Е. Р. Байсалов, да. ЕлиусизовМатематические олимпиады

• Название: Е. Р. Байсалов, да. ЕлиусизовМатематические олимпиады
• Дата: 07.03.2023
• Размер: 2.18 Mb.
• Имя файла: 67778_cc52cacd3756a57b6cf807ed1a3bdeb3 2.pdf
• Тип: Книга; #973406
• страница: 23 из 25

Основная теорема арифметики. Каждое натуральное число n единственным образом представимо в виде p
𝑑
1 1
· p
𝑑
2 2
· . . . · где p
2
< . . . < p
𝑘
— простые числа и. . . , d
𝑘
— некоторые натуральные числа. Такое представление числа называется его каноническим разложением на простые сомножители.
Неравенства о средних. Для положительных чисел a
1
,
. . . , верны неравенства между средним гармоническим, геометрическим, арифметическими квадратическим:
n
1
a
1
+ . . . +
1
a
𝑛
¶
𝑛
pa
1
. . . a
𝑛
¶
a
1
+ . . . + a
𝑛
n
¶
s
a
2 1
+ . . . + Неравенство Коши — Буняковского. Пусть a
1
,
a
2
,
. . . , и. . . ,
b
𝑛
— два набора действительных чисел. Тогда выполнено следующее неравенство 1
+ a
2 2
+ . . . + a
2
𝑛
)(
b
2 1
+ b
2 2
+ . . . + b
2
𝑛
) ¾ (a
1
b
1
+ a
2
b
2
+ . . . + a
𝑛
b
𝑛
)
2
,
причём знак равенства будет иметь место тогда и только тогда, когда . . . =
a
𝑛
b
𝑛
Транснеравенство
1
. Пусть a
1
¾ a
2
¾ . . . ¾ и b
2
¾ . . . ¾ два набора действительных чисел. Тогда для любой произвольной перестановки) чисел (1, 2,
. . . , n) выполнены следующие неравенства. . .+a
𝑛
b
𝑛
¾a
1
b
𝑘
1
+a
2
b
𝑘
2
+. . .+a
𝑛
b
𝑘
𝑛
¾a
1
b
𝑛
+a
2
b
𝑛
−2
+. . .+a
𝑛
b
1 Название данного неравенства не зафиксировано в русской математической терминологии, часто его называют транснеравенством; в английской терминологии оно называется «Rearrangement inequality».

Справочные материалы
177
Неравенство Йенсена. Пусть y
= f (x) — функция, выпуклая на некотором интервале. . . , x
𝑛
— произвольные числа из этого интервала, а. . . ,
α
𝑛
— произвольные положительные числа, сумма которых равна единице. Тогда (
α
1
x
1
+ α
2
x
2
+ . . . + α
𝑛
x
𝑛
) ¶ α
1
f (x
1
)
+ . . . + α
𝑛
f Интерполяционная формула Лагранжа. Пусть многочлен P(x) имеет степень deg
P ¶ n и известны его значения в n + 1 точках y
1
,
P(x
2
)
= y
2
,
. . . ,
P(x
𝑛
+1
)
= Тогда 𝑖
(
x
− x
𝑗
)
Q
𝑗
6= 𝑖
(
x
𝑖
− Биномиальная формула (бином Ньютона. Для любых действительных чисел и b и натурального n верно равенство+ b)
𝑛
=
𝑛
X
𝑘
=0
C
𝑘
𝑛
a
𝑛
−𝑘
b
𝑘
= C
0
𝑛
a
𝑛
+ C
1
𝑛
a
𝑛
−1
b
+ . . . + C
𝑘
𝑛
a
𝑛
−𝑘
b
𝑘
+ . . . + Числа называются биномиальными коэффициентами.
Формула включения-исключения. Для множеств A
1
,
A
2
,
. . . , верна следующая формула A
2
∪ . . . ∪ A
𝑛
| = |A
1
| + |A
2
| + . . . + |A
𝑛
| − |A
1
∩ A
2
| − |A
2
∩ A
3
| − . . . −
− |A
𝑛
−1
∩ A
𝑛
| + |A
1
∩ A
2
∩ A
3
| + . . . + |A
𝑛
−2
∩ A
𝑛
−1
∩ A
𝑛
| − . . . −
− (−1)
𝑛
|A
1
∩ A
2
∩ . . . ∩ Малая теорема Ферма. Для целого числа a и простого числа p, взаимно простого с, всегда верно соотношение 1 (mod Теорема Эйлера. Если a и m взаимно просты, то 1 (mod где) — функция Эйлера. Функция Эйлера ϕ(m) определятся как количество чисел от 1 до, взаимно простых с m. (Можно заметить,
что малая теорема Ферма является частным случаем этой теоремы

