Цепи и сигналы. Эквивалентное преобразование источников конечной мощности
 Скачать 1.82 Mb.
|
Индуктивный элемент (индуктивность)Индуктивность – это идеализированный элемент электрической цепи, по своим свойствам приближенный к индуктивной катушке, в которой накапливается энергия магнитного поля. Потери и накопление электрической энергии в индуктивности отсутствуют. Обозначение индуктивного элемента и его условное изображение на схеме представлены на рис. 1.14. Символ L используется не только для обозначения элемента, но и для количественной характеристики происходящих в индуктивном элементе явлений. Он характеризует индуктивностьцепи, равную отношению потокосцепления самоиндукции ψ к току в данном элементе: где потокосцепление – это сумма произведений магнитных потоков Ф, обусловленных током в данном элементе iL, и числа витков w, с которыми эти потоки сцеплены: причем ψ и iL всегда имеют одинаковый знак, то есть индуктивность L всегда положительна.
Если зависимость ψ(i) линейна, то индуктивность L=const. Вебер-амперная характеристика для линейной индуктивности представляет собой прямую линию (рис. 1.15). Величина индуктивности определяется тангенсом наклона этой прямой к оси тока. На основании известного закона электромагнитной индукции Фарадея –Максвелла изменение во времени потокосцепления самоиндукции вызывает электродвижущую силу самоиндукции, которая описывается формулой По закону Ленца, выражающему принцип электромагнитной инерции, эта ЭДС противодействует изменению потокосцепления, что учитывается знаком «минус». Если индуктивность не зависит от тока, то Для того чтобы уравновесить ЭДС самоиндукции, необходимо приложить напряжение, равное этой ЭДС по величине и противоположное по знаку, которое называют падением напряжения на индуктивности Положительное направление напряжения на индуктивности uL совпадает с положительным направлением тока iL. Ток, протекающий через индуктивность, исходя из выражения для напряжения, равен Выбор нижнего предела t = – ∞ при интегрировании вызван необходимостью суммирования всех изменений напряжения uL, имевших место до момента t, то есть необходимо учесть всю предысторию элемента. Мгновенная мощность в индуктивности, равна произведению мгновенных значений iL и uL: Если знаки iL и uL совпадают, то pL > 0; при этом индуктивность потребляет энергию, которая запасается в ее магнитном поле. При разных знаках iL и uL мгновенная мощность pL < 0, это означает, что энергия, запасенная элементом, отдается в цепь. Энергия, запасенная в индуктивности: При этом полагаем, что при t = – ∞ iL = 0. Так как энергия пропорциональна квадрату тока, то она всегда положительна (WL > 0). Если ток в цепи постоянный, то есть I = const, то и , следовательно, индуктивность в цепи постоянного тока представляет собой короткое замыкание. Емкостный элемент (емкость)
Под емкостным элементом электрической цепи понимают такой идеализированный элемент, в котором запасается энергия электрического поля, зависящая от напряжения, а потери и накопление магнитной энергии отсутствуют.
Близким к этому идеальному элементу является электрический конденсатор, обладающий хорошим диэлектриком и работающий при относительно невысоких частотах. Обозначение емкостного элемента на схеме показано на рис. 1.16. Термин емкость служит как для обозначения самого элемента, так и для его количественной оценки. Количественно емкость определяется отношением заряда элемента к напряжению на его зажимах: При подключении емкости к источнику напряжения на его обкладках накапливается заряд, величина которого связана с напряжением соотношением q = Cu. Дифференцируя это выражение по времени, определим ток через емкость при известном q: Если известен ток, то, интегрируя полученное уравнение в пределах от –∞ до t, определим напряжение на емкости: .
Так как напряжение uC и заряд q имеют одинаковый знак, то емкость всегда положительна С > 0. Кулон-вольтовая характеристика для линейной емкости представлена на рис. 1.17. Мгновенная мощность емкостного элемента При одинаковых знаках uC и iC мощность положительна рС > 0 – на обкладках конденсатора запасается энергия электрического поля. При различных знаках uCи iC мощность отрицательна рС < 0 – запасенная энергия возвращается в электрическую цепь, емкость работает как источник энергии. Энергия, запасенная в емкости, определяется выражением Так как энергия WC пропорциональна квадрату напряжения, то она всегда положительна WC > 0. Если емкость подключить на постоянное напряжение UC = const, то Следовательно, емкость в цепи постоянного тока представляет собой разрыв цепи. Основные законы, действующие в электрических цепях Основные законы, используемые при расчете электрических цепей – это законы Ома, Кирхгофа и Джоуля – Ленца. Закон Ома. Для существования тока в проводнике необходимо создать разность потенциалов на его концах. Рассмотрим участок цепи (рис. 1.18), по которому протекает ток I, направленный от точки 1 к точке 2. Разность потенциалов на концах проводника равна . Чем больше разность потенциалов, тем большую скорость направленного движения приобретут частицы, тем больше будет ток. С другой стороны, любой проводник оказывает сопротивление проходящему по нему току, поэтому, чем больше сопротивление, тем меньше сила тока в проводнике. . Закон Ома утверждает: ток на участке электрической цепи, не содержащем источников, прямо пропорционален напряжению, приложенному к этому участку, и обратно пропорционален сопротивлению этого участка.
