Глава 6 Элементы механики жидкостей. Элементы механики жидкостей
![]()
|
Глава 6 Элементы механики жидкостей § 28. Давление в жидкости и газе Молекулы газа, совершая беспорядочное, хаотическое движение, не связаны или весьма слабо связаны силами взаимодействия, поэтому они движутся свободно и в результате соударений стремятся разлететься во все стороны, заполняя весь предоставленный им объем, т. е. объем газа определяется объемом того сосуда, который газ занимает. Как и газ, жидкость принимает форму того сосуда, в который она заключена. Но в жидкостях в отличие от газов среднее расстояние между молекулами остается практически постоянным, поэтому жидкость обладает практически неизменным объемом. Хотя свойства жидкостей и газов во многом отличаются, в ряде механических явлений их поведение определяется одинаковыми параметрами и идентичными уравнениями. Поэтому гидроаэромеханика — раздел механики, изучающий равновесие и движение жидкостей и газов, их взаимодействие между собой и обтекаемыми ими твердыми телами,— использует единый подход к изучению жидкостей и газов. В механике с большой степенью точности жидкости и газы рассматриваются как сплошные, непрерывно распределенные в занятой ими части пространства. Плотность жидкости мало зависит от давления. Плотность же газов от давления зависит существенно. Из опыта известно, что сжимаемостью жидкости и газа во многих задачах можно пренебречь и пользоваться единым понятием несжимаемой жидкости — жидкости, плотность которой всюду одинакова и не изменяется со временем. ![]() Рис. 44 Если в покоящуюся жидкость поместить тонкую пластинку, то части жидкости, находящиеся по разные стороны от нее, будут действовать на каждый элемент ![]() ![]() ![]() Физическая величина, определяемая нормальной силой, действующей со стороны жидкости на единицу площади, называется давлением р жидкости: ![]() Единица давления—Паскаль (Па): 1 Па равен давлению, создаваемому силой 1 Н, равномерно распределенной по нормальной к ней поверхности площадью 1 м2 (1 Па = 1 Н/м2). Давление при равновесии жидкостей (газов) подчиняется закону Паскаля (французский ученый (1623—1662)): давление в любом месте покоящейся жидкости одинаково по всем направлениям, причем давление одинаково передается по всему объему, занятому покоящейся жидкостью. Рассмотрим, как влияет вес жидкости на распределение давления внутри покоящейся несжимаемой жидкости. При равновесии жидкости давление по горизонтали всегда одинаково, иначе не было бы равновесия. Поэтому свободная поверхность покоящейся жидкости всегда горизонтальна вдали от стенок сосуда. Если жидкость несжимаема, то ее плотность не зависит от давления. Тогда при поперечном сечении S, высоте h и плотности ![]() ![]() ![]() т. е. давление изменяется линейно с высотой. Давление ![]() Согласно формуле (28.1), сила давления на нижние слои жидкости будет больше, чем на верхние, поэтому на тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, определяемая законом Архимеда: на тело, погруженное в жидкость (газ), действует со стороны этой жидкости направленная вверх выталкивающая сила, равная весу вытесненной телом жидкости (газа): ![]() где ![]() § 29. Уравнение неразрывности Движение жидкости называется течением, а совокупность частиц движущейся жидкости — потоком. Графически движение жидкостей изображается с помощью линий тока, которые проводятся так, что касательные к ним совпадают по направлению с вектором скорости жидкости в соответствующих точках пространства (рис. 45). Линии тока проводятся так, чтобы густота их, характеризуемая отношением числа линий к площади перпендикулярной им площадки, через которую они проходят, была пропорциональна скорости течения жидкости. Таким образом, по картине линий тока можно судить о направлении и модуле скорости течения жидкости в разных точках пространства. Линии тока в жидкости можно «проявить», например, подмешав в нее какие-либо заметные взвешенные частицы. Часть жидкости, ограниченную линиями тока, называют трубкой тока. Течение жидкости называется установившимся (или стационарным), если форма и расположение линий тока, а также значения скоростей в каждой ее точке со временем не изменяются. ![]() ![]() Рис. 45 Рис.46 Рассмотрим какую-либо трубку тока. Выберем два ее сечения ![]() ![]() За время ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Следовательно, произведение скорости течения несжимаемой жидкости на поперечное сечение трубки тока есть величина постоянная для данной трубки тока. Соотношение (29.1) называется уравнением неразрывности для несжимаемой жидкости. § 30. Уравнение Бернулли Выделим в стационарно текущей идеальной жидкости (физическая абстракция. т. е. воображаемая жидкость, в которой отсутствуют силы внутреннего трения) трубку тока, ограниченную сечениями ![]() ![]() Рис. 47 Пусть в месте сечения ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Согласно закону сохранения энергии, изменение полной энергии ![]() ![]() где ![]() ![]() С другой стороны, А — это работа, совершаемая при перемещении всей жидкости, заключенной между сечениями ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() где ![]() ![]() Полные энергии ![]() ![]() ![]() ![]() Подставляя (30.3) и (30.4) в (30.1) и приравнивая (30.1) и (30.2), получим ![]() Согласно уравнению неразрывности для несжимаемой жидкости (29.1), объем, занимаемый жидкостью, остается постоянным, т. е. ![]() Разделив выражение (30.5) на ![]() ![]() где ![]() ![]() Выражение (30.6) выведено швейцарским физиком Д. Бернулли (1700—1782; опубликовано в 1738 г.) и называется уравнением Бернулли. Как видно из его вывода, это уравнение — выражение закона сохранения энергии применительно к установившемуся течению идеальной жидкости. Оно хорошо выполняется и для реальных жидкостей, внутреннее трение которых не очень велико. Величина р в формуле (30.6) называется статическим давлением (давление жидкости на поверхность обтекаемого ею тела), величина ![]() ![]() Для горизонтальной трубки тока ( ![]() ![]() где ![]() ![]() Рис.48 Из уравнения Бернулли (30.7) для горизонтальной трубки тока и уравнения неразрывности (29.1) следует, что при течении жидкости по горизонтальной трубе, имеющей различные сечения, скорость жидкости больше в местах сужения, а статическое давление больше в более широких местах, т. е. там, где скорость меньше. Это можно продемонстрировать, установив вдоль трубы ряд манометров (рис.48). В соответствии с уравнением Бернулли опыт показывает, что в манометрической трубке В, прикрепленной к узкой части трубы, уровень жидкости ниже, чем в манометрических трубках А и С, прикрепленных к широкой части трубы. Так как динамическое давление связано со скоростью движения жидкости (газа), то уравнение Бернулли позволяет измерять скорость потока жидкости. Для этого применяется трубка Пито — Прандтля (рис.49). Прибор состоит из двух изогнутых под прямым углом трубок, противоположные концы которых присоединены к манометру. С помощью одной из трубок измеряется полное давление ( ![]() ![]() где ![]() ![]() ![]() Рис. 49 ![]() Вода+воздух Рис 50 Из формул (30.8) и (30.9) получаем искомую скорость потока жидкости: ![]() Уменьшение статического давления в точках, где скорость потока больше, положено в основу работы водоструйного насоса (рис.50). Струя воды подается в трубку, открытую в атмосферу, так что давление на выходе из трубки равно атмосферному. В трубке имеется сужение, по которому вода течет с большей скоростью. В этом месте давление меньше атмосферного. Это давление устанавливается и в откачанном сосуде, который связан с трубкой через разрыв, имеющийся в ее узкой части. Воздух увлекается вытекающей с большой скоростью водой из узкого конца. Таким образом можно откачивать воздух из сосуда до давления 100 мм рт. ст. (1 мм рт. ст. =133,32 Па). Уравнение Бернулли используется для нахождения скорости истечения жидкости через отверстие в стенке или дне сосуда. Рассмотрим цилиндрический сосуд с жидкостью, в боковой стенке которого на некоторой глубине ниже уровня жидкости имеется маленькое отверстие (рис.51). Рассмотрим два сечения (на уровне ![]() ![]() ![]() ![]() Так как давления ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Из уравнения неразрывности (29.1) следует, что ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Это выражение получило название формулы Торричелли (Э. Торричелли (1608—1647) — итальянский физик и математик). § 31. Вязкость (внутреннее трение). Ламинарный и турбулентный режимы течений жидкостей Вязкость (внутреннее трение) — это свойство реальных жидкостей