Е. Р. Байсалов, да. ЕлиусизовМатематические олимпиады
 Скачать 2.18 Mb.
|
|
Задача 1 . Пусть a, b, c — натуральные числа. Докажите, что числа+ b + c, b 2 + c + a, c 2 + a + b не могут быть одновременно квадратами целых чисел. Задача 2 . Пять точек расположены на плоскости так, что никакие три точки не лежат на одной прямой. Определите наибольшее возможное значение наименьшего из углов A 𝑖 A 𝑗 A 𝑘 , где i, j, k — различные индексы из множества, 2, 3, 4, Задача. Дан остроугольный треугольник ABC, в котором ∠BAC Биссектрисы внутреннего и внешнего углов при вершине пересекают прямую соответственно в точках и, а биссектрисы внутреннего и внешнего углов при вершине пересекают прямую соответственно в точках и. Предположим, что окружности с диаметрами B 1 B 2 и C 1 C 2 пересекаются в точке, находящейся внутри треугольника. Докажите, что ∠BPC = Задача. Пусть n — фиксированное положительное нечётное число. Рассмотрим m + 2 различные точки P 0 , P 1 , . . . , на координатной плоскости, которые удовлетворяют следующим трём условиям (здесь — неотрицательное целое число, 1), P 𝑚 +1 =(n+1, n), и для каждого целого i, 1¶ i ¶ m, обе- и координаты точки P 𝑖 — целые числа, лежащие на отрезке [1, n]; (2) для каждого целого, 0 ¶ i ¶ m, прямая параллельна оси прич тном i и параллельна оси Oy при нечётном i; (3) для каждой пары целой пары, j, 0 ¶ i < j ¶ m, отрезки P 𝑖 P 𝑖 +1 и P 𝑗 P 𝑗 +1 имеют не более одной общей точки. Определите наибольшее возможное значение, которое может принимать число m. Задача 5 . Определите все функции f : R → R, где R — множество всех действительных чисел, удовлетворяющие следующим двум условиям) существует такое действительное число, что f (x) < M для любого действительного числа) для любых действительных чисел, y выполнено равенство (x f ( y)) + y f (x) = x f (y) + f я олимпиада, 2012 год Задача 1 . Пусть P является внутренней точкой треугольника аи точки пересечения прямой AP и стороны BC треугольника Условия задач АТМО прямой и стороны CA, прямой CP и стороны AB соответственно. Докажите, что площадь треугольника равна 6, если площадь каждого из треугольников, PDB и PEC равна Задача. В каждую ячейку клетчатой доски размера 2012 × 2012 по одному вписаны действительные числа, одновременно не меньшие и небольшие. Рассмотрим разбиения доски на два непустых прямоугольника вдоль горизонтальной или вертикальной линии сетки. Пусть при любом таком разбиении хотя бы водном из двух полученных прямоугольников сумма чисел не будет превышать 1. Определите максимально возможную сумму всех чисел доски размера 2012 × Задача. Определите всевозможные пары (p, n), где p — простое число и — натуральное число, для которых (n 𝑝 +1)/(p 𝑛 +1) является целым. Задача 4 . Пусть дан остроугольный треугольник ABC. Обозначим через основание перпендикуляра, опущенного из вершины A на сторону, и пусть M — середина BC, а H — точка пересечения высот треугольника. Пусть E — точка пересечения описанной окружности треугольника ABC и луча MH, а F — точка пересечения (отличная от) прямой ED и окружности . Докажите, что выполняется равенство : CF = AB : Задача. Пусть n — натуральное число, большее или равное 2. Докажите, что если действительные числа. . . , удовлетворяют равенству 1 + a 2 2 + . . . + a 2 𝑛 = n, то выполняется неравенство я олимпиада, 2013 год Задача 1 . В остроугольном треугольнике