Справочные материалы
Теорема (критерий) Вильсона. Число p является простым тогда и только тогда, когда (
p
− 1)! + 1
. Теорема Лиувилля. Для простых чисел p
> 5 уравнение 1)! + 1 = не имеет решений в натуральных числах
m.
Теорема Ферма — Эйлера. Любое простое число p вида p
= 4k + можно представить в виде суммы двух квадратов натуральных чисел,
причём единственным образом.
Китайская теорема об остатках. Пусть m
1
,
m
2
,
. . . , m
𝑛
— попарно взаимно простые натуральные числа. Также даны произвольные числа. Тогда существует целое число x, удовлетворяющее следующей системе сравнений a
1
(mod
m
1
),
x
≡ a
2
(mod
m
2
),
x
≡ a
𝑛
(mod
m
𝑛
),
причём такое число единственное в промежутке [0, m
1
m
2
. . . Уравнение Пелля. Это уравнение вида x
2
− Dy
2
= 1, где x, y, D ∈ Известно, что если число не является полным квадратом, то данное уравнение имеет бесконечно много решений в натуральных числах.
Символ Лежандра. Определение. Целое число a называют квадратичным вычетом по модулю p, если a
≡ b
2
(mod
p) для некоторого целого числа. В противном случае число a называют квадратичным
невычетом.
Для простого числа символ Лежандра
€
a
p
Š
определяется следующим образом если делится на если — квадратичный вычет, если a — квадратичный невычет.
Известные свойства a
(𝑝
−1)/2
(mod
p), где p — нечётное простое число) мультипликативность:
€
ab
p
Š = €
a
p
Š €
b
p
Š
;

Справочные материалы 3) если b (mod p), то = €
b
p
Š
;
4) квадратичный закон взаимности пусть и q — различные нечёт- ные простые числа, тогда €
q
p
Š = (−1)
𝑝
−1 2
·
𝑞
−1 2
;
5) если — нечётное простое число, то = (−1)
𝑝
2
−1 Симметричность точек касания вписанной и вневписанной окружностей. Пусть вписанная окружность треугольника ABC касается стороны в точке X , а вневписанная окружность, соответствующая вершине, касается стороны BC в точке Y. Тогда CX =
AC
+ BC − те. точки и Y симметричны относительно середины стороны Теорема Чевы. Пусть точки A
1
,
B
1
и
C
1
лежат соответственно на сто-
A
B
C
A
1
B
1
C
1
Рис. Рис. 51
ронах
BC, AC и AB треугольника ABC см. рис. Тогда отрезки
AA
1
,
BB
1
и
CC
1
пересекаются водной точке в томи только том случае, если Теорема Менелая. Пусть точки A
1
,
B
1
и
C
1
лежат соответственно на сторонах, AC и AB треугольника ABC или на их продолжениях (см. рис. Тогда
A
1
,
B
1
и
C
1
лежат на одной прямой в томи только том случае, если Прямая Эйлера. Центр описанной окружности, точка пересечения медиан (центр тяжести) и точка пересечения высот (ортоцентр) треугольника лежат на одной прямой — прямой Эйлера см. рис.
52
).
Формула Эйлера. Пусть R и r — радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника соответственно. Тогда расстояние между

Справочные материалы
Рис. центрами вписанной и описанной окружностей треугольника может быть определено по формуле R
2
− Лемма о трезубце. Пусть L — середина дуги BC не содержащей точку) описанной окружности треугольника ABC. Пусть I — центр вписанной окружности треугольника, а I
𝑎
— центр вневписанной окружности этого треугольника, касающейся стороны см. рис.
53
).
Тогда
LB
= LC = LI = Рис. Рис. Окружность девяти точек. Основания трёх высот произвольного треугольника, середины трёх его сторон и середины трёх отрезков,
соединяющих его вершины с ортоцентром, лежат все на одной окружности (см. рис.
54
).
Степень точки. Пусть даны окружность радиуса R с центром и точка на расстоянии d от O. Если секущая, проходящая через точку, пересекает окружность в точках A и B, то произведение XA
· не зависит от проведённой секущей и равно R
2
), где знак выбирается для точки вне, а знак «−» выбирается для точки X

Справочные материалы
181
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
O
A
B
X
Рис. Рис. Рис. внутри. Величина (d
2
− R
2
) называется степенью точки относительно окружности см. рис.
55
).
Радикальная ось. Пусть даны две неконцентрические окружности
ω
1
и
ω
2
. Множество точек, имеющих равные степени относительно
ω
1
и
ω
2
, является прямой, перпендикулярной линии центров, и называется радикальной осью окружностей
ω
1
и
ω
2
(см. рис.
56
).
Радикальный центр трёх окружностей. Пусть на плоскости даны три неконцентрические окружности. Тогда все радикальные оси для каждой пары окружностей пересекаются водной точке или параллельны (см. рис.
57
).
Окружность Аполлония. Даны точки A, B и такое положительное число, что λ 6= 1. Тогда геометрическим местом точек M, для которых, является окружность (окружность Аполлония)
с центром на прямой см. рис.
58
).
A
A
B
M
Рис. Теорема Птолемея. Вокруг выпуклого четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда произведение его диагоналей равно сумме произведений его противоположных сторон.
Теорема Фейербаха. Окружность девяти точек произвольного треугольника касается вписанной и всех трёх вневписанных окружно-

