Крамер агеев. Е. А. КрамерАгеев, ик. Леденев, ни. Морозова, А. А. Званцев, Н. Н. Могиленец, си. Хайретдинов под общей ред. Е. А. КрамерАгеева. М нияу мифи, 2011. 172 с. Подготовлено в полном соответствии с фгос по направлению 1
 Скачать 1.38 Mb.
|
|
Примеры и задачи Число шахтеров, работающих в шахтах региона, равно 10 000. За последние 5 лет в регионе имели место трагические случаи гибели шахтеров в производственных авариях и вызванного ими материального ущерба. Зарегистрированные данные по этим случаям приведены в табл. 1.1.1. Таблица 1.1.1 Текущее время, сут. Число погибших Материальный ущерб, руб. 0 – – 51 7 10 5 83 5 2 ⋅ 10 4 105 4 10 6 185 2 5 ⋅ 10 5 200 8 10 5 220 3 10 6 305 2 10 5 340 2 10 5 450 2 7 ⋅ 10 5 490 3 5 ⋅ 10 4 560 10 8 ⋅ 10 6 640 15 10 6 750 3 2 ⋅ 10 6 810 2 9 ⋅ 10 5 990 4 10 6 1160 3 5 ⋅ 10 5 1220 3 10 6 1300 6 4 ⋅ 10 5 1400 5 10 6 1460 7 8 ⋅ 10 5 1580 12 5 ⋅ 10 6 1720 2 10 Используя данные приведенной таблицы, необходимо Здесь и далее по тексту под N следует подразумевать число, равное порядковому номеру фамилии пользователя в алфавитном списке учебной группы. 18 определить индивидуальный риск гибели шахтера в производственной аварии рассчитать и построить график зависимости социального риска гибели шахтеров в производственных авариях определить унитарный риск уничтожения материальных ценностей, оцениваемых в рублях, если общая стоимость объектов шахтерского хозяйства составляет 10 8 руб. 2. Затри года сейсмического мониторинга на сейсмической станции было зарегистрировано 72 сейсмических события. Какова вероятность того, что за предстоящий месяц на станции будет зарегистрировано а) ровно N сейсмических событий б) не более N + 1 сейсмических событий При этом поток сейсмических событий считать пуассоновским. Ответ при N = а) 2 2e − ; б) 2 19 3 e − 3. Можно ли утверждать, что поток некоторых опасных случаев является пуассоновским, если для него математическое ожидание числа событий за заданный промежуток времени равно дисперсии этого числа 4. В каком соотношении находятся математическое ожидание и дисперсия случайного времени между моментами опасных случаев, если их поток является пуассоновским 5. Используя данные задачи 1, определить порядок потока Эрлан- га, который можно использовать в качестве математической модели приведенной в задании последовательности опасных событий. Ответ порядок потока равен трем Плотность распределения вероятности случайного времени между событиями потока линейно возрастает от нуля (при значении случайного времени, равном нулю) до максимального значения при предельно возможном значении случайного времени, равном N секунд. Определить порядок потока Эрланга, который можно использовать в качестве математической модели этого потока. Ответ 4. 7. Индивидуальный риск оказаться пострадавшим в ДТП для жителя некоторого региона с числом жителей в нем, равным 100000, составляет 10 -4 год 19 Определить а) вероятность того, что произвольно взятый житель региона окажется пострадавшим в ДТП в период времени, равный N лет б) интенсивность потока пострадавших в ДТП среди жителей региона в) вероятность того, что в предстоящий год в регионе число пострадавших в ДТП окажется равным ровно N и не менее N. Ответа) приблизительно 0,001 (при N = 10); б) 10 год в) 10 10 10 /10! e − ⋅ и 9 10 0 1 (10 ) / ! i i e i − = − ∑ (при N = 10). 8. На территории некоторого региона за прошедший достаточно длительный период времени среднестатистическая интенсивность некоторого вида опасных событий составила λ год км. Распределение событий повремени и территории региона соответствует модели пуассоновского поля. Выделим в этом регионе квартал площадью σ и зададимся предстоящим периодом времени длительностью. В обозначенном таким образом объеме пуассоновского поля может произойти любое число упомянутых событий с соответствующими вероятностями. Определить, во сколько раз вероятность того, что в выделенном объеме пуассоновского поля произойдет ровно десять событий, окажется больше вероятности того, что десять событий произойдут в пределах заранее обособленной половины площади обозначенного квартала и к тому же в пределах обособленной половины