Е. Р. Байсалов, да. ЕлиусизовМатематические олимпиады
 Скачать 2.18 Mb.
|
|
. Найдите все функции f : R → R, удовлетворяющие условию+ y)( f (x) − f (y)) = (x − y) f (x + при всех действительных и y. Условия задач МОШП 2005 Задача. Найдите все простые числа p, для которых существуют целые числа и n, удовлетворяющие условиям p =m 2 +n 2 и p |m 3 +n 3 −4. Задача 3 . Вписанная окружность треугольника ABC с центром в точке касается сторон AB ив точках P и Q соответственно. Прямые и CI пересекают прямую PQ в точках K и L соответственно. Докажите, что описанная окружность треугольника касается вписанной окружности треугольника тогда и только тогда, когда+ AC = Задача. Пусть дано натуральное число n ¾ 2. Группа людей называется, если для любого человека из группы можно найти отличных от него людей, знакомых друг с другом. Найдите максимально возможное значение, для которого любая компактная группа из людей содержит подгруппу из+ 1 людей, знакомых друг с другом. 4-я олимпиада, 2005 год Задача 1 . Пусть дано натуральное число n ¾ 2. Докажите, что+ 2 𝑛 −1 + . . . + (n − 1) 𝑛 −1 ) + 1 делится на тогда и только тогда, когда для каждого простого делителя числа n n p − делится на и делится на Задача. Найдите все пары натуральных чисел (m, n), при которых возможно раскрасить каждую клетку клетчатой доски размера в белый или чёрный цвета так, чтобы для любой клетки доски количество соседних клеток одинакового цвета с ней было нечётным. Две клетки называются соседними, если они различны и имеют хотя бы одну общую вершину. Задача 3 . На прямой взяты точки A, B итак, что B лежит между и. Пусть и две такие параллельные прямые, что A 0 и B 0 лежат по одну сторону от прямой, а точки и не лежат на одной прямой. Обозначим через O 1 центр описанной окружности треугольника, а через O 2 — центр описанной окружности треугольника. Определите всевозможные значения угла CAA 0 , если площади треугольников A 0 CB 0 и O 1 CO 2 равны. Задача 4 . Пусть бесконечная последовательность a(1), a(2), . . . определена следующим образом a(2) = 1 и a(n) = a(a(n − 1)) + + a(n − a(n − 1)) при n¾3. Докажите, что a(2n)¶2a(n) при всех n¾1. Условия задач МОШП я олимпиада, 2006 год Задача 1 (К. Жубаев). Найдите все функции f : R → R, удовлетворяющие равенству (x 2 + xy + f (y)) = ( f (x)) 2 + x f (y) + для всех, y ∈ R. Задача 2 (К. Жубаев). Докажите неравенство 3 2 + a + b + c для положительных действительных чисел, b и c, удовлетворяющих условию 1. Задача 3 (Е. Байсалов). Пусть p — простое число вида 12n + 11. Подмножество множества M = {1, 2, . . . , p − 1} называется существенным, если произведение Π 𝑠 всех элементов подмножества не меньше, чем произведение Π 𝑠 остальных элементов множества. При этом разность называется отклонением подмножества. Определите наименьший возможный остаток при делении на отклонения существенного подмножества, содержащего ( p − 1)/2 элементов. Задача 4 (Е. Байсалов). На плоскости дано семейство L, состоящее из 2006 прямых общего положения, те не содержит параллельных прямых и никакие три различные прямые из не пересекаются водной точке. Прямая L ограничивает другую прямую l 2 ∈ L, если все точки пересечения прямой l 2 с остальными прямыми из семейства L лежат по одну сторону от прямой. Докажите, что в семействе L найдутся две такие прямые и l 0 , что одновременно выполняются два условия) прямая ограничивает прямую l 0 ; 2) прямая l 0 не ограничивает прямую l. 6-я олимпиада, 2007 год Задача 1 (Е. Байсалов). На доске