В том случае, если участок электрической цепи содержит источники энергии, следует применять обобщенный закон Ома. Выделим в сложной электрической цепи ветвь, содержащую источник ЭДС и сопротивление R (рис. 1.19). Выберем условно положительное направление тока от точки 1 к точке 2. Выразим потенциал точки 1 через потенциал точки 2: , тогда ток определится выражением . При выражении потенциала φ1 через φ2 мы учли, что при движении вдоль ветви от точки 2 ЭДС направлена навстречу движению, так как в источнике ЭДС заряд переносится от меньшего потенциала к большему, то потенциал понижается. Ток направлен от большего потенциала к меньшему, следовательно, потенциал повышается на величину падения напряжения в сопротивлении R. Таким образом, при составлении уравнений по обобщенному закону Ома следует помнить правила: 1) потенциал точки, от которой течет ток, считается положительным, к которой течет ток, – отрицательным; 2) ЭДС берется со знаком «плюс», если ее действие совпадает с направлением тока, «минус» – если ее действие противоположно току. Рассмотрим замкнутую цепь, в которой действует источник ЭДС с внутренним сопротивлением r0(рис. 1.20). Исходя из закона Ома для участка цепи, напряжение на нагрузке можно записать . С другой стороны U – напряжение на зажимах источника, которое определяется внешней характеристикой . В этом случае будут справедливы соотношения: или , отсюда ток, текущий от источника, определится по формуле . Это выражение представляет собой закон Ома для полной цепи: ток в цепи прямо пропорционален ЭДС, действующей в цепи, и обратно пропорционален полному сопротивлению цепи. Законы Кирхгофа Для расчета электрических цепей используют два закона Кирхгофа. Первый закон Кирхгофа применяется к узлам электрической цепи и выражает баланс токов в них. Первый закон Кирхгофа состоит в том, что алгебраическая сумма токов в узле равна нулю. В общем виде формулировку этого закона можно записать как . Возьмем произвольный узел, в котором протекают токи, указанные стрелками (рис. 1.21). Токи, направленные к узлу берутся с одним знаком, токи, направленные от узла – с противоположным. Будем считать положительными токи, направленные от узла, тогда первый закон Кирхгофа запишется . Это выражение можно преобразовать, перенеся отрицательные токи в правую часть, . Отсюда следует другая формулировка первого закона Кирхгофа: сумма токов, подходящих к узлу, равна сумме токов, отходящих от узла. Это говорит о том, что в узле заряд не накапливается. Второй закон Кирхгофа применяется к контурам электрической цепи и выражает баланс напряжений в них: алгебраическая сумма ЭДС в замкнутом контуре равна алгебраической сумме падений напряжения на элементах этого контура. При составлении уравнений действует следующее правило знаков: электродвижущая сила берется со знаком плюс, если ее действие совпадает с направлением обхода контура, падение напряжения берется со знаком плюс, если направление тока в элементе совпадает с направлением обхода контура, в противном случае знак – минус. Для доказательства рассмотрим разветвленную электрическую цепь, представленную на рис. 1.22. Выберем направление обхода контура по часовой стрелке и определим потенциалы точек 1, 2, 3, 4, 5, 6, 1. Начнем с точки 1, считая потенциал этой точки φ1 известным. ЭДС, направленная вдоль контура, повышает потенциал, тогда потенциал точки 2 определится выражением . На участке 2 – 3 ток течет вдоль обхода контура от точки 2 к точке 3, следовательно, потенциал точки 3 ниже потенциала точки 2 на величину падения напряжения на сопротивлении R2 . В этом случае потенциал третьей точки выразится через потениал второй в соответствии с формулой . На участках с сопротивлениями R4 и R5 ток направлен против обхода контура, следовательно, вдоль обхода потенциалы повышаются: ; . Аналогично определим потенциалы остальных точек: ; . Изменение потенциала вдоль замкнутого контура равно нулю, так как мы вышли из точки с потенциалом φ1 и возвращаемся в эту же точку: . Подставляя в эту формулу выведенные выше выражения для потенциалов, получим . Поскольку сумма потенциалов равна нулю, то получим , что и требовалось доказать. Закон Джоуля-Ленца При упорядоченном движении заряженных частиц в проводнике электрическое поле совершает определенную работу. Эту работу принято называть работой тока. Если за время dt через поперечное сечение проводника, к концам которого приложена разность потенциалов u, проходит заряд dq, то электрическое поле совершает работу . Так как ток равен , то изменение заряда можно выразить через ток: , тогда производимая работа определится как . Согласно закону сохранения энергии эта работа должна равняться изменению энергии на данном участке цепи за время dt. Если на участке цепи не совершается механическая работа и не происходит химических преобразований, то энергия тратится на нагрев проводника , используя закон Ома, это выражение можно записать . Таким образом, количество теплоты, выделяемой током в проводнике за время dt равно произведению квадрата силы тока, сопротивления проводника и времени, в течение которого протекает ток. Любой электрический прибор рассчитан на потребление определенной энергии в единицу времени, поэтому следует ввести понятие мощности. Мгновенная мощность равна отношению работы, совершаемой за время dt к этому интервалу времени . Используя закон Ома, закон Джоуля – Ленца можно записать в виде . |