Е. Р. Байсалов, да. ЕлиусизовМатематические олимпиады
 Скачать 2.18 Mb.
|
УДК 373:51 ББК 74.262.21 Кунгожин А. М, Кунгожин МА, Байсалов ЕР, Елиусизов Д. А. Математические олимпиады Азиатско-Тихоокеанская, «Шёлковый путь». Электронное издание. М.: МЦНМО, 2017. 207 с Сборник содержит материалы двух математических олимпиад Азиатско-Тихоокеанской и «Шёлковый путь — за годы. Все задачи приведены с решениями и при необходимости сопровождаются рисунками, и формулировками используемых фактов и теорем, не входящими в школьную программу. Данные олимпиады проходят более чем в тридцати странах одновременно (включая Россию, Казахстан, США, Японию, Южную Корею и др) и входят в перечень международных олимпиад Министерства образования и науки Республики Казахстан. Книга будет полезна школьникам, студентам, педагогами любителям математики для подготовки к олимпиадам высокого уровня, знакомства с олимпиадными идеями и методами. 12 + Научно-популярное издание Рецензенты: Джумадильдаев АС академик НАН Республики Казахстан, доктор физико-математических наук, профессор; Пак О. В. — обладатель звания Лучший педагог 2014 года Республики Казахстан, директор Назарбаев интеллектуальной школы физико- математического направления г. Алматы. Подготовлено на основе книги Кунгожин А. М, Кунгожин МА, Байсалов Е. Р., Елиусизов ДА. Математические олимпиады Азиатско-Тихоокеанская, «Шёл- ковый путь. — М МЦНМО, 2017. — 208 с. ISBN Издательство Московского центра непрерывного математического образования, Москва, Большой Власьевский пер, тел. (499) 241–08–04 http://www.mccme.ru ISBN 978-5-4439-3135-7 ffi Кунгожин А. М., Кунгожин МА МЦНМО, 2017 Оглавление Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Принятые обозначения и определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Условия задач Азиатско-Тихоокеанской математической олимпиады . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 я олимпиада, 2002 год . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 я олимпиада, 2003 год . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 я олимпиада, 2004 год . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 я олимпиада, 2005 год . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 я олимпиада, 2006 год . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 я олимпиада, 2007 год . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 я олимпиада, 2008 год . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 я олимпиада, 2009 год . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 я олимпиада, 2010 год . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 я олимпиада, 2011 год . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 я олимпиада, 2012 год . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 я олимпиада, 2013 год . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 я олимпиада, 2014 год . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 я олимпиада, 2015 год . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 я олимпиада, 2016 год . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Условия задач математической олимпиады «Шёлковый путь . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 я олимпиада, 2002 год . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 я олимпиада, 2003 год . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 я олимпиада, 2004 год . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 я олимпиада, 2005 год . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 я олимпиада, 2006 год . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 я олимпиада, 2007 год . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 я олимпиада, 2008 год . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 я олимпиада, 2009 год . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 я олимпиада, 2010 год . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4 Оглавление 10-я олимпиада, 2011 год . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 я олимпиада, 2012 год . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 я олимпиада, 2013 год . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 я олимпиада, 2014 год . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 я олимпиада, 2015 год . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 я олимпиада, 2016 год . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Решения задач Азиатско-Тихоокеанской математической олимпиады . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 я олимпиада, 2002 год . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 я олимпиада, 2003 год . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 я олимпиада, 2004 год . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 я олимпиада, 2005 год . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 я олимпиада, 2006 год . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 я олимпиада, 2007 год . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 я олимпиада, 2008 год . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 я олимпиада, 2009 год . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 я олимпиада, 2010 год . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 я олимпиада, 2011 год . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 я олимпиада, 2012 год . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 я олимпиада, 2013 год . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 я олимпиада, 2014 год . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 я олимпиада, 2015 год . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 я олимпиада, 2016 год . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Решения задач математической олимпиады «Шёлковый путь . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 я олимпиада, 2002 год . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 я олимпиада, 2003 год . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 я олимпиада, 2004 год . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 я олимпиада, 2005 год . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 я олимпиада, 2006 год . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 я олимпиада, 2007 год . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 я олимпиада, 2008 год . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 я олимпиада, 2009 год . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 я олимпиада, 2010 год . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 я олимпиада, 2011 год . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 я олимпиада, 2012 год . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 я олимпиада, 2013 год . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 |
Е. Р. Байсалов, ДА. Елиусизов
Математические олимпиады:
Азиатско-Тихоокеанская,
«Шёлковый путь»
Электронное издание
Москва
Издательство МЦНМО
2017
163 я олимпиада, 2015 год . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
170 я олимпиада, 2016 год . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Справочные материалы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Результаты казахстанских участников . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Результаты АТМО . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Результаты МОШП . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
196
Наргозы Турсынбаевича Данаева талантливого учёного,
хорошего организатора
и замечательного человека
Предисловие
Казахстан участвует в международных математических олимпиадах с момента обретения независимости, точнее с 1992 года. Наша команда стала добиваться особых успехов, после того как начал свою работу Республиканский научно-практический центр «Дарын».