написаны числа 2, 3, 5, . . . , те. все простые числа из отрезка [2; 2007]. Операцией упрощения называется замена двух чисел и b на максимальное простое число, не превосходящее p a 2 − ab + b 2 . Сначала школьник стирает число q < 2003, потом применяет к оставшимся числам операцию упрощения, до тех пор пока не остаётся одно число. Найдите максимально Условия задач МОШП 2008 возможное и минимально возможное значения числа, полученного в итоге. Как зависят эти значения от числа q? Задача 2 (Д. Елиусизов). Пусть вписанная окружность треугольника касается стороны BC в точке K. Проведём окружность, проходящую через точки и C, и касающуюся в точке S внутренним образом. Докажите, что прямая проходит через центр вневписан- ной окружности треугольника, касающейся стороны BC. Задача 3 (Д. Елиусизов). Найдите максимальное значение вещественного числа, при котором для любых положительных вещественных чисел, b, и c выполняется неравенство+ b 3 + c 3 − 3abc ¾ M(|a − b| 3 + |b − c| 3 + |c − a| 3 ). Задача 4 (Е. Байсалов). Множество многочленов f 1 , f 2 , . . . , с вещественными коэффициентами называется особым, если для любых различных, j, k ∈ {1, 2, . . . , n} многочлен 3 f 𝑖 + f 𝑗 + не имеет вещественных корней, но для любых различных, q, r, s ∈ {1, 2, . . . , у многочлена+ f 𝑞 + f 𝑟 + существует вещественный корень) Приведите пример особого множества из четырёх многочленов, сумма которых не является нулевым многочленом) Существует ли особое множество из пяти многочленов? 7-я олимпиада, 2008 год Задача 1 (А. Васильев). Пусть натуральные числа a, b, c, d таковы, что d делит a 2𝑏 + c и d ¾ a + c. Докажите, что d ¾ a + 2𝑏 p a. Задача 2 (Д. Елиусизов). В треугольнике ABC точки A 0 , B 0 и C 0 — середины сторон, CA и AB соответственно, а точки A 1 , B 1 и C 1 — середины (по длине) ломаных, CBA и BCA соответственно. Докажите, что прямые A 0 A 1 , B 0 B 1 и C 0 C 1 пересекаются водной точке. Задача 3 (Е. Байсалов). Дан (неориентированный) граф (без петель) с 2 n вершинами и с 2n(n − 1) рёбрами, n > 1. Докажите, что некоторые вершины и рёбра этого графа можно покрасить в красный цвет так, чтобы каждое красное ребро соединяло красные вершины и из каждой красной вершины исходило ровно красных рёбер. Задача 4 (Д. Елиусизов). Определите все такие многочлены P(x) с действительными коэффициентами, что для любого рационального r уравнение P(x) = r имеет рациональное решение Условия задач МОШП я олимпиада, 2009 год Задача 1 (Д. Елиусизов). Докажите, что для положительных действительных чисел, b и c, для которых abc ¶ 1, выполнено неравенство 1 + 6 a + b + c Задача 2 (А. Жолдасов). В треугольнике ABC биссектрисы внутренних углов и C пересекают стороны BC ив точках A 1 и C 1 соответ- ственно, а описанную окружность треугольника в точках A 2 и C 2 соответственно. Пусть — точка пересечения прямых A 1 C 2 и C 1 A 2 , а I — центр вписанной окружности треугольника ABC. Докажите, что прямая проходит через середину отрезка AC. Задача 3 (Е. Байсалов). Турист, решивший посетить Компландию, обнаружил, что) в этой стране 1024 города, пронумерованные целыми числами от 0 до 1023; 2) два города с номерами и n соединены прямой дорогой тогда и только тогда, когда двоичные записи чисел и n отличаются ровно водном разряде) в период пребывания туриста в этой стране 8 дорог будут закрыты на плановый ремонт. Докажите, что турист может составить замкнутый маршрут по действующим дорогам Компландии, проходящий через каждый её город ровно по одному разу. Замечание. Если двоичные записи чисел разной длины, то сравниваем их длины добавлением нулей в начало меньшего из них. Задача 4 (Е. Байсалов, Д. Елиусизов). Докажите, что для любого простого числа существуют бесконечно много четвёрок (x, y, z, t) попарно различных натуральных чисел, что число+ pt 2 )( y 2 + pt 2 )( z 2 + является полным квадратом. 