Дозирование
 Скачать 5.11 Mb.
|
|
Рис. 5.14. Лабораторная установка 0 с 8 с 2 с 10 с 4 с 12 с 6 с 12 с Рис. 5.15. Разложение по кадрам видеоизображения процесса движения порции сыпучего материала по наклонному вибрирующему лотку На рисунке 5.15 показаны результаты видеосъемки процесса движения порции зернистого материала (семян люцерны). Снимки даны через равные промежутки времени ∆t = 2 с. Как видно из фотоснимков, порция материала перемещается вдоль лотка от загрузочного края к разгрузочному и одновременно изменяется форма открытой поверхности зернистого материала. Кривая, ограничивающая продольное сечение материала, похожа на полуволну синусоиды, причем с течением времени амплитуда этой синусоиды уменьшается, а период увеличивается. Расстояние от центра тяжести зернистого материала до поверхности лотка в процессе движения уменьшается, а масса порции до момента начала падения частиц с лотка остается неизменной. Таким образом, качественный анализ показал, что процесс преобразования отдельной порции сыпучего материала на наклонном вибрирующем лотке можно рассматривать, как совокупность двух независимых процессов: изменение формы продольного сечения порции сыпучего материала на лотке; перемещение центра тяжести порции сыпучего материала вдоль лотка. Рассмотрим более подробно каждый из указанных процессов. 5.3.2. ИЗМЕНЕНИЕ ФОРМЫ ПРОДОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ ОТДЕЛЬНОЙ ПОРЦИИ СЫПУЧЕГО МАТЕРИАЛА ПРИ ВИБРАЦИИ При дальнейшем описании движения сыпучего материала на вибрирующем лотке воспользуемся результатами, представленными в работе [31]. В результате визуальных наблюдений процесса изменения формы продольного сечения порции сыпучего материала на вибрирующем лотке было установлено, что расстояние от центра тяжести сыпучего материала до поверхности лотка в процессе движения уменьшается, а масса порции до момента начала падения частиц с лотка остается неизменной. Ранее [17] была выдвинута гипотеза, что система, представляющая собой совокупность большого числа контактирующих частиц, при своем движении в превалирующем поле гравитационных сил стремится, а при установившемся режиме движения достигает такого положения, при котором ее потенциальная энергия минимальна. Численное значение минимума определяется границами, в которых находится данная система. Для случая установившегося режима гипотеза была экспериментально проверена при движении сыпучего материала в гладком вращающемся барабане. Позже [27] эта гипотеза экспериментально проверена и для неустановившегося режима (режим циклических обрушений) движения сыпучего материала в горизонтальном вращающемся цилиндре. В рассматриваемом нами случае нет ограничений (кроме временных) на то, чтобы система относительно лотка имела практически нулевую потенциальную энергию. Действительно, если предположить, что лоток имеет неограниченную длину, т.е. отсутствует временное ограничение процесса, то частицы распределятся слоем с высотой, равной диаметру отдельной частицы. В данной ситуации потенциальная энергия относительно поверхности лотка практически равна нулю. Известно, что потенциальную энергию системы можно найти только с точностью до произвольного постоянного слагаемого. В каждой конкретной задаче для получения однозначной зависимости потенциальной энергии системы от ее конфигурации выбирают нулевую конфигурацию, в которой потенциальную энергию полагают равной нулю. В рассматриваемом случае считали, что нулевой уровень – это поверхность лотка, т.е. условно это такая конфигурация системы, при которой положение ее центра тяжести совпадает с поверхностью лотка. С учетом сделанных замечаний была выдвинута следующую гипотезу: система, представляющая собой совокупность контактирующих частиц, находящихся на вибрирующей пластине в поле гравитационных сил, стремится к состоянию, соответствующему возможному минимуму потенциальной энергии, причем скорость изменения потенциальной энергии системы пропорциональна разности потенциальных энергий рассматриваемого и конечного состояния (минимума потенциальной энергии). С математической точки зрения это выглядит следующим образом: если ) ( t f W P = , то P KW dt t df = ) ( , т.е. первая производная от функции прямо пропорциональна самой функции. Учитывая, что функция во времени убывает, решение искали в виде: t Ke y β − = , (5.21) где K – коэффициент пропорциональности; β – коэффициент затухания. Воздействие на порцию уменьшается по мере ее продвижения вниз по наклонному лотку, поскольку амплитуда колебаний линейно уменьшается по длине лотка, следовательно, β в соотношении (5.21) будет непостоянным по длине лотка. Было сделано предположение, что β, так же как и амплитуда, зависит от перемещения, т.