2 канонические формы. Две канонические формы алгебраической записи логической функции
 Скачать 115.45 Kb.
|
|
а. а 6 Рис. 18.6. Структурная схема устройства, реализующего логическую функцию у = ххх2 + ххх2 в элементах: «ИЛИ-HE» (а) и «И-НЕ» (6)
В качестве исходного по-прежнему рассматриваем выражение для функции у, подвергнутое операции двойного отрицания у = у = ххх2 + ххх2. Преобразуем функцию у к виду, не содержащему логических сумм. В соот ветствии с теоремой де Моргана a + b = a b получаем у=ххх2+ххх2 = (хх •х2)-(хх х2). Замечаем, что в последнем выражении каждый из сомножителей есть функ ция Шеффера («И-НЕ»), и согласно принятым обозначениям можем записать его через штрих Шеффера: х^х2= хх \ х2; х{ • х2 = хх \х2. Тогда У = У = (хх\х2)-(хх\х2). Полученное логическое выражение также можно рассматривать как функцию Шеффера от сложных аргументов#, \х2 и х, \х2, следовательно, у = (х] \ х2) \ (хх \ х2). На рис. 18.6, б приведена блок-схема устройства, построенного на элементах Шеффера, выполняющего заданную логическую функцию. Она содержит три элемента «И-НЕ», т.е. меньше, чем при реализации в базисе «ИЛИ-НЕ». Обращаем внимание, что в обеих структурных схемах (рис. 18.6, г/, 6) с целью большей наглядности входные инверторы (преобразующие хх в .г, и х2 в х2) не показаны. Пример 18.4. Логическая функция четырех аргументов у(а, /;, с, (I) задана ал гебраическим выражением y = a-c+a b c + d. Построить структурные схемы цифрового устройства, выполняющего функцию у: а) на элементах «ИЛИ-НЕ»; б) на элементах «И-НЕ». Решете
Преобразуем функцию у к виду, не содержащему логических произведений. Для этого переходим от логических произведений ас и abc к выражениям, где фигурируют логические суммы (пользуясь правилом де Моргаиа), а именно: ас = а + с = а + с = а \ с — функция Пирса от аргументов а и с\ а -Ь-с = a + b + с = a lb 1с — функция Пирса от аргументов а, Ъ и с. Тогда для инверсии заданной функции имеем равенство у = ас + a be + d = (а I с) + (a I b I с) + (1. Последнее выражение свидетельствует о том, что инверсия функции у име ет структуру функции Пирса от трех аргументов а \ с, а [Ь [с, d и может быть записана в виде у = (а I с) | (а 1Ъ | с ) | d. Инвертируя это логическое равенство, приходим к искомому выражению функции у: y = (a[c)\(a[b\c)\d. По полученному логическому уравнению строим структурную схему цифро вого устройства. Она содержит три элемента, выполняющих операцию Пирса («ИЛИ-HE») и один элемент, осуществляющий инверсию, как показано на рис. 18.7, а. а 6 Рис. 18.7. Реализация логической функции у = ас + abc + d в универсальных базисах: «ИЛИ-HE» (а) и «И-НЕ» (б)
Выражение заданной функции у приводим к виду, не содержащему действий логическою сложения. Для инверсии функции у по теореме де Моргана можем записать у = cic + abc + d = (ас)• (abc) d. Тогда для самой функции у справедли во равенство y = y = (ac)(abc)d. Замечаем, что а'с=а\с — функция Шеффера от аргументов а и с; abc = а | b | с — функция Шеффера от аргументов а, /;, с; (ас) • (abc) • d — функция Шеффера от сложных аргументов яс, abc, d. Следовательно, пользуясь принятым для операции Шеффера («И-НЕ») обозначением, приходим к окончательному логическому выражению заданной функции у(а, /;, с, d): y = (a\cj\(a\b\c)\(d). По полученному уравнению строим структурную схему устройства, выпол няющего заданную логическую функцию. Она состоит из трех элементов Шеф фера и приведена на рис. 18.7, б. Контрольные вопросы и задания
Назовите все известные вам простейшие логические операции, а также оха рактеризуйте их логические свойства. Изобразите таблицы истинности элементов, реализующих операции логичес кого умножения «И» и сложения «ИЛИ» двух переменных. Какова таблица истин ности элемента, осуществляющего логическое отрицание «НЕ»?
Запишите алгебраические выражения, обозначающие операции: а) логического умножения трех логических переменных xv х2, х3; б) логического сложения трех логических переменных хг х2, х3; в) логического отрицания переменной х.
(д:, + х2 + xtx2)(xi + х2) к виду: а) не содержащему логических произведений; б) не содержащему логических сумм.
Таблица 18.8 К заданию 14 5. Каковы цели минимизации заданного для функции y(xv х2, ...,хп) алгебраиче ского уравнения при построении цифрового устройства?
|