Но всё же было заметно, что нашим школьникам не хватало опыта решения задач международного уровняв реальных условиях олимпиады в течение ограниченного времени водной аудитории с соперниками, а не в домашних условиях. Замечательно, когда есть возможность возить команду на региональные соревнования. Такая возможность появилась в 2004 году, когда наша команда начала ездить на Балканскую математическую олимпиаду, а затем на международную олимпиаду «Туймаада» и Западно-Китайскую математическую олимпиаду. Однако в силу сложившихся правил в данных мероприятиях допускается участие ограниченного количества школьников.
В этой связи становятся актуальными международные дистанционные соревнования школьников, в частности Азиатско-Тихоокеан- ская математическая олимпиада (АТМО) и математическая олимпиада «Шёлковый путь (МОШП). АТМО проходит ежегодно с 1989 года,
и традиционно в ней участвуют страны, находящиеся по обе стороны от Тихого океана. МОШП проводится с 2002 года, ив ней принимают участие страны, находящиеся вдоль Великого шёлкового пути.
Казахстан впервые принял участие в данных олимпиадах в 2003 году.
Ежегодно в них с большим удовольствием участвуют около ста олимпийцев со всего Казахстана. Но только несколько десятков могут решить хотя бы одну задачу, так как задания по сложности превосходят многие национальные олимпиады.
Замечено, что успешные казахстанские олимпийцы-математики особенно хорошо проявили себя на АТМО и МОШП. Например, обладатель серебряной и двух золотых медалей Международной математической олимпиады (ММО) Куат Есенов ярко выступил впервые годы проведения олимпиад в Казахстане. Его успех подхватили золотые медалисты ММО Андрей Ким, Егор Клочков, Нурсултан Хаджимуратов,
8
Предисловие
Канат Сатылханов и Ахан Исмаилов. Поэтому неудивительно, что результаты казахстанских школьников на АТМО и МОШП существенно влияют на формирование сборной страны для участия в ММО.
АТМО и МОШП проходят дистанционно, точнее, местные оргкомитеты стран-участниц предварительно получают от соответствующих стран-координаторов условия задачи критерии оценивания и самостоятельно проводят олимпиады в своих странах. Казахстану выпала честь быть страной-координатором АТМО, в которой уже участвует 38 стран,
с 2012 погоды. Хотя география МОШП значительно меньше,
уровень её задач ничем не уступает АТМО. Достигается это во многом благодаря казахстанским композиторам олимпиадных задач.
АТМО проходит во всех странах почти одновременно во второй неделе марта. Сроки проведения МОШП нестрогие, лишь ограничены месяцем мартом, нов Казахстане она проходит надень раньше или позже АТМО. В то время как каждая страна может иметь неофициально любое количество участников в своей стране, информация и результаты только не более 10 участников АТМО и не более участников МОШП могут быть включены в итоговые официальные данные. Копии работ участников, занявших ее и е места,
высылаются соответствующим странам-координаторам. По обобщён- ным результатам определяются обладатели наград. При этом по правилам АТМО в каждой стране может быть не более 7 наград (при этом не может быть более 1 золотой награды и общее количество золотых и серебряных наград не может быть больше 3). А по правилам
МОШП в каждой стране может быть не более 12 наград (при этом не может быть более 2 золотых награди общее количество золотых и серебряных наград не может быть больше 6). Участники, достойно выступившие, ноне вошедшие в эти списки, награждаются почётны- ми грамотами. АТМО состоит из одного тура, в котором предлагается задач, время работы — 4 часа. МОШП состоит из одного тура,
в котором предлагаются 4 задачи, время работы — 4 часа 30 минут.