обозначенного периода. Ответ 10 3 /4 4 T e − λσ 9. Для графа состояний случайного процесса, приведенного на рис. 1.1.3, ввести обозначения состояний, выбрать значения интенсивностей потоков переходов для обозначенных стрелками переходов и для полученного таким образом размеченного графа процесса а) определить вероятность каждого состояния при бесконечной продолжительности процесса б) записать дифференциальное уравнение Колмогорова для одного из состояний процесса 20 в) определить, будут ли вероятности всех обозначенных состояний процесса одинаковы, если интенсивности потоков событий по всем стрелкам графа состояний окажутся равными. S 1 S 2 S 3 S 4 Рис. 1.1.3. Граф состояний случайного процесса 10. Лампа, используемая в уличном фонаре, выходит из строя с интенсивностью λ, поток отказов – эрланговский го порядка. Вышедшая из строя лампа заменяется на новую, поток восстанов- лений – эрланговский го порядка интенсивностью μ. Используя идею «псевдосостояний» случайного процесса, определить вероятности для двух возможных состояний лампы а) лампа исправна б) лампа неисправна. Процесс считать бесконечно длительным. Ответ / ( ) μ λ + μ , / ( ) λ λ + μ . 11. Постоянная распада ядра материнского радионуклида равна м. Дочернее ядро является также радионуклидом, для него постоянная распада равна д. Ядро, образующееся при распаде дочернего внучатое, – стабильное. Методом теории марковских случайных процессов найти зависимости вероятностей от времени каждого из трех названных состояний ядра, начальное состояние которого – материнское. Полученные соотношения использовать для преобразования их в зависимости активности от времени трех соответствующих ра- дионуклидных препаратов. 12. На некотором полигоне запланировано проведение взрыва, момент которого равновероятно может быть в пределах от 12.00 до 14.00 объявленных суток. Приняты меры по обеспечению безопасности людей. Однако одна из малозаметных троп, проходящих через полигон, осталась бесконтрольной. По этой тропе намерен пройти путник. Момент его входа в опасную зону равновероятно может быть в пределах от 13.00 до 14.00, а время преодоления 21 опасной зоны составляет 30 мин. Если в момент взрыва путник окажется в опасной зоне, то он будет поражен. Определить вероятность поражения путника. Ответ 3/16. Подсказка Задачу рекомендуется решить графически, рассмотрев разность двух случайных величин (моментов времени. 13. Интенсивность потока отказов некоторого изделия с момента включения его в работу увеличивается со временем t по закону λ(t) = 1 – exp(–αt), α = const. Определить вероятность безотказной работы изделия при заданном времени безотказной работы Т. 14. Некоторое изделие АЭС представляет собой совокупность трех элементов с интенсивностью потоков отказов в них, соответственно ч i = 1; 2; 3. Отказы в элементах – независимые. Отказ изделия наступает при отказе хотя бы одного элемента. Определить время безотказной работы изделия при вероятности безотказной работы равной 0,99. 15. Решить задачу 14 при условии изделие становится отказавшим, когда откажут все три его элемента. 16. Решить задачу 14 при условии изделие становится отказавшим, когда откажут любые два его элемента. 17. Элемент изделия с индексом i = 1, указанный в задаче 14, задублирован двумя элементами с одинаковыми показателями надежности для всех трех элементов задублированной группы. Дублирующие элементы включены в работу в режиме ненагруженного холодного) резерва, без восстановления отказавших элементов. Определить вероятность безотказной работы изделия при ее продолжительности равной 10 5 ч. 18. В условии задачи 17 изменить режим работы резервных элементов на нагруженный (горячий, без восстановления. Построить граф состояний задублированного элемента, записать уравнения Колмогорова, достаточные для решения вопроса, поставленного в задаче 17. 19. Выполнить задачу 18 при условии режим работы резервных элементов – ненагруженный с восстановлением. Время восстановления случайно, поток восстановлений каждого отказавшего элемента пуассоновский интенсивностью μ. 22 20. Выполнить задачу 19, заменив в нем слово «ненагружен- ный» на нагруженный. 