ABC, вписанном в окружность с центром, проведены высоты AD, BE и CF. Докажите, что отрезки, OF, OB, OD, OC, OE разбивают треугольник ABC натри пары равновеликих треугольников. Задача 2 . Найдите все такие натуральные числа n, что число+ 1 [ p n] 2 + целое. Здесь [ r] обозначает наибольшее целое число, не превосходящее Условия задач АТМО 2014 Задача. Для заданных 2k вещественных чисел a 1 , a 2 , . . . , a 𝑘 , b 1 , b 2 , . . . , определим последовательность X 𝑛 по формуле+ b 𝑖 ] ( n = 1, 2, . . Докажите, что если X 𝑛 образуют арифметическую прогрессию, то число P 𝑘 𝑖 =1 a 𝑖 целое. Здесь [ r] обозначает наибольшее целое, не превосходящее. Пусть a и b — натуральные числа. Конечные множества и, состоящие из целых чисел, удовлетворяют следующим условиями не имеют общих элементов) если целое число лежит вили в B, то i + a лежит вили лежит в Докажите, что = b|B|. Здесь |X | обозначает количество элементов множества Задача. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. На продолжении стороны взяли точку P так, что прямые PB и PD касаются. Касательная к окружности, проведённая в точке C, пересекает прямую в точке Q, а прямую AD — в точке R. Обозначим через вторую точку пересечения прямой с окружностью. Докажите, что точки, E и R лежат на одной прямой. 26-я олимпиада, 2014 год Задача 1 (Методический совет Японии. Для натурального числа обозначим через) и P(m) сумму и произведение его цифр соответственно. Докажите, что для любого натурального существуют натуральные числа. . . , a 𝑛 , удовлетворяющие следующим условиям для всех 1, 2, . . . , n − 1; S(a 𝑛 ) = P(a 1 ). Задача 2 (Варут Суксомпонг, Таиланд. Пусть S ={1, 2, . . . , 2014}. Для каждого непустого подмножества S должен быть выбран один из его элементов в качестве его представителя. Найдите количество всех способов выбора представителей для всех непустых подмножеств множества, обладающих следующим свойством если какое Условия задач АТМО либо подмножество S является объединением попарно непере- секающихся непустых подмножеств, B, C ⊆ S, то представитель подмножества также является представителем по крайней мере одного из подмножеств, B, C. Задача 3 (Варут Суксомпонг, Таиланд. Найдите все натуральные числа, для которых при любом целом k существует такое целое что+ a − k кратно n. Задача 4 (Методический совет Австралии. Пусть n и b — натуральные числа. Число назовём различимым, если существует такое множество из различных натуральных чисел, меньших b, что в нём нет двух различных подмножеств с одинаковой суммой элементов. (а) Докажите, что число 8 является 100-различимым. (б) Докажите, что число 9 не является 100-различимым. Задача 5 (Илья Богданов, Россия Медеубек Кунгожин, Казахстан). Окружности ω и Ω пересекаются в точках A и B. Пусть M — середина дуги окружности (M лежит внутри Ω). Хорда MP окружности пересекает в точке Q (Q лежит внутри ω). Пусть ` 𝑃 — касательная к окружности в точке P, а ` 𝑄 — касательная к окружности Ω в точке. Докажите, что окружность, описанная около треугольника, образованного при пересечении прямых ` 𝑃 , ` 𝑄 и AB, касается Ω. Задача_1'>27-я олимпиада, 2015 год Задача 1 (Варут Суксомпонг, Таиланд. На стороне BC треугольника выбрана точка D. Прямая, проходящая через D, пересекает отрезок и луч AC в точках X и Y соответственно. Окружность, описанная около треугольника, пересекает окружность, описанную около треугольника, вторично в точке Z, отличной от Прямые и ZY пересекают вторично в точках V и W соответственно. Докажите, что VW. Задача 2 (Анджело ди Паскуале, Австралия. Пусть S = {2, 3, 4, . . .