Цепи и сигналы. Эквивалентное преобразование источников конечной мощности
 Скачать 1.82 Mb.
|
Метод эквивалентного генератораВ некоторых случаях при расчете электрической цепи нас интересуют ток, напряжение, мощность только в какой-либо одной ветви схемы. Тогда, чтобы упростить задачу и не рассчитывать всю цепь, применяют метод эквивалентного генератора. Прежде чем перейти к методу эквивалентного генератора, докажем теорему о компенсации. Теорема о компенсации. Любой пассивный элемент электрической цепи можно заменить активным элементом, величина ЭДС которого равна падению напряжения на пассивном элементе, а направление противоположно направлению тока в нем. Докажем эквивалентность такой замены. Рассмотрим для пимера схемы (рис. 3.9, а,б). Заменим пассивный элемент R1 источником ЭДС Е1. Для схемы азапишем уравнение по второму закону Кирхгофа . Отсюда выразим ток в виде . Для схемы б второй закон Кирхгофа запишется в следующей форме: . Ток выразим в виде . При эквивалентной замене ток в сопротивлении R должен остаться неизменным, а он не изменится только в том случае, если , что и требовалось доказать. В любой электрической схеме всегда можно мысленно выделить какую-то одну ветвь, а всю остальную часть схемы, независимо от ее структуры, условно изобразить прямоугольником (рис. 3.10). Например, выделим ветвь с сопротивлением R5, а всю остальную часть заключим в прямоугольник. Заключенную в прямоугольник часть схемы, которая двумя выводами подключается к выделенной ветви, называют двухполюсником.
Чаще всего нас не интересует часть схемы, заключенная в двухполюснике, и его обозначают прямоугольником с двумя выводами, к которым присоединяется интересующая нас ветвь (рис. 3.11).
Если внутренняя схема двухполюсника содержит только пассивные элементы, то такой двухполюсник называется пассивным и в прямоугольнике ставится буква П, если внутренняя схема двухполюсника содержит активные элементы, то есть источники ЭДС или тока, то такой двухполюсник называется активным и в прямоугольнике ставится буква А. Внутреннюю схему двухполюсника всегда можно разбить на участки, и эти участки, пользуясь теоремой о компенсации, заменить эквивалентными источниками. Тогда двухполюсник по отношению к выделенной ветви будет представлять собой некоторый эквивалентный генератор (рис. 3.12). Тогда ток, протекающий в выделенной ветви, можно определить, используя формулу . Таким образом, всякий активный двухполюсник может быть заменен эквивалентным генератором с ЭДС Еэк и внутренним сопротивлением Rэк. Для того чтобы токораспределение во внешней цепи не изменилось, должны соблюдаться следующие требования: 1) ЭДС эквивалентного генератора Еэк равна напряжению на зажимах ab двухполюсника при холостом ходе Еэк= Uabxx; 2) внутреннее сопротивление эквивалентного генератора Rэк равно эквивалентному сопротивлению двухполюсника относительно зажимов ab. Таким образом, расчет цепи методом эквивалентного генератора сводится к определению параметров эквивалентного генератора Еэки Rэк. Параметры эквивалентного генератора можно определить двумя способами: экспериментальным и расчетным. Экспериментальный способ – это единственный путь определения параметров эквивалентного генератора, если неизвестна схема соединений двухполюсника. Суть его сводится к следующему. 1. При разомкнутых зажимах ab, то есть в режиме холостого хода (R = ∞ и I = 0), измеряют напряжение на зажимах ab Uаbхх. Согласно требованию 1 Uаbхх= Еэк. 2. При замкнутых зажимах ab, то есть в режиме короткого замыкания (R = 0), измеряют ток в выделенной ветви Iкз (это можно сделать, отсоединив сопротивление R и подключив к зажимам ab амперметр, сопротивление которого мало, поэтому его можно считать замыкающим проводником). Ток короткого замыкания связан с ЭДС источника соотношением , отсюда . Расчетный способ применяется тогда, когда известна схема внутренних соединений двухполюсника и параметры входящих в нее сопротивлений и ЭДС. Рассмотрим этот способ на конкретном примере (рис. 3.13).
Выделяем нагрузочную ветвь с сопротивлением Rн, заключая остальную часть схемы в прямоугольник. Эта часть схемы представляет собой двухполюсник с зажимами ab. Мысленно закоротив источник ЭДС, находим эквивалентное сопротивление двухполюсника по отношению к зажимам ab, которое согласно требованию 2 равно внутреннему сопротивлению эквивалентного генератора:
3. Определим ЭДС эквивалентного генератора Еэк, равную напряжению на зажимах ab при холостом ходе. Для этого отсоединим сопротивление нагрузки, схема примет вид (рис. 3.14). Так как ветвь с сопротивлением R4 разомкнута, ток будет протекать только по контуру R1→ R3 → R2, то есть . Напряжение на зажимах ab будет равно напряжению на зажимах cb: Зная Rэк и Еэк, находим ток в нагрузке Нагрузка эквивалентного генератора согласно закону Джоуля – Ленца потребляет мощность, определяемую выражением . В режиме холостого хода ток равен нулю, следовательно, потребляемая мощность равна нулю. В режиме короткого замыкания нулю равно сопротивление нагрузки, следовательно, мощность так же не потребляется Р = 0. Таким образом, следует предположить, что в нагрузочном режиме с ростом сопротивления нагрузки мощность сначала увеличивается до некоторого максимального значения, а потом спадает до нуля (рис. 3.15). Найдем условие, при котором нагрузка эквивалентного генератора потребляет максимальную мощность. Мощность в нагрузке согласно закону Джоуля – Ленца определяется выражением . Ток в нагрузке Подставим выражение для тока в формулу мощности: . Исследуем это выражение на экстремум. Функция имеет экстремум при условии равенства нулю ее первой производной. . Дробь равна нулю, если равен нулю числитель: . Преобразуем это выражение следующим образом: . Отсюда получаем . Взяв вторую производную, можно доказать, что она отрицательна, следовательно, мощность максимальна при сопротивлении нагрузки, равном сопротивлению эквивалентного генератора. Такое сопротивление нагрузки Rc называется согласованным. Максимальную мощность можно определить по формуле . На рис. 3.15 показано изменение мощности, потребляемой нагрузкой при изменении сопротивления нагрузки от нуля до бесконечности.
Контрольные вопросы и задания 1. Дайте определение простых и сложных цепей. 2. Опишите порядок расчета простых цепей методом эквивалентных преобразований. 3. Опишите порядок расчета простых цепей методом пропорциональных величин. 4. В чем состоит метод расчета сложных электрических цепей, основанный на прямом использовании законов Киргофа? 5. Назовите достоинства и недостатки этого метода. 6. В чем состоит метод контурных токов? 7. Как определить собственные и взаимные сопротивления? 8. Поясните правило знаков при определении истинных токов по известным контурным токам. 9. Назовите достоинства и недостатки метода контурных токов. 10. В чем состоит метод узловых потенциалов? 11. Назовите достоинства и недостатки этого метода. 12. В каком случае применим метод двух узлов? 13. Что позволяет определить этот метод? 14. В чем состоит метод наложения? 15. Как при расчетах электрической цепи методом наложения определить истинные токи в ветвях? 16. Сформулируйте теорему о компенсации. 17. Что называют двухполюсником? 18. Какие существуют способы определения параметров эквивалентного генератора? 19. Поясните, при каком условии в двухполюснике выделится максимальная мощность? 20. Какую нагрузку называют согласованной? |