9-я олимпиада, 2010 год Задача 1 (А. Васильев). В выпуклом четырёхугольнике ABCD известно, что ∠ADB + ∠ACB = ∠CAB + ∠DBA = и BC. Докажите, что из отрезков, CA и DC можно составить прямоугольный треугольник Условия задач МОШП 2011 33 Задача 2 (Е. Байсалов). Обозначим N = 2010! + 1. Докажите, что а не делится наб не делится на 2027, 2029, в имеет простой делитель, больший 2050. Задача 3 (Ш. Исмаилов). Для положительных действительных чисел, b, c, d, удовлетворяющих условиями докажите неравенство a p 1 − d 2 + b 2 p 1 + d 2 ¶ ( a + b)c 2 Задача 4 (Е. Байсалов). В странах Шёлкового пути имеется конечное число городов, и некоторые пары из них соединены односторонними дорогами (между одной и той же парой городов может проходить несколько дорог, причём они могут иметь противоположные направления. Известно, что любые два пути по этим дорогам от города A до города используют общую дорогу. Докажите, что некоторая дорога является общей частью для всех путей от доя олимпиада, 2011 год Задача 1 (Е. Байсалов). Определите наименьшее возможное значение, где A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , A 5 — множества, одновременно удовлетворяющие следующим условиям A 𝑗 | = 1 для всех i, j, 1 ¶ i < j ¶ 5, те. любые два различных множества содержат ровно один общий элемент A 𝑗 ∩ A 𝑘 ∩ A 𝑙 = ∅ для всех j, j, k, l, 1 ¶ i < j < k < l ¶ 5, т. е. любые четыре различных множества не содержат общего элемента. Здесь |S| означает количество элементов множества S. Задача 2 (М. Кунгожин). Дан равнобедренный треугольник ABC с тупым углом. Точка K взята на продолжении стороны AC заточку так, что ∠KBC = ∠ABC. Обозначим через S точку пересечения биссектрис углов и ACB. Прямые AB и KS пересекаются в точке прямые ив точке M. Докажите, что прямая KM проходит через середину отрезка BC. Задача 3 (О. Иброгимов). Определите такое наименьшее действительное число, что неравенство+ b) 2 + 1 ( b + c) 2 + 1 ( c + a) 2 ( a − bc)(b − ca)(c − ab) ¶ выполнено для всех положительных действительных чисел, b и удовлетворяющих равенству+ b + c = 1. Условия задач МОШП 2013 Задача 4 (Е. Байсалов). Докажите, что существует бесконечно много простых чисел, представимых в виде+ mn + для некоторых целых чисел, я олимпиада, 2012 год Задача 1 (А. Васильев). Трапеция ABCD, где BC k AD, вписана в окружность середина дуги AD этой окружности, не содержащей точку. Пусть F — основание перпендикуляра, опущенного из E напрямую, касающуюся окружности в точке. Докажите, что BC = 2CF. Задача 2 (Д. Елиусизов). В каждую клетку таблицы 4 × 4, в которой строки помечены числами 1, 2, 3, 4, а столбцы — буквами, b, c, записано одно из чисел 0 или 1. Такая таблица называется допустимой, если в каждой её строке ив каждом столбце стоят ровно по две единицы. Определите количество допустимых таблиц. Задача 3 (А. Джумадильдаев). Пусть n — натуральное число, большее. Определите наибольший общий делитель множества чисел 2𝑛 : 0 ¶ i ¶ n − 1}, те. наибольшее целое положительное число, делящее C 2𝑖 +1 без остатка для каждого 0, 1, . . . , n − 1. (Здесь C 𝑙 𝑚 = = m! l! · (m − l)! — биномиальный коэффициент.) Задача 4 (А. Васильев). Докажите, что для любого целого положительного среднее арифметическое чисел. . . , 𝑛 p n лежит на отрезке [1, 1 + я олимпиада, 2013 год Задача 1 (Д. Елиусизов). Определите все пары натуральных чисел, n, удовлетворяющих равенству (2 𝑚 + 1, 2 𝑛 + 1) = 2 (𝑚,𝑛) + 1. Здесь, b) — это наибольший общий делитель чисел a и b. Задача 2 (М. Кунгожин). Окружность с центром I, вписанная в треугольник, касается сторон BC ив точках A 1 и B 1 соответ- ственно. На продолжениях отрезков и B 1 I заточку соответственно взяты такие точки A 2 и B 2 , что IB 2 = R, где R — радиус описанной окружности треугольника. Докажите, что а BB 2 = OI, где O — центр описанной окружности треугольника б) прямые AA 2 и BB 2 пересекаются на описанной окружности треугольника Условия задач МОШП 2015 35 Задача 3 (К. Сатылханов). Пусть N — множество натуральных чисел. Определите все такие неубывающие функции : N → N, что для любых натуральных чисел, n выполнено равенство ( f (m) f (n) + m) = f (m f (n)) + f (m). Задача 4 (К. Сатылханов). В фильме есть n ролей. Для каждого i (1 ¶ i ¶ n) роль номер i могут сыграть человек, причём один человек может играть только одну роль. Ежедневно проводится кастинг, в котором участвуют люди из ролей, причём от каждой роли только один человек. Пусть — такое простое число, что p ¾ a 1 , . . . , a 𝑛 , n. Докажите, что можно провести p 𝑘 таких кастингов, что если взять любых человек, которые снимаются в разных ролях, то они вместе участвовали в каком-то кастинге ( k — натуральное число, не превосходящее я олимпиада, 2014 год Задача 1 (С. Ильясов). Какое наибольшее число монет можно расставить в клетках таблицы n в каждой клетке таблицы может находиться не более одной монеты) так, чтобы любая монета не находилась одновременно ниже и правее, чем любая другая? Задача 2 (М. Кунгожин). Касательные в точках A и B к окружности ω, описанной около остроугольного неравнобедренного треугольника, пересекаются в точке S. Пусть M — середина стороны AB, а H точка пересечения высот треугольника. Прямая HA пересекает прямые ив точках M 𝑎 и S 𝑎 соответственно. Аналогично определены точки M 𝑏 и S 𝑏 . Докажите, что M 𝑎 S 𝑏 и M 𝑏 S 𝑎 — высоты треугольника M 𝑎 M 𝑏 H. Задача 3 (А. Мирзахмедов). Для неотрицательных чисел a, b ивы- полнено равенство. Докажите, что a 3 b +b 3 c +c 3 a¶3. Задача 4 (К. Сатылханов). Пусть N — множество натуральных чисел. Определите такие все функции : N → N, что для любых натуральных чисел и n выполнены неравенства (mn) ¾ f (m 2 + n 2 ) − f (m) 2 − f (n) 2 ¾ 2 f (m) f я олимпиада, 2015 год Задача 1 (К. Сатылханов). Докажите, что не существует таких положительных действительных чисел, b, c, d, что одновременно выпол- Условия задач МОШП 2016 нены равенства 6 и 32. Задача 2 (К. Сатылханов). Пусть и {b 𝑛 } (n ¾ 1) — две бесконечные арифметические прогрессии, у каждой из которых первый член и разность — взаимно простые натуральные числа. Известно, что для любого натурального хотя бы одно из чисел+ a 2 𝑛 +1 )( b 2 𝑛 + или+ b 2 𝑛 )( a 2 𝑛 +1 + является точным квадратом. Докажите, что для любого натурального. Байсалов). Пусть B 𝑛 — множество всех последовательностей длины, состоящих из нулей и единиц. Для каждых двух последовательностей, b ∈ необязательно различных) определим строки " 0 " 1 " 2 " 𝑛 и δ 0 δ 1 δ 2 δ 𝑛 соотношениями " 0 = δ 0 = 0 и (δ 𝑖 − a 𝑖 +1 )( δ 𝑖 − b 𝑖 +1 ), δ 𝑖 +1 = δ 𝑖 + (−1) δ 𝑖 " 𝑖 +1 (0 ¶ i ¶ n − Пусть, b) = " 0 + " 1 + " 2 + . . . + " 𝑛 . Найдите (n) = X 𝑎 , 𝑏 ∈ 𝐵 𝑛 w(a, b). |