} множество всех целых чисел, не меньших 2. Существует ли функция : S → S, для которой при всех таких a, b ∈ S, что a 6= b, выполнено равенство (a) f (b) = f (a 2 b 2 )? Задача 3 (Ван Вей Хуа, Гонконг. Последовательность действительных чисел. . . будем называть хорошей, если выполняются следующие три условия Условия задач АТМО 2016 25 (1) a 0 — натуральное число) для каждого целого неотрицательного выполнено хотя бы одно из равенств 2a 𝑖 + 1 или a 𝑖 +1 = a 𝑖 /(a 𝑖 + 2). (3) существует такое натуральное число, что a 𝑘 = Найдите наименьшее из таких натуральных чисел, что существует хорошая последовательность. . . действительных чисел, для которой 2014. Задача 4 (Пакавут Йирандилок и Варут Суксомпонг, Таиланд. Пусть — натуральное число. На плоскости заданы 2n различных прямых, среди которых нет двух параллельных. Некоторые из этих 2n прямых покрашены синим, а оставшиеся прямых покрашены красным. Через B обозначим множество всех точек плоскости, принадлежащих хотя бы одной синей прямой, а через обозначим множество всех точек плоскости, принадлежащих хотя бы одной красной прямой. Докажите, что существует окружность, которая имеет с множеством ровно 2n − 1 общих точек и с множеством R тоже имеет ровно 2 n − 1 общих точек. Задача 5 (Пакавут Йирандилок и Варут Суксомпонг, Таиланд. Найдите все такие последовательности. . . , состоящие из натуральных чисел, что 2015 и при всех натуральных n ¾ 1 выполняются следующие условия: (1) a 𝑛 +2 делится на (n + 1)a 𝑛 | = 1, где s 𝑛 +1 = a 𝑛 +1 − a 𝑛 + a 𝑛 −1 − . . . + (я олимпиада, 2016 год Задача 1 . Назовём замечательным треугольник ABC, для которого выполнено следующее условие пусть — произвольная точка на стороне, аи проекции точки D на прямые AB и AC соответственно тогда точка, симметричная точке относительно прямой, лежит на окружности, описанной около треугольника Докажите, что треугольник является замечательным тогда и только тогда, когда ∠A = и Задача. Назовём натуральное число чудесным, если оно может быть представлено в виде 2 𝑎 1 + 2 𝑎 2 + . . . + 2 𝑎 100 , где. . . , неотрицательные целые числа, необязательно различные. Найдите такое наименьшее натуральное, что ни одно натуральное число, делящееся на, не является чудесным Условия задач АТМО Задача. Пусть AB и AC — два различных лучане лежащих на одной прямой, и пусть — окружность с центром O, которая касается луча в точке E и касается луча AB в точке F. Пусть R — точка на отрезке. Прямая, параллельная EF и проходящая через точку, пересекает прямую AB в точке P. Пусть N — точка пересечения прямых и AC, а M — точка пересечения прямой AB с прямой, параллельной AC и проходящей через R. Докажите, что прямая касается окружности ω. Задача 4 . В стране 2016 городов. Авиакомпания Starways хочет организовать односторонние рейсы между некоторыми парами городов так, чтобы из каждого города выходил ровно один рейс. Найдите наименьшее натуральное, удовлетворяющее следующему условию как бы авиакомпания ни организовала рейсы, все города можно будет разбить на групп так, что из любого города нельзя будет добраться ни до какого другого города той же группы, используя не более 28 рейсов. Задача 5 . Найдите все такие функции f : R + → R + , что равенство+ 1) f (x + y) = f (x f (z) + y) + f (y f (z) + выполнено для всех положительных, y, z. (Через обозначено множество всех положительных действительных чисел Условия задач математической олимпиады «Шёлковый путь» 1-я олимпиада, 2002 год Задача 1 . В треугольнике ABC точка I — центр вписанной окружности. Пусть — точка пересечения биссектрисы угла A с описанной окружностью ( P 6= A), D — точка касания вписанной окружности со стороной, а Q — точка пересечения прямой PD с описанной окружностью ( Q 6= P). Докажите, что PI = QI, если отрезок PD равен радиусу вписанной окружности. Задача 2 . Даны натуральное число n > 2 и положительные действительные числа. . . , a 𝑛 . Пусть, k, p — произвольные натуральные числа, причём 1 < t < n. Положим m = k + p. Докажите следующие неравенства+ a 𝑘 3 + . . . + a 𝑘 𝑡 + a 𝑝 2 a 𝑘 3 + a 𝑘 4 + . . . + a 𝑘 𝑡 +1 + . . . + a 𝑝 𝑛 −1 a 𝑘 𝑛 + a 𝑘 1 + . . . + a 𝑘 𝑡 −2 + + a 𝑝 𝑛 a 𝑘 1 + a 𝑘 2 + . . . + a 𝑘 𝑡 −1 ¾ ( a 𝑝 1 + a 𝑝 2 + . . . + a 𝑝 𝑛 ) 2 ( t − 1)(a 𝑚 1 + a 𝑚 2 + . . . + a 𝑚 𝑛 ) ; 2) a 𝑘 2 + a 𝑘 3 + . . . + a 𝑘 𝑡 a 𝑝 1 + a 𝑘 3 + a 𝑘 4 + a 𝑘 𝑡 +1 a 𝑝 2 + . . . + a 𝑘 𝑛 + a 𝑘 1 + . . . + a 𝑘 𝑡 −2 a 𝑝 𝑛 −1 + + a 𝑘 1 + a 𝑘 2 + . . . + a 𝑘 𝑡 −1 a 𝑝 𝑛 ¾ ( t − 1)(a 𝑘 1 + a 𝑘 2 + . . . + a 𝑘 𝑛 ) 2 a 𝑚 1 + a 𝑚 2 + . . . + Задача. В каждой клетке некоторого конечного множества клеток бесконечной клетчатой доски записано целое число так, что сумма чисел в каждой строке ив каждом столбце делится на 2002. Докажите, что каждое число можно заменить на некоторое число делящееся на 2002 и такое, что − a 0 | < 2002, и суммы чисел во всех строках и во всех столбцах не изменятся. Задача 4 . Рассмотрим дробь 1 /7 = 0,˙14285˙7, которая является чисто периодической десятичной дробью с периодом 6 = 7 − 1. Водном периоде выполняется свойство 142 + 857 = 999. Для n = 1, 2, . . . , опре- Условия задач МОШП делите необходимое и достаточное условие для того, чтобы дробь) обладала теми же свойствами (сумма чисел, образованная двумя половинами периода, равна 10 𝑛 − 1), что и первая дробь, и найдите две такие дроби, отличные от я олимпиада, 2003 год Задача 1 . Пусть a 1 , a 2 , . . . , a 2003 — последовательность действительных чисел. Элемент, 1 ¶ k ¶ 2003, назовём ведущим элементом, если хотя бы одно из выражений. . . , a 𝑘 +a 𝑘 +1 +. . является положительным. Докажите, что сумма всех ведущих элементов последовательности является положительной, если последовательность имеет хотя бы один ведущий элемент. Задача 2 . Пусть s = (AB + BC + AC)/2 — полупериметр треугольника. Выберем точки L и N, лежащие на лучах AB и CB соответственно и удовлетворяющие условию CN = s. Пусть точка симметрична точке относительно центра описанной окружности треугольника. Докажите, что перпендикуляр, опущенный из точки напрямую, проходит через центр вписанной окружности треугольника ABC. Задача 3 . Пусть 0 < a < b < 1 — действительные числа и+ 1 − a, если 0 < x < a, b − если a, x − если x < b, 1 − если b, x − если x < и пусть для некоторого натурального числа найдутся такие n + действительных чисел 0 < x 0 < x 1 < . . . < x 𝑛 < 1, что g 𝑛 ( x 𝑖 ) = для ¶ i ¶ n. Докажите, что существует такое натуральное число N, что x для всех 0< x <1. (Обозначение g 𝑘 ( x) = g(g(. . . (раз. . Задача. Найдите сумму, если, n ∈ Z, m, n ¾ я олимпиада, 2004 год Задача 1 |