21. С целью обеспечения надежности одного из функциональных блоков некоторого производственного комплекса предусмотрено дублирование данного блока. В рабочем режиме находится лишь один блоки в этом режиме в нем случаются отказы. Поток отказов является случайным пуассоновским интенсивностью λ. В резервном блоке в холодном режиме отказы не происходят. При отказе работающего блока в работу немедленно автоматически включается резервный, а отказавший блок поступает на ремонт. Среднее время восстановления отказавшего блока равно τ, поток событий восстановления блока – случайный, пуассоновский. Найти вероятность того, в процессе длительной эксплуатации производственного комплекса, в произвольный момент времени, он окажется неработающим по причине отказав нем обоих блоков. Ремонтная бригада единственна и одновременно может заниматься восстановлением только одного блока. Ответ 2 2 ( ) / (1 ( ) ) λτ + λτ + λτ 22. Решить предыдущую задачу при условии, что в нормальном режиме работы комплекса оба задублированных комплекса включены в рабочий режим, отказы в них возникают независимо, с интенсивность в каждом, а комплекс сохраняет работоспособность при исправности хотя бы одного из зарезервированных блоков. Ответ 2 2 ( ) /{2[1 ( ) / 2]} λτ + λτ + λτ 23. Для оказания скорой медицинской помощи жителям некоторого населенного пункта создано медицинское учреждение с числом выездных бригад равным m. За одни сутки за медицинской помощью в учреждение поступает в среднем k вызовов, их поток – пуассоновский. Продолжительность обслуживания бригадой одного вызова – величина случайная, ее среднее значение равно τ, соответствующий поток обслуживаний – также пуассоновский. Определить вероятность того, что на обращение нуждающегося в медицинской помощи будет немедленное реагирование, те. в момент обращения в учреждении будет хотя бы одна незадействованная выездная бригада. Возможные значения параметров задачи m = 3; 4; 5; 6; τ = 1; 2; 3; 4; 5 ч k = 10; 15; 20 сут 23 Ответ при условии, что m = 3, τ = 3 ч, k = 10 сут 0,104. 24. N + 10 однотипных последовательно включенных элементов составляют рабочий блок некоторого агрегата. При отказе любого элемента блок становится неработоспособным. Поиск отказавшего элемента производится путем проверки работоспособности произвольно выбираемых участков последовательно включенных элементов. Если участок оказывается неработоспособным, делается вывод отказавший элемент находится в контролируемом участке. Какой тактики поиска отказавшего элемента следует придерживаться, чтобы число контрольных операций по проверке работоспособности участков элементов оказалось минимальным Чему равно минимальное число контрольных операций, создающих возможность однозначно определить отказавший элемент Ответ минимальное число операций равно log 2 (N + 10). 25. Проектный гарантированный срок работы производственного агрегата составляет 5 лет при вероятности безотказной работы равной 0,95. Определить вероятность того, что агрегат будет безотказно работать ровно N лет. Поток отказов считать пуассоновским. Ответ 0,95 N/5 . 26. Вероятность безотказной работы некоторого технического устройства P(t) убывает по линейному закону от единицы при t = 0 до нуля при t = T. Найти зависимость интенсивности отказов от времени, среднее время безотказной работы и значение гарантийного срока службы устройства, если требуемая надежность не должна быть ниже 0,90. Рекомендация По условию задачи ( ) 1 t P t T = − . Положив P(t) = 0,90, можно найти гарантийный срок службы. Далее можно воспользоваться соотношением из (1.1.7) для определения λ(t). Наконец, используя (1.5), можно определить среднее время безотказной работы. 27. Интенсивности потоков отказов для пяти элементов системы, изображенной на рис. 1.1.3, постоянны во времени и равны, соответственно, 0,1; 0,2; 0,3; 0,4 и 0,5 год. Определить вероятность безотказной работы системы при непрерывной работе системы в течение одного года. 28. Решить задачу 19 при дополнительном условии для одного из элементов системы предусмотрено резервирование двумя дополнительными элементами (конкретный задублированный элемент выбрать самостоятельно. Все дублирующие элементы идентичны с основными и функционируют в режиме горячего резерва. 