Лекция. Тема 2. Средние величины. Екция средние величины
 Скачать 290.18 Kb.
|
|
Л ЕКЦИЯ 2. С РЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ Большое распространение в статистике имеют средние величины. Средняя – это один из распространенных приемов обобщений. Важность средних величин для статистической практики и науки отмечалась в работах многих ученых. Весьма широко применял средние величины английский ученый Г. Кинг (1648-1712) при анализе данных о населении Англии (средний доход на одну семью, среднедушевой доход и т.п.). Следствием учения бельгийца А. Кетле (1796-1874) об общих и индивидуальных причинах явилось выделение средних величин в качестве основного приема статистического анализа. Известный русский статистик Ю.Э. Янсон (1835-1893) писал, что средняя величина есть отражение законов социальной жизни. Средняя величина рассматривается как социально значимая характеристика, информативность которой зависит от однородности данных. Верное понимание сущности средней величины определяет ее особую значимость в условиях рыночной экономики, когда через единичное и случайное позволяет выявить общее и необходимое, выявить тенденцию закономерностей экономического развития. Средние величины – это обобщающие показатели, выражающие действие общих условий и закономерность изучаемого явления. Статистические средние рассчитываются на основе массовых данных правильно статистически организованного массового наблюдения (сплошного или выборочного). Однако статистическая средняя будет объективна и типична, только если она рассчитывается по массовым данным для качественно однородной совокупности (массовых явлений). Пример нетипичной средней хорошо показан в рассказе Глеба Успенского «Живые цифры». Там средний доход определялся сложением 1 млн. миллионера Колотушкина и 1 гроша просвирни Кукушкиной и составил 0,5 млн. руб. Такая средняя теряет смысл. При помощи средней происходит как бы сглаживание различий в величине признака, которые возникают по тем или иным причинам у отдельных единиц наблюдения. Средняя величина – величина абстрактная, потому что характеризует значение абстрактной единицы, а значит, «отвлекается» от структуры совокупности. Средняя величина абстрагируется от разнообразия признака у отдельных объектов. То, что средняя является абстракцией, не лишает ее научного содержания. Абстракция есть необходимая ступень всякого научного исследования. В средней величине, как и во всякой абстракции, осуществляется диалектическое единство отдельного и общего. Применение средних должно исходить из диалектического понимания категорий общего и индивидуального, массового и единичного. Средняя отражает то общее, что складывается в каждом отдельном, единичном объекте. Благодаря этому средняя получает большое значение для выявления закономерностей, присущих массовым явлениям и не заметных в единичных случаях. Отклонение индивидуального от общего – проявление процесса развития. В отдельных, единичных случаях могут быть заложены элементы нового, передового. В этом случае именно конкретные факты, взятые на фоне средних величин, характеризуют процесс развития. В средней и отражается характерный, типичный, реальный уровень изучаемых явлений. Так, через средние проявляется, например, закономерность изменения преступности по различным возрастным группам, различной социальной принадлежности и т.п. Средняя величина вычисляется отдельно для признаков, присущих всем явлениям в данной совокупности, и для признаков качественно однородных и различных только количественно (средний рост, средняя зарплата). Средняя величина является отражением значений изучаемого признака и, следовательно, измеряется в той же размерности, что и этот признак. Под средней величиной в статистике понимают обобщающий показатель, характеризующий типичный уровень варьирующего признака в расчете на единицу однородной совокупности. Вопрос о том, какой вид средней необходимо применить в каждом отдельном случае, разрешается путем конкретного анализа изучаемой совокупности, определяется содержанием изучаемого явления, а