Каждая задача в обеих олимпиадах оценивается в 7 баллов.
Условия и решения задач АТМО и МОШП уже ранее издавались в печатном виде, но только на английском языке (в частности, Asian
Pacific Mathematics Olympiad 1989–2000, авторы Ганс Лауш и Карлос
Бош-Жираль; Silk Road Mathematics Competition 2002–2010, авторы
Азер Керимов, Ержан Байсалов и Дамир Елиусизов). Более свежие материалы можно найти в сети Интернет, однако эти источники в основном также на английском языке. На русском языке эти материалы
Предисловие
9
собраны на сайте www.matol.kz, сопровождение которого осуществляется Центром олимпийской подготовки «Аль-Фараби» благодаря частной спонсорской поддержке и энтузиазму создателей. Читатели могут добавить свои альтернативные решения отдельных задач на этот сайт. Надеемся, что настоящая книга будет переиздаваться,
и тогда красивые альтернативные решения будут также включены внес указанием имён предложивших их людей.
В данный сборник вошли условия задач АТМО и МОШП и их решения с 2002 погоды. Там, где было известно, указаны авторы задач. Жаль, что только в 2014 году на заседании стран-участниц
АТМО было решено указывать авторов задач. В конце сборника собраны формулы, леммы и теоремы, выходящие за рамки программы общеобразовательной школы, но используемые в решениях.
Выше мы уже описали основные правила официального награждения лучших участников АТМО и МОШП. Однако официальные победители определяются только в конце учебного года, после подведения итогов по всем странам. В этой связи Казахстанский оргкомитет
АТМО и МОШП награждает лучших участников местными наградами сразу же после проверки работ. При этом в некоторые годы при награждении учитывались объединённые результаты обеих олимпиада в последние годы результаты рассматривались раздельно. В конце сборника указаны местные победители.
Большую поддержку проведению данных олимпиад в Казахстане оказал директор Научно-исследовательского института математики и механики Казахского национального университета имени аль-Фа- раби (НИИ ММ КазНУ) др физмат. наук, профессор Наргозы Тур- сынбаевич Данаев. В 2003 году он с большим энтузиазмом организовал первое проведение АТМО и МОШП в Казахстане на базе
НИИ ММ КазНУ. После этого он почти ежегодно являлся председателем местного организационного комитета данных олимпиад. Часто основные расходы, связанные с организацией обеих олимпиад,
и призовой фонд покрывались за счёт средств возглавляемого им
НИИ ММ КазНУ, его научных проектов или даже личных средств,
полученных от премий. Наргозы Турсынбаевич являлся бессменным официальным координатором от Казахстана на АТМО с 2003 года ив последние годы жизни был председателем АТМО.
К большому сожалению, Наргозы Турсынбаевич преждевременно ушёл из жизни 30 ноября 2014 года, что явилось большой потерей для учёной среды и олимпиадного движения Казахстана
10
Предисловие
Мы считаем естественным посвятить данный сборник светлой памяти Наргозы Турсынбаевича Данаева. Являясь признанным специалистом в своей научной области, он оставил большое количество трудов и учеников. Возглавляя Механико-математический факультет и НИИ ММ КазНУ имени аль-Фараби, он всегда был близок к студентами коллегам, решал вопросы без бюрократизма и не боялся брать на себя ответственность. Он понимал, что олимпиадное движение школьников является существенной подпиткой науки и экономики
Казахстана. Во многом благодаря ему Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада и олимпиада «Шёлковый путь стали традиционными в Казахстане
Принятые обозначения и определения — множество натуральных чисел — множество целых чисел — множество рациональных чисел — множество действительных чисел A — элемент a принадлежит множеству A;
∅ — пустое множество A — множество B является подмножеством множества A;
A
∪ B — объединение множеств A и B;
A
∩ B — пересечение множеств A и B;
A
\B — разность множеств A и B те. множество, содержащее все такие элементы множества, которые не принадлежат B);
