Е. Р. Байсалов, да. ЕлиусизовМатематические олимпиады
 Скачать 2.18 Mb.
|
|
математической олимпиады 14-я олимпиада, 2002 год Задача 1 . Даны неотрицательные целые числа a 1 , a 2 , . . . , a 𝑛 . Пусть+ a 2 + . . . + где [ x] — целая часть числа x. Докажите, что a 1 ! a 2 ! . . . a 𝑛 ! ¾ (a!) 𝑛 . При каких. . . , выполняется равенство? Задача 2 . Найдите все такие пары натуральных чисел a и b, что+ b b 2 − и+ a a 2 − b — целые числа. Задача 3 . На сторонах AC и AB равностороннего треугольника взяты точки и Q соответственно так, что углы APB и CQA острые. Пусть R — точка пересечения высот треугольника ABP, S — точка пересечения высот треугольника. Отрезки BP и CQ пересекаются в точке . Известно, что TR = RS = ST. Найдите всевозможные значения углов и Задача. Пусть x, y, z > 0 и 1. Докажите, что p x + yz + py + zx + pz + yx Задача. Найдите все такие функции f : R → R, что (x) = 0 лишь для конечного числа значений x возможно (x) 6= 0 для всех x); (ii) f (x 4 + y) = x 3 f (x) + f ( f я олимпиада, 2003 год Задача 1 . Пусть a, b, c, d, e, f — такие действительные числа, что многочлен x 8 − 4x 7 + 7x 6 + ax 5 + bx 4 + cx 3 + dx 2 + ex + разлагается на восемь линейных сомножителей x 𝑖 , где 0 при всех 1, 2, . . . , 8. Найдите всевозможные значения числа f . Условия задач АТМО Задача. Пусть ABCD — квадратный кусок картонной бумаги со стороной. На плоскости лежат две прямые ` 1 и ` 2 , расстояние между которыми также равно. Квадрат ABCD расположили на плоскости таким образом, что ` 1 пересекает стороны ив точках E и соответственно, а ` 2 пересекает стороны ив точках G и соответственно. Пусть периметры треугольников и CGH равны m 1 и m 2 соответственно. Докажите, что при любом расположении квадрата сумма+ m 2 остаётся постоянной. Задача 3 . Пусть k ¾ 14 — натуральное число и p 𝑘 — наибольшее простое число, которое в точности меньше. Известно, что p 𝑘 ¾ Пусть является составным числом. Докажите, что (а) если 2p 𝑘 , тоне делится наб) если 2p 𝑘 , то ( n − k)! делится на Задача. Пусть a, b, c — длины сторон треугольника, a + b + c = и пусть ¾ 2 — натуральное число. Докажите, что+ b 𝑛 + 𝑛 p b 𝑛 + c 𝑛 + 𝑛 p c 𝑛 + a 𝑛 < 1 + 𝑛 p 2 Задача. Даны два натуральных числа m и n. Найдите наименьшее такое натуральное число, что среди любых k людей либо найдутся людей, которые образуют m взаимно знакомых пар, либо найдутся людей, которые образуют n взаимно незнакомых паря олимпиада, 2004 год Задача 1 . Определите все конечные непустые множества S натуральных чисел, для которых+ j ( i, является элементом множества для всех чисел и j из Задача. Пусть O — центр описанной окружности и H — точка пересечения высот остроугольного треугольника. Докажите, что площадь одного из треугольников, BOH и COH равна сумме площадей остальных двух. Задача 3 . Пусть дано множество S, состоящее из 2004 точек плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Через L обозначим множество прямых, проходящих через все пары точек множества. Докажите, что точки множества S возможно покрасить не более чем в два цвета так, чтобы для любых точек и q множества количество прямых из L, разделяющих p и q, было нечётным тогда и только тогда, когда и q имеют одинаковый цвет Условия задач АТМО 2005 Замечание. Прямая разделяет две точки p и q, если p и q лежат в разных полуплоскостях, на которые делит плоскость, и ни одна из них не лежит на `. Задача 4 . Обозначим через [x] наибольшее целое число, которое не превосходит действительного числа. Докажите, что число h ( n − 1)! n(n + 1) i является чётным при любом натуральном n. Задача 5 . Докажите, что+ 2)(b 2 + 2)(c 2 + 