также на основе принципа осмысленности результатов при суммировании или при взвешивании. Только тогда средняя применима правильно, когда получают величины, имеющие реальный смысл для практического применения. В статистическом анализе используют следующие виды средних величин: - средняя арифметическая простая; - средняя арифметическая взвешенная; - средняя гармоническая; - средняя геометрическая; - структурные средние: медиана и мода. Средняя арифметическая простая применяется в том случае, когда каждая единица совокупности имеет свое конкретное значение. Средняя арифметическая простая рассчитывается по формуле: n X X , где X – значение показателя; n – число значений. Рассчитаем среднюю арифметическую простую по следующим данным (табл. 1): Таблица 1 Распределение рабочих по количеству изготовленных деталей Показатели Порядковый номер рабочего 1 2 3 4 5 6 7 Количество изготовленных деталей, тыс. шт. (х) 1,0 1,1 1,0 0,9 1,2 1,1 1,0 В данном случае применима средняя арифметическая простая: шт. тыс. 0 , 1 7 0 , 1 1 , 1 2 , 1 9 , 0 0 , 1 1 , 1 0 , 1 n X X Таким образом, средняя выработка деталей на одного рабочего составляет 1,0 тыс. шт. Средняя арифметическая взвешенная применяется в том случае, когда имеется некоторая повторяемость значений единиц совокупности. Средняя арифметическая взвешенная рассчитывается по формуле: , m xm x где m – частота (вес, повторяемость значений признака). По данным о распределении работников организации по стажу работы рассчитаем по средней арифметической взвешенной средний стаж работника (табл.2) Таблица 2 Распределение работников по общему стажу работы Группы работников по общему стажу работы, лет Численность работников, чел. (m) до 5 18 5-10 40 10-15 15 свыше 15 10 Итого 83 Средний стаж работника составит: 0 5 5 10 10 15 15 20 18 * 40 *15 *10 2 2 2 2 18 40 15 10 2,5 *18 7,5 * 40 12,5 *15 17,5 *10 83 45 300 187,5 175 8,5 83 x года Средняя гармоническая применяется в том случае, когда известен один из сомножителей и само произведение. Средняя гармоническая определяется по формуле: Х М М Х , где X – известный сомножитель; M – известное произведение. Например, требуется вычислить средний процент выполнения плана по выпуску продукции цехом, состоящим из четырех участков (табл.3). Применение средней арифметической простой исключается, т.к. процентные соотношения не подвергаются суммированию. Для решения данной задачи следует применить формулу средней гармонической. Критерием правильности применения данной формулы является то, что числитель ( М) представляет собой суммарный объем выпуска продукции участками цеха, а знаменатель ( Х М ) – суммарную величину выпуска продукции по плану. Таблица 3 Выпуск продукции по участкам Участки Цеха Фактически выпущено продукции, тыс.руб. (M) Процент выполнения плана (X) 1 6500 101,3 2 7300 90,5 3 6900 102,5 4 5300 101,9 Подставляя числовые данные в формулу, получаем: %. 4 , 98 100 8 , 26415 26000 019 , 1 5300 025 , 1 6900 905 , 0 7300 013 , 1 6500 5300 6900 7300 6500 Х Таким образом, средний процент выполнения плана по выпуску продукции цехом составил 98,4%. Средняя геометрическая используется для определения среднего темпа роста явления за рассматриваемый период динамики. Средняя геометрическая рассчитывается двояко: % 100 2 1 m m K K K X или %, 100 1 1 n n y y X где K 1 ,K 2 ,…K m – коэффициенты динамики по отношению к предыдущему периоду; m – число коэффициентов динамики; y 1 и y n – соответственно первый и последний абсолютные уровня и ряда динамики; n – число абсолютных уровней ряда динамики. Требуется определить средний темп роста выпуска продукции на предприятии за пятилетний период по данным табл. 4 Произведем расчет: % 6 , 105 % 100 003 , 1 093 , 1 073 , 1 059 , 1 4 x или %. 6 , 105 % 100 1 , 230 6 , 286 1 5 x Таблица 4 Выпуск продукции по предприятию Показатели Годы 1 2 3 4 5 Выпуск продукции, тыс.