оказывать сопротивление перемещению одной части жидкости относительно другой. При перемещении одних слоев реальной жидкости относительно других возникают силы внутреннего трения, направленные по касательной к поверхности слоев. Действие этих сил проявляется в том, что со стороны слоя, движущегося быстрее, на слой, движущийся медленнее, действует ускоряющая сила. Со стороны же слоя, движущегося медленнее, на слой, движущийся быстрее, действует тормозящая сила. Сила внутреннего трения ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Рис. 52 Величина ![]() ![]() где коэффициент пропорциональности ![]() Единица вязкости — паскаль-секунда (Па-с):1 Пас равен динамической вязкости среды, в которой при ламинарном течении и градиенте скорости с модулем, равным 1 м/с на 1 м, возникает сила внутреннего трения в 1 Н на 1 м2 поверхности касания слоев (1 Пас = 1 Нс/м2). Чем больше вязкость, тем сильнее жидкость отличается от идеальной, тем большие силы внутреннего трения в ней возникают. Вязкость зависит от температуры, причем характер этой зависимости для жидкостей и газов различен (для жидкостей ![]() Существует два режима течения жидкостей. Течение называется ламинарным (слоистым), если вдоль потока каждый выделенный тонкий слой скользит относительно соседних, не перемешиваясь с ними, и турбулентным (вихревым), если вдоль потока происходит интенсивное вихреобразование и перемешивание жидкости (газа). Ламинарное течение жидкости наблюдается при небольших скоростях ее движения. Внешний слой жидкости, примыкающий к поверхности трубы, в которой она течет, из-за сил молекулярного сцепления прилипает к ней и остается неподвижным. Скорости последующих слоев тем больше, чем больше их расстояние до поверхности трубы, и наибольшей скоростью обладает слой, движущийся вдоль оси трубы. При турбулентном течении частицы жидкости приобретают составляющие скоростей, перпендикулярные течению, поэтому они могут переходить из одного слоя в другой. Скорость частиц жидкости быстро возрастает по мере удаления от поверхности трубы, затем изменяется довольно незначительно. Так как частицы жидкости переходят из одного слоя в другой, то их скорости в различных слоях мало отличаются. Из-за большого градиента скоростей у поверхности трубы обычно происходит образование вихрей. Профиль усредненной скорости при турбулентном течении в трубах (рис.53) отличается от параболического профиля при ламинарном течении более быстрым возрастанием скорости у стенок трубы и меньшей кривизной в центральной части течения. Рис. 53 Английский ученый О. Рейнольдс (1842—1912) в 1883 г. установил, что характер течения зависит от безразмерной величины, называемой числом Рейнольдса: ![]() где ![]() ![]() ![]() При малых значениях числа Рейнольдса ![]() ![]() § 32. Методы определения вязкости 1. Метод Стокса (Дж. Стокс (1819—1903) — английский физик и математик). Этот метод определения вязкости основан на измерении скорости медленно движущихся в жидкости небольших тел сферической формы. На шарик, падающий в жидкости вертикально вниз, действуют три силы: сила тяжести ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() или ![]() откуда ![]() Измерив скорость равномерного движения шарика, можно определить вязкость жидкости (газа). 2. Метод Пуазейля (Ж. Пуазейль (1799—1868) — французскии физиолог и физик). Этот метод основан на ламинарном течении жидкости в тонком капилляре. Рассмотрим капилляр радиусом R и длиной ![]() ![]() Рис.54 Сила внутреннего трения (см. (31.1)), действующая на боковую поверхность этого слоя, ![]() где dS — боковая поверхность цилиндрического слоя; знак минус означает, что при возрастании радиуса скорость уменьшается. Для установившегося течения жидкости сила внутреннего трения, действующая на боковую поверхность цилиндра, уравновешивается силой давления, действующей на его основание: ![]() После интегрирования, полагая, что у стенок имеет место прилипание жидкости, т. е. скорость на расстоянии R от оси равна нулю, получим ![]() Отсюда видно, что скорости частиц жидкости распределяются по параболическому закону, причем вершина параболы лежит на оси трубы (см. также рис.53). За время t из трубы вытечет жидкость, объем которой ![]() ![]() § 33. Движение тел в жидкостях и газах Одной из важнейших задач аэро- и