2) ¾ 9(ab + bc + для любых действительных чисел, b, c > я олимпиада, 2005 год Задача 1 . Докажите, что для каждого действительного иррационального числа найдутся такие действительные иррациональные числа и b 0 , что+ b и будут рациональными, аи+ будут иррациональными числами. Задача 2 . Пусть a, b и c — такие положительные действительные числа, что 8. Докажите, что+ a 3 )(1 + b 3 ) + b 2 p (1 + b 3 )(1 + c 3 ) + c 2 p (1 + c 3 )(1 + a 3 ) ¾ 4 Задача. Докажите, что существует треугольник, который можно разрезать на 2005 равных треугольников. Задача 4 . В маленьком городке имеется домов, индексированных парами чисел ( i, j) для 1 ¶ i, j ¶ n. Дома с индексами (i, j), (k, l) на- зовём соседними, если − k| + | j − l| = 1. В момент времени 0 в доме с индексом (1, c), где c ¶ n/2, начался пожар. В течение каждого последующего интервала времени [ t, t + 1] пожарные ставят систему защиты от пожара одному дому, до которого огонь ещё не добрался, в то время как пожар распространяется на все незащищённые дома, каждый из которых соседствуют с некоторым домом, охваченным пожаром в момент времени. Дом, где установлена система защиты от пожара, далее никогда не горит. Процесс завершается, когда распространение пожара становится невозможным. Какое максимальное число домов могут спасти пожарные Условия задач АТМО Замечание. Можно считать, что городок имеет форму таблицы размера n, где дома суть единичные клетки, (1, 1) — индекс дома, стоящего в левом верхнем углу и j указывают соответственно строку и столбец дома с индексом ( i, Задача. На сторонах AB и AC треугольника ABC выбраны соответственно точки итак, что MB = BC = CN. Обозначим через и соответственно радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника. Выразите отношение MN : BC через R и я олимпиада, 2006 год Задача 1 . Пусть n — натуральное число. Найдите наибольшее неотрицательное действительное число (n) (которое зависит от n), удовлетворяющее следующему условию если+ a 2 + . . . + является целым числом для действительных чисел. . . , a 𝑛 , то существует такое, что 2 ¾ f Задача. Докажите, что любое натуральное число можно представить в виде конечной суммы различных целых степеней золотого сечения = (1+ p 5) /2. Под целой степенью золотого сечения τ понимается число вида, где — целое (необязательно положительное) число. Задача 3 . Пусть p ¾ 5 — простое число, и пусть r — число всевозможных различных способов размещения шашек на шахматной доске размера p таким образом, что не все шашки лежат на одной строке (но все они могут находиться водном столбце. Докажите, что r делится на p 5 . Здесь мы полагаем, что все шашки идентичны. Задача 4 . Пусть различные точки A и B лежат на окружности O и точка является серединой отрезка AB. Окружность касается прямой в точке P и касается окружности O. Прямая — касательная к окружности, проходящая через точку и отличная от прямой. Пусть C — точка пересечения прямой и окружности O, отличная от точки. Пусть Q — середина отрезка BC, а окружность касается прямой в точке Q и касается отрезка AC. Докажите, что окружность O 2 касается окружности O. Задача 5 . В цирке есть n клоунов, которые выбирают цвета для одежды и грима из 12 различных имеющихся цветов. При этом каж- Условия задач АТМО 2007 дому клоуну необходимо использовать не менее 5 различных цветов. Однажды директор цирка потребовал, чтобы никакие два клоуна не использовали одинаковый набор цветов и никакие более чем клоунов не могли использовать любой из цветов одновременно. Найдите наибольшее из возможных значений числа клоунов, при которых требование директора было бы выполнимо. 