29. Решить задачу 20 при измененном условии дублирующие элементы функционируют в режиме холодного резерва. 30. Воспользуемся соотношением (1.1.14). Пусть a X A r − = ⋅ ; b Y B r = ⋅ . Определить, при каких соотношениях между постоянными параметрами A, B, a, b производственная деятельность целесообразна. Контрольные вопросы 1. Пояснить понятие ущерб, способы его количественного выражения, привести пример. 2. Пояснить понятие риски способы его количественного выражения с помощью трех расширенных понятий риска. 3. Пояснить понятие социальный риск. 4. Какими тремя фундаментальными свойствами обладает стационарный пуассоновский поток случайных событий 5. По какой логике формируются эрланговские потоки случайных событий и как по статистическим данным можно определить порядок эрланговского потока 6. Как соотносятся между собой среднее значение и дисперсия для времени между событиями пуассоновского потока 7. Записать и пояснить формулу Пуассона для случайного пуассоновского поля событий. 8. Записать в общем виде дифференциальное уравнение Колмогорова для вероятности произвольного состояния случайного процесса, заданного размеченным графом состояния. 9. В какие соотношения преобразуются дифференциальные уравнения Колмогорова при бесконечной продолжительности случайного беступикового процесса 10. Как развивается случайный процесс, если граф состояний имеет тупиковые состояния 11. Пояснить логику приведения размеченного графа состояний, содержащего эрланговские потоки случайных событий, к графу состояний с пуассоновскими потоками событий (введение «псевдосостояний»). 25 2. ИСТОЧНИКИ ИОНИЗИРУЮЩИХ ИЗЛУЧЕНИЙ И ДОЗИМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ИХ ПОЛЕЙ Начальные представления об ионизирующем излучении Достижение выше обозначенной цели данного занятия будет более результативным, если в процессе его проведения возникающие идеи решений предлагаемых заданий исполнитель будет умозрительно согласовывать с фундаментальными физическими закономерностями, присущими ионизирующим излучениям. Имея это ввиду, приведем предельно сжатое и, следовательно, упрощенное описание базовых основ физики ионизирующих излучений. Вещество окружающего мира состоит из атомов, размер которых имеет порядок 10 -8 см, и большая часть их массы сосредоточена в ядре, имеющем размер порядка 10 -13 см. Главными идентифицирующими признаками атома являются два параметра число Z количество протонов в ядре атома, оно же число электронов, вращающихся вокруг ядра) и массовое число – А (округленное до целого числа масса ядра, выраженная а.е.м., оно же – количество протонов и нейтронов в ядре атома. Атом с конкретными значениями Z и А именуется нуклидом. Если химическим символом некоторого атома является Х, то соответствующий нуклид принято обозначать так X A Z . Нуклиды, способные спонтанно излучать ионизирующие частицы, называются радионуклидами. Нуклиды с одинаковым значением Z, но разным числом А, называются изотопами. Нуклиды с одинаковым значением А называются изобарами. Нуклиды, имеющие одинаковое число нейтронов (или число А – Z), называются изотонами. Всего в настоящее время известно около 2000 радионуклидов, из которых около 300 находят применение в хозяйственной деятельности промышленности, сельском хозяйстве, медицине, биологии и т.д. Большинство радионуклидов являются искусственно полученными. Полный изотопно-изобарный (точнее, протонно-нейтронный) спектр известных в настоящее время нуклидов приведен на рис. 2.1, который, по существу, можно назвать построенной в шеренги таблицей Д.