Вопросы_ЛА_Экз2020. Экзаменационные вопросы по дисциплине линейная алгебра (I семестр) для студентов групп фбэ01,02,03,04 и фбэбс01,02 Тема Множества и функции
 Скачать 22.54 Kb.
|
|
НГТУ Кафедра алгебры и математической логики Экзаменационные вопросы по дисциплине ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА (I семестр) для студентов групп ФБЭ-01,02,03,04 и ФБЭБС-01,02 Тема Множества и функции 1.Множество. Элемент множества. Способы задания множества. Операции над множествами. Кортеж. Декартово произведение множеств. Понятие функции. Тема Числовые поля 2. Числовые множества. Понятие поля. Числовые поля Q, R, C. Конечные поля. 3. Комплексное число. Операции над комплексными числами в алгебраической форме. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа. 4. Формы записи комплексных чисел. Операции над комплексными числами в тригонометрической и показательной формах (умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня). Алгоритм извлечения корня из комплексного числа. Тема Кольцо многочленов над полем 5. Многочлен n-ной степени. Операции на множестве всех многочленов. 6. Понятие кольца. Теорема о коммутативном кольце с единицей. Корень многочлена. Теорема Безу. Основная теорема алгебры. 7. Разложение многочлена на линейные множители. 8. Теорема о корнях многочлена положительной степени. Многочлен с вещественными коэффициентами из поля R 9. Многочлен с целыми коэффициентами. Тема Алгебра матриц 10. Матрица n-го порядка. Квадратная матрица. Равенство матриц. Операции над матрицами (сложение, умножение на скаляр, транспонирование, умножение). 11. Обозначения систем (пространство матриц, алгебра матриц, множество квадратных матриц порядка n с операциями сложения и умножения). Диагональная матрица. Скалярная матрица. Единичная матрица. Нулевая матрица. Теорема о кольце матриц над полем. Тема Определитель обратимости матриц. Определитель матрицы. Правило Саррюса. Минор элемента матрицы. Алгебраическое дополнение элемента матрицы. Вычисление определителей n-го порядка. Треугольная матрица. Свойства определителей. Свойства определителей. Обратимая матрица. Теорема о существовании обратной матрицы. Методы нахождения обратной матрицы: метод присоединенной матрицы, метод элементарных преобразований. Тема Ранг матрицы Ранг матрицы. Свойства ранга матрицы. Методы нахождения ранга матрицы: метод окаймляющих миноров, метод элементарных преобразований. Тема Пространства арифметических векторов Пространство арифметических векторов. Линейная комбинация. Виды линейных комбинаций. Линейная зависимость и независимость системы арифметических векторов. Критерий линейной зависимости системы векторов (теорема). Теорема о базисном миноре. Критерий линейной зависимости строк (столбцов) квадратной матрицы. Тема Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) Система m линейных уравнений с n неизвестными. Матрица системы. Решение системы. Матричная форма СЛАУ. Общее решение. Исследование СЛАУ. Решение невырожденных систем линейных уравнений методом Крамера и с помощью обратной матрицы. Решение невырожденных систем линейных уравнений методом Жордана-Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли. Нахождение общего решения системы линейных уравнений. Приведенная система линейных уравнений. Фундаментальная система решений (ф.с.р.). Теорема о связи общего решения системы линейных уравнений и ф.с.р. приведенной системы. Тема Геометрическое векторное пространство Геометрическое векторное пространство. Базис в пространстве, на плоскости и на прямой. Декартова система координат, ПДСК. Длина вектора. Расстояние между точками. Орт вектора. Проекция вектора. Направляющие косинусы. Скалярное произведение: определение, свойства, выражение в декартовых ко-ординатах, нахождение угла между векторами, нахождение проекции. Физический смысл скалярного произведения. Векторное произведение: определение, свойства, выражение в декартовых ко-ординатах, физический смысл. Смешанное произведение: определение, свойства, выражение в декартовых координатах. Тема Линейные геометрические объекты Уравнения прямой на плоскости (общее уравнение, параметрические уравнения, каноническое уравнение, уравнение в отрезках). Уравнение прямой на плоскости с угловым коэффициентом. Нормальное уравнение прямой. Взаимное расположение прямых. Нахождение угла между прямыми. Уравнения плоскости в пространстве. Взаимное расположение плоскостей. Уравнения прямой в пространстве. Взаимное расположение прямых, прямой и плоскости. Тема Линейные пространства Линейные пространства: определение и примеры. Критерий линейной зависимости векторов (теорема). Базис. Примеры базисов. Координаты вектора. Свойства координатных столбцов. Теорема о числе базисных векторов. Ранг системы векторов. Теорема о ранге конечной системы числовых векторов. Размерность пространства. Конечномерные и бесконечномерные пространства. Замена базиса. Матрица перехода. Преобразование координат вектора при смене базиса. Линейный оператор. Матрица линейного оператора. Характеристический многочлен и его инварианты. Собственные числа и собственные векторы линейного оператора: определение и отыскание. Тема Кривые второго порядка и приведение их уравнений к каноническому виду. Квадратичные формы и приведение их к каноническому виду. Кривые второго порядка и приведение их уравнений к каноническому виду. Эллипс (каноническое уравнение, параметры и свойства). Гипербола и парабола (канонические уравнения, параметры и свойства). Темы практических заданий соответствуют темам домашних работ. Литература: 1. Ивлева А.М., Пинус А.Г., Чехонадских А.В. Основы алгебры и аналитической геометрии: Учебник. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2003. – 272 с. 2. Ивлева А.М., Прилуцкая П.И., Черных И.Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: Учеб. Пособие. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2000. – 132 с. 3. Конспект лекций по линейной алгебре. 4. Видео материалы: лекции Судоплатова С.В. по Линейной алгебре и аналитической геометрии на www.youtube.com канал: https://www.youtube.com/channel/UC_0hFRCCEfEKQcWhNwn_pxg |