19-я олимпиада, 2007 год Задача 1 . Пусть S — множество из девяти различных целых чисел, значения простых делителей которых не превосходят 3. Докажите, что S содержит три различных целых числа, произведение которых является точным кубом. Задача 2 . Пусть треугольник ABC остроугольный, ∠BAC = и AC. Пусть I — центр вписанной окружности, а H — точка пересечения высот треугольника. Докажите, что 2∠AHI = Задача. Рассмотрим n кругов C 1 , C 2 , . . . , на плоскости, для которых при любом, 1 ¶ i < n, центр круга лежит на окружности круга, а центр круга C 𝑛 лежит на окружности круга. Назовём весом такой расстановки n кругов число пар (i, j), для которых круг собственным образом содержит круг. Найдите максимально возможное значение такого веса (функцию, зависящую от аргумента n). Задача 4 . Пусть x, y и z — такие положительные действительные числа, что p x + p y + p z = Докажите, что+ yz p2x 2 ( y + z) + y 2 + zx p2 y 2 ( z + x) + z 2 + xy p2z 2 ( x + y) ¾ Задача. Правильный массив фонарей размера 5 × 5 после повреждения стал работать следующим образом при переключении выключателя одного из фонарей соседние фонари и сам переключаемый фонарь меняют своё состояние из включённого в выключенный, а из выключенного — во включённый (соседними считаются ближайшие фонари, стоящие водной строке или столбце. Первоначально все фонари выключены. После определённого количества переключений в точности один фонарь остался включённым. Найдите всевозможные позиции данного фонаря Условия задач АТМО я олимпиада, 2008 год Задача 1 . Пусть дан треугольник ABC, в котором ∠A < 60 ◦ . Пусть X и Y — такие точки на сторонах AB и AC соответственно, что+ AX = CB + BX и BA + AY = BC + CY Пусть — такая точка на плоскости, что прямые PX и PY перпендикулярны прямыми соответственно. Докажите, что ∠BPC < Задача. Ученики в классе формируют группы, в каждой из которых ровно три ученика, таким образом, что любые две различные группы имеют не более одного общего ученика. Докажите, что если в классе учеников, то найдётся множество из 10 учащихся, в котором ни одна группа строго не содержится. Задача 3 . Пусть — окружность, описанная около треугольника Окружность, проходящая через точки и C, пересекает стороны ив точках D и E соответственно. Прямые AD и CE пересекают Γ во второй разв точках и H соответственно. Касательные к окружности в точках A и C пересекаются с прямой DE в точках L и соответственно. Докажите, что точка пересечения прямых и лежит на окружности Задача. Рассмотрим функцию f : N 0 → N 0 , где N 0 — множество неотрицательных целых чисел, которая определяется следующими условиями (0) = 0; (ii) f (2n) = 2 f (n); (iii) f (2n + 1) = n + 2 f (n) для всех n ¾ а) Определите такие три множества, E, G, что {n| f (n) < f (n + 1)}, E = {n| f (n) = f (n + 1)}, G = {n| f (n) > f (n + б) Для каждого ¾0 положим a 𝑘 =max{ f (n): 0¶n¶2 𝑘 }. Найдите общую формулу, выражающую a 𝑘 через k. Задача 5 . Пусть a, b и c — такие целые числа, что 0 𝑘 (0 ¶ r 𝑘 < c) остаток отделения на c. Докажите, что два множества. . . , и, 1, 2, . . . , a} различны Условия задач АТМО 2009 я олимпиада, 2009 год Задача 1 . Рассмотрим следующую операцию на положительных действительных числах, написанных на доске с доски стирается произвольное число, например, а вместо него пишется пара положительных чисел и b, удовлетворяющих условию 2r 2 = Предположим, что вначале на доске было написано одно положительное действительное число и после этого указанная операция применялась 1 раз. Докажите, что среди полученных положительных действительных (необязательно разных) чисел найдётся