И. Менделеева. Цвет, в который окрашена клетка каждого нуклида, указывает на степень его стабильности. Например, в черный цвет окрашены клетки стабильных нуклидов, чем светлее цвет клетки нуклида, тем нестабильнее сам нуклид. Рис. 1.2.1. Изотопно-изобарный спектр известных в настоящее время нуклидов Превращения нуклидов сопровождаются испусканием элементарных частиц, которые обладают способностью ионизировать среду, через которую они проходят, а само явление самопроизвольного превращения нуклидов называется радиоактивностью Скорость распадов радиоактивных атомов принято характеризовать постоянной распада λ, а также периодом полураспада Т. Основные типы радиоактивных превращений нуклидов показаны на рис. 1.2.2. На рис. 1.2.3 в качестве примеров приведены схемы радиоактивных превращений а – простого (одноактного б – цепочного (многоактного), когда образующиеся нуклиды дочерние, в свою очередь, подвержены радиоактивным превращениям до такой стадии, пока очередной дочерний нуклид окажется стабильным. На риса ядро материнского радионуклида, распадаясь, испускает электрон и два фотона с указанной в скобках энергией и превращается в ядро стабильного нуклида (никеля. 27 испускание альфа-частицы испускание электрона РАДИО- испускание позитрона НУКЛИД испускание фотона Спонтанное деление ядер Рис. 1.2.2. Радиоактивные превращения нуклидов На рис. 1.2.3, б в результате ступенчатого распада ядро ра- дионуклида тория превращается в стабильное ядро нуклида свинца. На каждой ступени распада испускается либо электрон, либо α- частица, а также (как и на риса) фотоны. 60 60 27 1/2 28 1 2 Co ( 5,27 года МэВ МэВ+ β + γ + а 232 10 228 90 1/2 88 1/2 Th ( 1,4 10 лет ( 5,75 года 228 228 89 1/2 90 1/2 Ac ( 6,15 ч ( 1,9 года 224 220 88 1/2 86 1/2 Ra ( 3,36 сут ( 55,6 c) T T → = → = → 216 212 212 84 1/2 82 1/2 83 1/2 Po ( 0,145 c) Pb ( 10,6 ч ( 60 мин 7 84 1/2 208 81 1/2 Po (64%, 310 c) Tl (36%, 3,07 мин ⋅ = → 208 82 Pb (стабильный нуклид) → б Рис. 1.2.3. Схемы радиоактивных превращений Источниками ионизирующих частиц (ионизирующего излучения) могут быть не только радионуклидные препараты, но и специальные технические устройства, в которых создаются условия для 28 принудительного превращения ядер атомов. Простейшим примером такого рода может служить ядерная реакция 2 3 4 1 1 1 2 энергия Условием протекания этой реакции является высокая температура исходных компонентов реакции (большая скорость ядер при их соударении. Другим примером источника ионизирующих частиц может служить электронно-лучевая трубка осциллографа. Большое разнообразие ионизирующих излучений создается в процессах деления ядер тяжелых элементов – основы современной ядерной энергетики (рис. 1.2.4). Ионизирующая радиация (излучение) – особый вид энергии, которая образуется в результате различных превращений в атомах и сопровождается возникновением рентгеновских лучей, нейтронов, альфа, бета- и гамма-частиц. Рис. 1.2.4. Ионизирующее излучение Ионизирующее излучение не может быть обнаружено органами чувств человека, но его можно обнаружить и измерить техническими средствами – детекторами (дозиметрами на основе фотографических пленок. Главной количественной характеристикой ионизирующего излучения, которая определяет уровень его воздействия на биологические объекты и возможные последствия этого воздействия, является доза радиации – количество поглощенной энергии от этого излучения. Пространство, в котором присутствуют ионизирующие частицы, называется полем ионизирующего излучения. В процессе физических исследований и с целью оценки последствий взаимодействия ионизирующих излучений со средой всякое поле ионизирующих излучений может быть описано потоковыми и (или) дозовыми характеристиками (критериями. К первым можно отнести флюенс и плотность потока ионизирующих частиц (или энергии ионизирующего излучения. Дозовые критерии поля определяются по эффектам воздействия ионизирующего излучения на среду (поглощенная и экспозиционная дозы, керма) или на органы человека (эквивалентная доза в органе, или на человека (эффективная доза. Изложенные здесь начальные представления о физике ионизирующих излучений могут служить лишь маячками в процессе умозрительного поиска решений предлагаемых ниже заданий. Конечно, для выполнения этих заданий требуется еще и самостоятельная работа с теоретическим материалом соответствующих тем лекций и учебников. Примеры и задачи Активность одного грамма радионуклида 226 88 Ra принята за внесистемную единицу активности (кюри, она равна 3,7 ⋅ 10 10 Бк. Определить период полураспада указанного радионуклида, используя одну из двух справочных величин число Авогадро (6,02 ⋅ 10 23 (г ⋅ моль) или массу атомной единицы массы (1,66 ⋅ 10 -24 г. |