Справочные материалы
Рис. 59
стей этого треугольника. Точки касания вписанной и трёх вневписан- ных окружностей с окружностью девяти точек называются точками
Фейербаха см. рис

Результаты казахстанских участников
Результаты АТМО 2003
Участник
Класс
Школа, регион
1
2
3
4
5
X
Ургуншбаев Бауржан
11
КТЛ, г. Актобе
7 7
6 7
6 33
Бектемиров Бауржан
11
КТЛ, г. Актобе
7 7
7 7
3 31
Сарин Азамат
10
КТЛ, г. Актобе
7 7
1 7
0 22
Есенов Куат
10
Лицей № 8, г. Павлодар 7
5 0
2 21
Келбетов Данияр
9
КТЛ, г. Актобе
7 5
1 7
0 20
Джалилов Азат
10
РФМШ
7 7
3 2
0 19
Аужани Даурен
11
РФМШ
7 7
4 0
0 18
Укпегазиев Азамат
10
КТЛ, г. Актобе
7 3
1 7
0 18
Елиусизов Дамир
10
РФМШ
7 7
4 0
0 18
Хасанов Канат
11
РФМШ
7 7
4 0
0 18
Калиаждаров Данабек
10
РФМШ
7 7
4 0
0 18
Тугелов Марат
10
КТЛ, г. Актобе
7 2
1 7
0 17
Усеркулов Рауан
10
РФМШ
7 5
4 0
0 16
Макишев Нуржас
10
РФМШ
7 7
2 0
0 Волков Иван
10
РФМШ
7 7
1 0
0 15
Султамуратов Радмир
9
КТЛ, г. Актобе
7 0
1 7
0 15
Мулдашев Руслан
9
КТЛ, г. Актобе
7 0
1 7
0 15
Сагимбеков Мади
11
КТЛ, г. Тараз
0 7
0 7
0 14

Результаты казахстанских участников АТМО
Результаты АТМО 2004
Участник
Класс
Школа, регион
1
2
3
4
5
X
Елиусизов Дамир
11
РФМШ
7 7
0 7
7 28
Джалилов Азат
11
РФМШ
7 7
7 7
0 28
Васильев Антон
11
УВК Лицей, ВКО
7 7
0 7
7 28
Есенов Куат
11
Лицей № 8, г. Павлодар 7
6 7
0 26
Макишев Нуржас
11
РФМШ
6 7
2 7
1 23
Ким Андрей
9
Лицей № 20, г. Талдыкорган
7 6
1 7
0 21
Самарханов Омархан
10
РФМШ
7 5
0 7
0 Малинников Владимир
10
РФМШ
7 4
0 7
0 18
Иманкулов Тимур
10
РФМШ
2 4
0 7
1 14
Баймбетов Ержан
10
РФМШ
0 4
0 7
2 13
Полянских Сергей
10
Лицей № 20, г. Талдыкорган
0 5
0 7
0 12
Тугелов Марат
11
КТЛ, г. Актобе
3 7
0 1
1 12
Кельбетов Данияр
10
КТЛ, г. Актобе
0 7
0 5
0 12

Результаты казахстанских участников АТМО
185
Результаты АТМО 2005
Участник
Класс
Школа, регион
1
2
3
4
5
X
Ким Андрей
10
Лицей № 20, г. Талдыкорган
7 0
2 4
7 20
Жубаев Кайрат
11
Лицей № 8, г. Павлодар 0
0 0
7 14
Дуйсенбаев Нурбол
10
РФМШ
7 0
0 0
7 14
Абишев Максат
11
г. Шымкент
7 0
0 0
7 14
Баимбетов Ержан
11
РФМШ
7 7
0 0
0 14
Ержанов Куандык
11
Лицей № 8, г. Павлодар 0
7 0
0 14
Унбаев Рашид
11
КТЛ, г. Актобе
7 7
0 0
0 14
Келбетов Данияр
11
КТЛ, г. Актобе
4 0
0 0
7 Баев Ален
9
РФМШ
3 0
1 0
7 Пак Алексей
10
Лицей № 20, г. Талдыкорган
7 0
0 0
3 10
Полянских Сергей
11
Лицей № 20, г. Талдыкорган
7 0
0 0
3 10
Самарханов Омархан
11
РФМШ
3 7
0 0
0 10
Жангузин Даулет
10
Лицей № 10, г. Павлодар 0
0 3
0 10
Аянбаев Биржан
10
ВКО
7 0
0 0
1 8
Гусева Анна
11
г. Караганды 7
0 1
0 8

Результаты казахстанских участников АТМО