пр_1.3 V.

6. Сравнить векторные оценки множества V= {(3,1,2,3), (2, 2, 1, 3), (1, 2, 3, 2), (3, 1, 2, 2), (1, 2, 2, 3), (3, 2, 3, 2), (2, 2, 2, 2), (2, 3, 1,3)} с использованием правила 1 сравне­ния векторов по предпочтению и определить подмножество V' наилучших - парето-оптимальных - векторных оценок, V’ V.