гидродинамики является исследование движения твердых тел в газе и жидкости, в частности изучение тех сил, с которыми среда действует на движущееся тело. Эта проблема приобрела особенно большое значение в связи с бурным развитием авиации и увеличением скорости движения морских судов. На тело, движущееся в жидкости или газе, действуют две силы (равнодействующую их обозначим ![]() ![]() Рис. 55 Если тело симметрично и его ось симметрии совпадает с направлением скорости, то на него действует только лобовое сопротивление, подъемная же сила в этом случае равна нулю. Можно доказать, что в идеальной жидкости равномерное движение происходит без лобового сопротивления. Если рассмотреть движение цилиндра в такой жидкости (рис.56), то картина линий тока симметрична как относительно прямой, проходящей через точки А и В, так и относительно прямой, проходящей через точки С и D, т. е. результирующая сила давления на поверхность цилиндра будет равна нулю. ![]() ![]() Рис. 56 Рис. 57 Иначе обстоит дело при движении тел в вязкой жидкости (особенно при увеличении скорости обтекания). Вследствие вязкости среды в области, прилегающей к поверхности тела, образуется пограничный слой частиц, движущихся с меньшими скоростями. В результате тормозящего действия этого слоя возникает вращение частиц и движение жидкости в пограничном слое становится вихревым. Если тело не имеет обтекаемой формы (нет плавно утончающейся хвостовой части), то пограничный слой жидкости отрывается от поверхности тела. За телом возникает течение жидкости (газа), направленное противоположно набегающему потоку. Оторвавшийся пограничный слой, следуя за этим течением, образует вихри, вращающиеся в противоположные стороны (рис. 57). Лобовое сопротивление зависит от формы тела и его положения относительно потока, что учитывается безразмерным коэффициентом сопротивления Сx, определяемым экспериментально: ![]() где ![]() ![]() Составляющую Rx можно значительно уменьшить, подобрав тело такой формы, которая не способствует образованию завихрения. Подъемная сила может быть определена формулой, аналогичной (33.1): ![]() где Су — безразмерный коэффициент подъемной силы. Для крыла самолета требуется большая подъемная сила при малом лобовом сопротивлении (это условие выполняется при малых углах атаки ![]() Контрольные вопросы Что такое давление в жидкости? Давление — величина векторная или скалярная? Какова единица давления в СИ? Сформулируйте и поясните законы Паскаля и Архимеда. Что называют линией тока? трубкой тока? Что характерно для установившегося течения жидкости? Каков физический смысл и как вывести уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости? Какой закон выражает уравнение Бернулли для идеальной несжимаемой жидкости? Выведите это уравнение. Как в потоке жидкости измерить статическое давление? динамическое давление? полное давление? Что такое градиент скорости? Каков физический смысл коэффициента динамической вязкости? Какое течение жидкости называется ламинарным? турбулентным? Что характеризует число Рейнольдса? Поясните (с выводом) практическое применение методов Стокса и Пуазейля. Каковы причины возникновения лобового сопротивления тела, движущегося в жидкости? Может ли оно быть равным нулю? Как объяснить возникновение подъемной силы (см. рис. 55)? Задачи 6.1. Полый железный шар ( ![]() ![]() 6.2. Бак цилиндрической формы площадью основания S = 1 м2 и объемом V = 3 м3 заполнен водой. Пренебрегая вязкостью воды, определить время t, необходимое для опустошения бака, если на дне бака образовалось круглое отверстие площадью S1 = 10 см2. ![]() 6.3. Сопло фонтана, дающего вертикальную струю высотой ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 6.4. На горизонтальной поверхности стоит цилиндрический сосуд, в боковой поверхности которого имеется отверстие. Поперечное сечение отверстия значительно меньше поперечного сечения самого сосуда. Отверстие расположено на расстоянии ![]() ![]() 6.5. В широком сосуде, наполненном глицерином (плотность ![]() ![]() 6.6. В боковую поверхность цилиндрического сосуда, установленного на столе, вставлен на высоте ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 6.7. Определить наибольшую скорость, которую может приобрести свободно падающий в воздухе ( ![]() ![]() ![]() |