е. определяется зависимостью: S K S β − β = β 0 ) ( , (5.22) где β 0 – начальное значение коэффициента затухания; K β – коэффициент пропорциональности. Проверку гипотезы о характере изменения потенциальной энергии проводили следующим образом. Использовалась установка, показанная на рис. 5.16. Рис. 5.16. Установка для исследования характера изменения потенциальной энергии порции сыпучего материала В центр короба, расположенного на вибраторе вертикального действия, загружалась порция сыпучего материала. Одновременно с началом вибровоздействия начинали видеосъемку процесса движения сыпучего материала в коробе. Характерные результаты эксперимента представлены на рис. 5.17 в виде разложения по кадрам видеоизображения процесса. a) 0 c б) 1 с в) 2 с в) 3 с Рис. 5.17. Изменение формы открытой поверхности порции сыпучего материала Рис. 5.18. Изменение потенциальной энергии порции сыпучего материала при вибрации В данном случае за нулевой уровень принимали горизонтальную линию, проходящую через центр тяжести сыпучего материала, находящегося в коробе, у которого открытая поверхность горизонтальна. Данная нулевая конфигурация действительно соответствует минимальному значению потенциальной энергии системы (определенного количества сыпучего материала) в рассматриваемых границах (прямоугольный короб). t W 0 W Р По материалам видеосъемки, используя программу AutoCAD, определяли положение центра тяжести сыпучего материала, а затем расстояние между этим положением и нулевым уровнем. По результатам строили зависимость ) ( t f W P = , показанную на рис. 5.18. На рисунке 5.18 сплошной линией показана расчетная зависимость. Как видно из графика, наблюдается удовлетворительная сходимость расчетных и экспериментальных данных. Это говорит о том, что предложенная гипотеза соответствует действительности и может быть использована при дальнейшем моделировании процесса. Для математического моделирования процесса двухстадийного дозирования целесообразно от закономерности изменения потенциальной энергии перейти к закономерности изменения кривой, описывающей открытую поверхность отдельной порции сыпучего материала. Ранее было отмечено, что в продольном сечении кривая, ограничивающая порцию сыпучего материала сверху, по виду напоминает полуволну синусоиды. На рисунке 5.19 показана порция сыпучего материала, ограниченная снизу поверхностью лотка, а сверху полуволной синусоиды. Уравнение синусоиды запишем в виде t A y ω = sin , учитывая, что Т / 2 π = ω , можно записать t Т A t y π = 2 sin ) ( (5.23) Рис. 5.19. Продольное сечение порции сыпучего материала Для нахождения координаты центра тяжести сыпучего материала определим статический момент площади. Для этого на произвольном расстоянии t выделим элементарную площадь dF. По определению, статический момент площади относительно горизонтальной оси – это интеграл вида ∫ = F c t dF t y S ) ( , (5.24) где ) ( t y c – координаты центра тяжести элементарной площади. Учитывая, что dt t y dF ) ( = , а 2 / ) ( ) ( t y t y c = , запишем выражение (5.24) в следующем виде: dt t T A t T A S Т t π π = ∫ 2 sin 2 sin 2 1 2 / 0 . (5.25) Координату центра тяжести площади, находящейся под полуволной синусоиды, можно определить, используя зависимость F S y t c = (5.26) Площадь под кривой можно определить следующим образом: π = π = ∫ AT dt t T A F T 2 0 2 sin , (5.27) тогда x А(t) y t d dF y с T/2 ϕ 8 2 cos 2 4 sin 8 2 1 2 2 sin 2 sin 2 1 2 / 0 2 / 0 2 / 0 2 / 0 2 2 π = π π − π π − = π π = ∫ ∫ A t T T t T T t A dt t T A dt t T A y Т Т Т Т c . (5.28) Будем считать, что угол наклона открытой поверхности сыпучего материала к горизонту на краю синусоиды равен углу трения движения сыпучего материала. С математической точки зрения это означает, что первая производная функции y (t) при t = 0 равна тангенсу угла трения сыпучего материала: t Т T A t y π π = ′ 2 cos 2 ) ( , при t = 0 1 2 cos = π t Т , тогда 0 0 2 tg T A π = ϕ (5.29) С учетом (5.27) можно записать: 0 0 A F T π = (5.30) Подставим данное выражение в выражение (5.29) и после преобразования получим 2 tg 0 ϕ = F A (5.31) Изменение потенциальной энергии сыпучего материала описывается зависимостью (5.21). Из формулы (5.28) видно, что координата центра тяжести, а, следовательно, и потенциальная энергия однозначно и линейно зависят от амплитуды синусоиды. Отсюда можно сделать вывод о том, что функциональная зависимость амплитуды от времени имеет тот же вид, что и зависимость потенциальной энергии от времени. Следовательно, можно записать: t e A t A β − = 0 ) ( (5.32) В соответствии с уравнением (5.30) ) ( ) ( t A F t T π = (5.33) С учетом (5.32) уравнение кривой, описывающей верхнюю границу порции сыпучего материала в процессе вибрации, запишем в следующем виде t Т e A t y t S π = β − 2 sin ) ( ) ( 0 (5.34) Данная формула позволяет найти количество материала ∆Q, которое ссыпается с лотка за интервал времени ∆t = ∆ ∫ ∆ − t t t dt t y Q ) ( , при условии, что в момент времени t – ∆t интересующее нас поперечное сечение порции сыпучего материала находится на ссыпающем краю лотка. Таким образом, получена аналитическая зависимость для описания открытой поверхности порции сыпучего материала. Теперь рассмотрим процесс движения центра тяжести порции сыпучего материала по наклонному вибрирующему лотку. 