|A| — количество элементов конечного множества A;
f : A
→ B — функция f , определённая на множестве A, значения которой лежат в множестве) — суперпозиция функции, f
𝑛
(
x)
= f ( f (. . . раз. . .));
f
−1
(
x) — функция, обратная данной, f ( f
−1
(
x))
= x;
𝑛
P
𝑖
=1
a
𝑖
— сумма чисел. . . , a
𝑛
;
𝑛
Q
𝑖
=1
a
𝑖
— произведение чисел. . . , a
𝑛
;
[
x] — целая часть действительного числа x, те. наибольшее целое число, не превосходящее — дробная часть действительного числа x ({x} = x − [x]);
a
. b или b|a — a делится на b или b делит a);
a
≡ b (mod n) — a сравнимо с b по модулю n те. целые числа a и дают равные остатки при делении на
∅ — пустое множество A — множество B является подмножеством множества A;
A
∪ B — объединение множеств A и B;
A
∩ B — пересечение множеств A и B;
A
\B — разность множеств A и B те. множество, содержащее все такие элементы множества, которые не принадлежат B);
|A| — количество элементов конечного множества A;
f : A
→ B — функция f , определённая на множестве A, значения которой лежат в множестве) — суперпозиция функции, f
𝑛
(
x)
= f ( f (. . . раз. . .));
f
−1
(
x) — функция, обратная данной, f ( f
−1
(
x))
= x;
𝑛
P
𝑖
=1
a
𝑖
— сумма чисел. . . , a
𝑛
;
𝑛
Q
𝑖
=1
a
𝑖
— произведение чисел. . . , a
𝑛
;
[
x] — целая часть действительного числа x, те. наибольшее целое число, не превосходящее — дробная часть действительного числа x ({x} = x − [x]);
a
. b или b|a — a делится на b или b делит a);
a
≡ b (mod n) — a сравнимо с b по модулю n те. целые числа a и дают равные остатки при делении на
Принятые обозначения и определения) — количество делителей числа n;
deg
P — степень многочлена P;
НОД(
a, b) (или (a, b)) — наибольший общий делитель чисел a и b;
НОК(
a, b) (или [a, b]) — наименьшее общее кратное чисел a и b;
_
AC ( _
ABC) — дуга AC дуга AC, на которой лежит точка B);
P(M) или P
𝑀
— периметр многоугольника) или S
𝑀
— площадь многоугольника (M) или V
𝑀
— объём многогранника, b) — скалярное произведение векторов a и b;
n! — факториал, произведение n первых натуральных чисел, n!
=
= 1 · 2 · . . . · n;
C
𝑘
𝑛
— число сочетаний из поте. количество элементных подмножеств множества, C
𝑘
𝑛
=
n!
(
n
− k)!k!
(0 ¶ k ¶ n);
def
= — равно по определению;
функция
f (x) называется инъективной, если a
= b тогда и только тогда, когда (a)
= f функция : A
→ B называется сюръективной, если для всех b ∈ существует такое A, что f (a) = функция называется биективной, если она инъективная и сюръек- тивная;
точка
x
0
называется неподвижной для функции , если f (x
0
)
= число называется первообразным корнем или примитивным элементом) по модулю p, если все числа. . . , g
𝑝
−1
} дают различные остатки по модулю
p;
число
a называется квадратичным вычетом по модулю p, если сравнение) имеет решение в целых числах
deg
P — степень многочлена P;
НОД(
a, b) (или (a, b)) — наибольший общий делитель чисел a и b;
НОК(
a, b) (или [a, b]) — наименьшее общее кратное чисел a и b;
_
AC ( _
ABC) — дуга AC дуга AC, на которой лежит точка B);
P(M) или P
𝑀
— периметр многоугольника) или S
𝑀
— площадь многоугольника (M) или V
𝑀
— объём многогранника, b) — скалярное произведение векторов a и b;
n! — факториал, произведение n первых натуральных чисел, n!
=
= 1 · 2 · . . . · n;
C
𝑘
𝑛
— число сочетаний из поте. количество элементных подмножеств множества, C
𝑘
𝑛
=
n!
(
n
− k)!k!
(0 ¶ k ¶ n);
def
= — равно по определению;
функция
f (x) называется инъективной, если a
= b тогда и только тогда, когда (a)
= f функция : A
→ B называется сюръективной, если для всех b ∈ существует такое A, что f (a) = функция называется биективной, если она инъективная и сюръек- тивная;
точка
x
0
называется неподвижной для функции , если f (x
0
)
= число называется первообразным корнем или примитивным элементом) по модулю p, если все числа. . . , g
𝑝
−1
} дают различные остатки по модулю
p;
число
a называется квадратичным вычетом по модулю p, если сравнение) имеет решение в целых числах
Условия задач Азиатско-Тихоокеанской