число, которое не превосходит kr. Задача 2 . Пусть a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 — действительные числа, удовлетворяющие следующим равенствам+ 1 + a 2 k 2 + 2 + a 3 k 2 + 3 + a 4 k 2 + 4 + a 5 k 2 + при 1, 2, 3, 4, Найдите значение выражения 37 + a 2 38 + a 3 39 + a 4 40 + a 5 Представьте ответ в виде обыкновенной дроби. Задача 3 . Пусть на плоскости находятся три взаимно непересекаю- щиеся окружности, ни одна из которых не лежит внутри никакой другой. Для каждой точки плоскости, расположенной вне данных окружностей, построим шесть точек A 1 , B 1 , A 2 , B 2 , A 3 , B 3 по следующему правилу при всех 1, 2, 3 точки A 𝑖 , B 𝑖 — такие различные точки окружности, что прямые и касаются окружности. Назовём точку исключительной, если соответствующие ей прямые A 1 B 1 , A 2 B 2 и A 3 B 3 пересекаются водной точке. Докажите, что все исключительные точки плоскости, если таковые существуют, расположены на одной окружности. Задача 4 . Докажите, что для любого натурального числа k существует арифметическая прогрессия. . . , рациональных чисел, где взаимно простые натуральные числа при всех 1, 2, . . . , k и все числа a 1 , b 1 , a 2 , b 2 , . . . , попарно различны. Задача 5 . Ларри и Роб — два робота, которые едут водном автомобиле из Арговы в Зилис. Роботы управляют автомобилем последующему алгоритму Ларри поворачивает налево на каждые километров начиная от старта а Роб поворачивает направо на каждые километров начиная от старта, причём ` и r — взаимно простые Условия задач АТМО натуральные числа. В случае, когда оба робота должны одновременно повернуть машину, автомобиль двигается без изменения направления. Предполагается, что поверхность плоская и неограниченная. Пусть автомобиль стартует из Арговы в направлении к Зилису. При каких парах ( `, r) автомобиль гарантированно доедет до Зилиса независимо от расстояния между этими городами? 22-я олимпиада, 2010 год Задача 1 . Дан треугольник ABC, в котором ∠BAC 6= 90 ◦ . Пусть центр описанной окружности треугольника, и пусть — описанная окружность треугольника. Предположим, что пересекает отрезок в точке P, отличной от B, а отрезок AC — в точке отличной от. Пусть ON — диаметр окружности . Докажите, что четырёхугольник APNQ — параллелограмм. Задача 2 . Для натурального числа k назовём целое число точной k-й степенью, если оно может быть представлено в виде для некоторого целого числа. Докажите, что для любого натурального числа найдутся таких различных натуральных чисел, что их сумма является точной й степенью, а их произведение — точной й степенью. (Напоминаем, что 0 не является натуральным числом.) Задача 3 . В олимпиаде участвуют n школьников (n — натуральное число. Любые два участника либо знакомы друг с другом, либо незнакомы. Каково наибольшее возможное количество пар участников, которые незнакомы друг с другом, но имеют общего знакомого среди других участников олимпиады? Задача 4 . Дан остроугольный треугольник ABC, в котором AB > BC и BC. Обозначим через O и H центр описанной окружности и точку пересечения высот треугольника соответственно. Предположим, что описанная окружность треугольника пересекает прямую в точке, отличной от A, а описанная окружность треугольника пересекает прямую в точке N, также отличной от A. Докажите, что центр описанной окружности треугольника лежит на прямой Задача. Пусть R — множество действительных чисел. Определите все функции : R → R, которые для любых x, y, z ∈ R удовлетворяют тождеству ( f (x) + f (y) + f (z)) = f ( f (x) − f (y)) + f (2xy + f (z)) + 2 f (xz − yz). Условия задач АТМО 2012 я олимпиада, 2011 год |