руб. 230,1 243,8 261,5 285,8 286,6 В % к предыдущему году - 105,9 107,3 109,3 100,3 Таким образом, средний темп роста выпуска продукции составил 105,6%. Для изучения структуры исследуемой совокупности применяют так называемые структурные средние: медиану и моду. Медианой в статистике называют такое значение признака, которое расположено в середине упорядоченного ряда. Медиана определяется по-разному для дискретного и интервального вариационных рядов. Медиана дискретного вариационного ряда, расположенного в ранжированном порядке, имеет серединное значение. По следующим данным дискретного ряда распределения, расположенного в ранжированном порядке (в порядке возрастания), определим медиану (табл. 5). Таблица 5 Распределение рабочих по стажу работы Показатели Значения Стаж работы рабочего, лет 7 8 9 10 11 Число рабочих, чел. (частота) 2 8 6 4 10 Сумма накопленных частот 2 10 16 20 30 Для нахождения медианы (Ме) середина упорядоченного ряда определяется средней величиной числа рабочих: 15 2 10 8 4 8 2 X чел. Данная средняя величина накапливается только к 3-й группе рабочих по стажу работы, по которой сумма накопленных частот (численности рабочих нарастающим итогом) составляет: = 2 + 8 + 6 = 16 чел. По данной группе определяется Ме = 9 лет стажа работы на предприятии. Это значит, что 50% совокупности рабочих – со стажем работы до 9 лет, 50% – более 9 лет. Медиана в интервальном вариационном ряде определяется по формуле: ) ( 2 0 1 1 0 0 x x N N N x Me , где х 0 и х 1 – соответственно нижняя и верхняя границы медианного интервала; N – сумма частот ряда; N 0 – сумма частот, накопившаяся до начала медианного интервала; N 1 – частота медианного интервала. Рассмотрим пример (табл. 6). В первую очередь находится медианный интервал, на который должно приходиться 50% накопленных частот данного ряда. По условию задачи: 20 2 40 2 6 7 8 16 3 2 N чел. Сумма частот первых трех интервалов равна: = 3 + 16 + 8 = 27 чел., что немногим больше 20 чел. Следовательно, медианный интервал будет находиться в третьей группе, т.е. в пределах границ 105-110%. Таблица 6 Выполнение месячного задания по выпуску продукции Выполнение месячного задания, % Число рабочих, чел. Накопленные частоты от начала ряда 95-100 3 3 100-105 16 19 105-110 8 27 110-115 7 34 115-120 6 40 Итого 40 - Подставим соответствующие значения в формулу: %. 6 , 105 ) 105 110 ( 8 19 2 40 105 Me Таким образом, 50% всех рабочих выполняют производственное задание менее, чем на 105,6%, 50% – более, чем на 105,6%. Модой в статистике называют наиболее часто встречающееся в исследуемой совокупности значение признака. В дискретном вариационном ряде моду определяют по наибольшей частоте. Рассмотрим пример (табл. 7). Таблица 7 Распределение рабочих по дневной выработке Показатели Значения Дневная выработка рабочего, шт. 10 12 15 20 25 30 Число рабочих, имеющих данную 5 10 8 12 9 7 выработку, чел. (частота) Просматривая частоты ряда (число рабочих), видим, что наибольшая частота – 12. Эта частота соответствует дневной выработке 20 шт. Таким образом, мода показывает, что в данной совокупности наибольшее число рабочих имеют выработку 20 шт. деталей в день. В интервальном вариационном ряде мода определяется по формуле: ) ( ) ( ) ( 0 1 3 2 1 2 1 2 0 x x f f f f f f x Mo , где х 0 и х 1 – соответственно нижняя и верхняя границы модального интервала; f 2 – частота модального интервала; f 1 и f 3 – частота интервала соответственно предшествующего и следующего за модальным. В качестве примера возьмем условие задачи из таблицы 6. В первую очередь находится модальный интервал, на который должна приходиться наибольшая частота. Это будет интервал 100- 105, так как ему соответствует наибольшая частота (16 чел.). Подставим соответствующие значения в формулу: %. 103 ) 100 105 ( ) 8 16 ( ) 3 16 ( 3 16 100 Mo Иначе говоря, наибольшее число рабочих выполняют месячное задание на 103%. Контрольные вопросы 1. Какова экономическая сущность средней? 2. Какие формы средней рассчитываются в экономических исследованиях? 3. Какова методология расчета средней по данным интервального вариационного ряда? 4. Каков экономический смысл и методология расчета структурных средних? 5. Какой интервал в интервальном вариационном ряде называется модальным, какой – медианным? |