5.3.3. ДВИЖЕНИЕ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ ПОРЦИИ СЫПУЧЕГО МАТЕРИАЛА ВДОЛЬ ЛОТКА Для качественной оценки процесса движения центра тяжести отдельной порции сыпучего материала вдоль наклонного вибрирующего лотка были проведены следующие эксперименты. Над загрузочной частью лотка неподвижно относительно основания укрепили воронку, через которую на вибрирующий лоток подавали отдельные порции сыпучего материала и проводили видеосъемку процесса движения. Характерные результаты съемки представлены на рис. 5.20. По материалам видеосъемки в фиксированные моменты времени визуально определяли положение центра тяжести порции сыпучего материала на лотке. Как видно из рис. 5.21, по мере продвижения материала вдоль лотка перемещение центра тяжести за равные промежутки времени уменьшается. Учитывая, что амплитуда колебаний линейно уменьшается от загрузочного края к разгрузочному, было сделано предположение о том, что ускорение движения центра тяжести также линейно уменьшается по длине лотка, т.е. если S k A S А A L − = 0 ) ( , то S k a S a a − = 0 ) ( , (5.35) где А 0L – амплитуда колебаний лотка в сечении, где осуществляется загрузка порции сыпучего материала; а 0 – ускорение центра тяжести порции сыпучего материала в сечении лотка, где осуществляется загрузка порции; k A и k a – коэффициенты пропорциональности. а) 0 с е) 5 с б) 1 с ж) 6 с в) 2 с з) 7 с г) 3 с и) 8 с д) 4 с к) 9 с Рис. 5.20. Разложение по кадрам видеоизображения процесса движения порции сыпучего материала по наклонному вибрирующему лотку Рис. 5.21. График зависимости S(t) Зная закон изменения ускорения по длине лотка можно получить зависимость пути S от времени. Если S k a S a a − = 0 ) ( , где 0 0 L a k а = , то можно сделать следующие преобразования: a k dS da − = и 0 ) ( ) ( ) ( ) ( = ′ + ′ ⇒ ′ ′ = t S k t a t S t a ds da a Учитывая, что ) ( ) ( ), ( ) ( t V t S t V t a = ′ ′′ = ′ , находим 0 ) ( ) ( = + ′′ t V k t V a , откуда ) ( sin ) ( cos ) ( 2 1 t k C t k C t V a a + = Следовательно: 3 2 1 ) ( cos 1 ) ( sin 1 ) ( C t k C k t k C k t S a a a a + − = Удовлетворим начальным условиям: 3 2 0 ) 0 ( C k C S a = ⇒ = , k a С k a C a a a 0 2 0 3 0 ) 0 ( = ⇒ = ⇒ = , получим )) ( cos 1 ( 1 ) ( sin 1 ) ( 0 1 t k a k t k C k t S a a a a − + = Тогда ) ( sin 1 ) ( cos ) ( 1 t k k t k C t V a a a + = Если при t = 0 V = V 0 , то С 1 = V 0 Окончательно функция перемещения запишется в следующем виде: )) ( cos 1 ( 1 ) ( sin 1 ) ( 0 0 t k a k t k V k t S a a a a − + = . (5.36) В данной зависимости три параметра (V 0 , k a , a 0 ) подлежат идентификации. Определение численных значений данных параметров осуществляли для каждого конкретного сыпучего материала, при фиксированном угле наклона лотка к горизонту. Другими словами, для каждой комбинации сыпучий материал–угол наклона определялись свои значения параметров. На рисунке 5.22 представлены результаты сравнения расчетных (сплошные линии) и экспериментальных данных (точки) по движению центра тяжести порции сыпучего материала. Как видно из графиков, в начале лотка наблюдается удовлетворительная сходимость расчетных и экспериментальных данных, причем, при больших углах наклона лотка к горизонту (кривая 3) продолжительность участка наибольшей адекватности модели больше, чем при меньших углах (кривая 1). Более того в соответствии с зависимостью (5.36) при малых углах наклона лотка к горизонту центр тяжести порции сыпучего материала не достигает ссыпающего края лотка, что не соответствует действительности. Однако, если сделать допущение о том, что после начала ссыпания материала с лотка центр тяжести порции сыпучего материала движется с постоянной скоростью, то полученная зависимость удовлетворительно описывает процесс движения центра тяжести порции сыпучего материала по наклонному вибрирующему лотку. Основным недостатком данной модели является то, что она не может быть использована в ряде случаев, имеющих место при промышленном использовании вибрационных преобразователей, в частности, при нулевой начальной скорости (V 0 = 0). |